有位同学考上了张集的竞赛班&老师要求做IMO的真题？
文摘
教育
2024-09-06 12:53
上海
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昨天群里有位家长发了个红包，说刚升入六年级的小孩考上了张集的数学竞赛班，转手丢过来一道题，说是上课的最后一道题。这可是今年IMO（第65届国际数学奥林匹克竞赛）的第五题呢！中国国家队一半选手（3名）都没做对，不过该题应该算历届IMO真题里最简单的一道题，聪明的五、六年级学生是可能做得出来的，之所以有3名国家队选手没有做对的原因，众说纷纭。所以，同学们不必为此感到惊讶，再高级别的赛事也可能存在明显简单的题，或很多很难的题，再不影响原题的命题逻辑情况下，也可以改编成很简单的题。具体题目见下图。![]()
在正式了解这道题之前，我们先做一道小学奥数题热热身吧？在一个6行5列的方格表中（如下图一），一共有4个地雷，除第一行与最后一行外，每行恰有一个地雷，且每列至多有一个地雷。憨豆同学可以从第一行任意一个方格出发并不断移动，他每次可以移动到相邻（有公共边）的方格内，如果碰到地雷，则尝试结束，他将被传送至第一行重新出发，憨豆可以记住每一个他经过的方格内是否有地雷。问：憨豆至少需要经过几次尝试，才能确保到达最后一行。![]()
1、方格表一共有5列，其中4列恰有一个地雷，余下1列没有地雷；2、假设某一个方格有地雷，那么它所对应的行、列的其它方格都没有地雷，如上图二、三所示的阴影区域一定没有地雷。第一行某个方格出发走到第二行，要想确保成功，就要基于最不利原则，憨豆同学刚刚抵达第二行就碰到了地雷，记住了此位置有地雷，然后被传送回第一行，重新开始。至此，第一次尝试用完了。
第二次尝试，憨豆同学由于记住了第二行地雷的位置，那么他这次可以顺利的到达第二行某个没有地雷的方格中，现在他要移动到第三行了，同理，基于最不利原则，他一定是有可能碰到地雷的，这就说明第二次尝试没有办法确保到达第三行，更何况最后一行呢？
依据前文，要想确保成功，就要基于最不利原则，憨豆同学刚刚抵达第二行就碰到了地雷，记住了此位置有地雷，然后被传送回第一行，重新开始。至此，第一次尝试用完了。第一类：假定第二行的地雷在中间位置，即下图四的X、Y、Z里的某处我们不妨假定第二行的地雷在X处，即上图五所示，此时，1、2、4、5、6、7一定没有地雷，但是3处可能存在地雷。如果3处没有地雷，我们就按照上图五的1-7的顺序可成功，这是第二次尝试；如果3处有地雷，我们就按照上图六的A-G的顺序可成功，这是第三次尝试。同理，如果第二行的地雷在Y、Z处，也可通过以上方式确保三次尝试一定可以成功。第二类：假定第二行的地雷在两边位置，即下图七的M、N里的某处我们不妨假定第二行的地雷在M处，即上图八所示。这种情况下，4颗地雷最极端的情形如上图九所示（之所以称之为最极端的情形，是因为上文针对第一类情形的策略表明，憨豆同学要尽量走到第二行地雷下面的方格中，便可以一路直通至最后一行），我们可以按照下图十的A-H路线成功，这是一条非常有规则的横竖折线路径。当然，实际情况，并不一定是极端情形，考虑到A、B处肯定没有地雷，图十一、十二、十三、十四、十五分别给出了在C、D、E、F、G处碰到地雷的路线策略，聪明的同学一定会发现这些策略并不是针对当下情形最优的，但是他们是有规律的，即：按照图十的折线路线，一旦遇到地雷，马上想办法返回到第二行地雷下面的方格中去。这是为了同学们在解答时，可以找到某种更便捷的数学化表达方式。比如：万一方格多了，总不能每种情况都枚举出来。显然，以上尝试次数都小于等于3。同理，如果第二行地雷在图七的N处，一样可以在3次及以内的尝试成功。2024年第65届IMO的第5题，较于上面这道题，也只是方格数多了，解答时需要更为代数化的表达，其它无任何差别。具体解析见下图。![]()
