(中国科学院物理研究所)
本文选自《物理》2024年第12期
矩不方，规不可以为圆。——《庄子·天下》
圆出于方，方出于矩。——《周髀算经》
引 言
磁场几乎人人皆知，然而磁矩对于大多数人来说很生疏。
“磁矩”从字面上分开，可以表示为吸引性的“磁”和转动量的“矩”。人类对磁的认知相对滞后，最早的磁现象比电现象晚记载约500年[1]。“矩”在中国传统历史中有着“长×宽”的平面形象，1904年伍光建将其作为英文“moment”的翻译，从此被赋予了运动的涵义，随后逐渐被我国物理学界统一使用[2]。
磁矩“magnetic moment”作为整体名词，在词典、专业书籍和标准中的定义尚未统一。比如：在韦氏词典中，使用“torque”和“strength of pole”进行模糊关联；在美国测试与材料协会(ASTM)制定的磁测量术语标准中，描述为“a measure of the magnetic fields trength, H, produced at points in space by a plane current loop or a magnetized body”，用磁场来解释磁矩，令人费解[3]。中文磁学教科书中，“磁矩亦称磁面积矩或磁偶极子的磁矩，它是一个矢量，在电流i的闭合回路S中，磁矩的数值等于i与S的乘积”。对于电流产生的磁矩，这一表述没有问题，但如果兼顾其他形式的磁矩，则含义有待扩充[4]。
据韦氏词典网站最新统计，“magnetic moment”词条的查询热度在前18%，并不算生僻词条，但磁矩的定义从1865年收录沿用到2024年，一百多年未被更新。磁矩难定义有两个原因：首先，磁矩的概念随人类认知加深不断变迁；其次，科学领域的学科不断分支细化、相互交叉，导致磁矩的研究分散在行星科学、材料学、分析化学与高能物理等学科，各学科人员对磁矩的理解和应用也有差别。
为便于交流，本文对宏观磁矩作以下定义：磁矩是磁铁或载流体中所有等效闭合电流与回路面积相乘并矢量求和的结果，用于度量其产生磁场的能力；英文表述为：a measure on power of producing magnetic field for a current loop or a magnet, as a vector sum of the effective product of the directional area multiplied by the current over all current loops in the system。必须指出，如此等效的理解在宏观磁性测量中通常够用，但不总适用于基本粒子磁矩源。如果磁矩源尺寸相对于观察距离不能忽略，还应将单个磁矩划分成多个磁场源，直至足够细小。
研究并利用好磁矩，可以使手机的时钟更加精准(抑制微观磁矩与环境磁场耦合，使原子钟的工作频率更稳定)，更早更清晰地检查生物病变(用不含中子的氢核磁矩进行磁共振MRI成像)，用上更加绿色高效的电动车(稀土永磁电机，主要运用永磁体的整体磁矩)，获知太阳与地球的演化规律并对灾害进行预测防范(太阳系磁天气，主要利用宇宙中天体以及星际物质的宏观磁矩)……。磁矩测量涉及到的知识与技术复杂多元，且概念分化，因此把概念清晰化的挑战不小，但本文尝试延续学+问的方式[5]，讨论其意义，期待启发有益思考。
(1)磁矩量纲与意义
磁矩跟温度、高度、质量等标量不一样，是由旋转产生的，本质上是转动的面矢量。
(2)磁矩的符号表示m与M
ASTM标准中将m与M分别作为磁矩与磁化强度(单位体积的磁矩)[3]。在国家标准“GB3102.5-1993电学和磁学的量和单位”中用斜体字母m表示磁矩，M表示磁化强度(单位体积中的磁矩M=m/V )，J 表示磁极化强度。
(3)来自两套量纲M与J
在阅读磁学文献资料时，笔者曾经对M 与J 的交叉使用表示产生过疑问。经过查阅，这两套量纲来源于两种MKSA单位制，一种是延续早期从磁极概念以及磁库仑定律演变出的Kennelly体系(类同电极化强度而构造出的磁对应量)，J被定义为磁“极化”强度；另一种是我们目前熟知的摒弃了磁极量的Sommerfeld体系(遵照磁学实验和共识理论从电流环出发定义磁矩及其关联量)[6]。在ASTM标准中，依然保留了J 的定义，并给出从磁化强度M 乘以真空磁导率μ0得到J=μ0M的“等价”变换关系[3]。从基本物理概念角度，J 如被当成类似电荷分离导致的极化图像并不妥当，不过从材料磁化会导致通量密度B 发生变化来看，J 被当作由样品磁化导致磁通密度变化的概念有可取之处，而且实际上磁学计量中用串联反接的线圈套在样品上，再将线圈连接磁通计就可以直接测量出J 值。
(4)单位及换算
本文对宏观磁矩的定义基于电流环等效，其单位由电流与面积单位构成，即Am2。尽管国际单位制(SI)已推行相当长时间，在电磁学领域，由于行业和技术惯性，CGS单位制用得更普遍，磁矩单位是emu(“电磁单位”的英文缩写)，1000 emu=1 Am2 [3]。
(5)磁矩关联量图谱
综合磁矩的以上解析，图1揭示了“磁矩—基本常量—磁学量”三者的交叉关系。可以看出，通过不同磁场下物质的磁矩测量，不仅可以获得磁性曲线，而且可以进一步得出磁导率(或磁化率)与磁能密度等丰富的导出磁性。在图1中，作为跟磁矩通过体积与μ0关联但很容易导致混淆的J 出现了两处：其中一处在磁通密度B 关系式中出现，等效成物质磁化导致净磁通密度变化，可测且物理意义明确；另一处是历史遗留下来的问题，作为磁荷“极化”强度的J 理解或许可以废弃，对应文字加了删除线。
图1 磁矩关联量图谱示意。在磁性测量中，磁矩除以体积为磁化强度，并定义了磁化率、磁能密度等物理量，可以根据需要通过磁矩求和的逆向过程进行微观磁矩反演
宏观磁矩测量
磁矩的测量方法有不同的分类，本文根据宏观/微观、直流/交流、感应/非感应、开路/闭路四条规则，将常见的方法归纳在图2中。
图2 磁矩测量方法分类示意图
红字标出的是四类非常有特色的仪器：(1)动态回线仪，多用于类闭磁路样品(圆环或方圈)的交直流磁性测量，是磁学计量中的标准设备；(2)振动样品磁强计(VSM)，磁矩分辨力高，磁场可由电磁铁或超导螺线管提供；(3)脉冲场磁强计(PFM)，可以实现超强脉冲磁场下的开磁路高速测量；(4)光磁共振探测(ODMR)，空间分辨极高，通常以金刚石氮空位色心作为探测器。
灰字标记的各类磁电阻测量(XMR)、磁光散射、面内磁化磁光克尔法(IP-MOKE)、时间分辨洛伦兹电镜(Lorentz-EM)、扫描式超导量子干涉仪(S-SQUID)以及磁圆二色(MCD)或线二色谱仪(MLD)，它们通常不能直接进行磁矩的准确测量或反演，更多的是对磁矩的有无或变化进行定性表征；微观磁矩的测量多使用可以穿透物质的中子、γ光、缪子、正电子等高能探针，并通过相应的散射、反冲或湮灭演化谱来定量分析。
鉴于篇幅，对每种测量方法不能一一详解，有兴趣的读者请参考教科书[6—8]。
当样品剩余磁矩较大时，通常直接使用相对便利的磁通感应变换方法进行测量[9]。一般可以使用抽拉(withdrawal)抗扰线圈或旋转样品的方式，通过始末态的电压—时间积分变化测量磁矩；还有一种精细监测抽拉过程的方法，即对抽拉路径上的磁通变化曲线进行模型拟合，获得更加精确的测量结果，称之为提拉法(extraction)。二者实质不同，不过英语中的extraction包含了withdrawal的主要涵义，这类方法在图2的分类中一并被归入提拉样品磁强计(ESM)。
随着磁矩的减弱(宏观磁矩到达1 µemu以下)，乃至跟样品的清洁度都显著相关时，磁矩测量过程要格外注意样品的污染问题[10]。更加灵敏的磁性测量方法，比如有论文报道交变梯度磁强计(AGM)能测量10 pemu的磁矩(商业仪器能达到10 nemu)[11]。通过特殊微加工的SQUID探头，测量直径5 nm磁性团簇磁矩也有报道(约0.1 femu)[12]。在我国，中国科学院上海微系统与信息技术研究所报道攻克了芯片自主的SQUID磁性测量技术[13]。AGM由于使用了微悬臂梁谐振增强信噪比，极限探测能力跟SQUID相当，而且不需要低温，在微量样品磁性测量上具有优势[11]，但AGM装样过程相对不便，而且在灵敏度上跟最先进的金刚石色心探测技术仍然有9个数量级的差距[14]，中国仅拥有约5套AGM(分别位于北京大学、山东大学、中国科学院地质与地球物理研究所等)，用户范围极窄。采用原子分辨的金刚石色心ODMR磁传感技术对于微观磁矩测量极其灵敏，将其与磁力显微镜(MFM)结合使用，是一个激动人心的新方向[14—16]。
磁矩的测量方法和技术名词多种多样，测量过程也较复杂。本节根据宏观磁矩测量的工作经历和体会，将可能碰到的疑难问题进行梳理，主要介绍测量中的物理问题。
3.2.1 多磁偶极子问题
磁矩一般指磁偶极矩，测量磁偶极矩实际比理想中更复杂。如图3(a)所示，远眺地球将其作为一个宏观磁矩物体，可以看作单一偶极子(因为磁偶极子场随距离按3次方反比衰减，而磁四极矩、六级矩、八级矩则衰减更快，分别按5、7、9次方反比衰减)。但从地球表面测量磁场，由于地磁成因和磁性矿床的影响，地表有着众多的异常多磁偶极矩，而且多磁偶极矩的地理分布随着时间不断演变。在百万年的时间尺度上，甚至出现过地磁南北极颠倒的现象[17]。
磁偶极子与磁极息息相关。无论是数学描述还是物理实质，物体表现多磁偶极矩的本质是内部退磁场及由此导致的非均匀磁化，磁极概念易混淆的原因之一是书籍中常见的磁感线示意图，除了存在磁极与方向标识的错误，还有一些产生误导的描述，在此列举提醒读者：将磁感线与表面画成垂直；不分远近将磁感线掉头连接另一端；磁感线只在磁极两端出入，等等。实际上，由于磁体端部的磁化突变，导致表面的磁场不仅仅是被局部的微观电流所影响，腰部也可以出入磁感线，磁极两端磁感线也不一定与端面全部垂直。
在开磁路下测量具体磁性样品的磁矩时，可以设想样品的磁矩像均匀磁化的椭球体一样，只表现出偶极磁矩行为。如图3(c)所示，永磁圆柱棒的内部磁矩均匀分布，但在外磁场中，磁化率较高的非球体样品内部由于退磁效应不可能被均匀磁化。比如未饱和磁化的软磁圆柱体，从中心到两侧的磁化是递减的[18]。当样品为其他低对称形状时，这种多磁偶极效应甚至无法被严格解析。了解这一点是准确测量磁矩的前提。
当样品受到动态磁化影响时，如果样品电导较高，因为涡流等时变效应还会导致更复杂的不均匀多磁偶极效应，给磁矩测量带来进一步挑战。
3.2.2 开放磁路测量相比闭磁路测量有什么好处？
在实际工业测量中，常见的解决措施是想办法避免磁路分散，用无磁极的闭磁路测量方法，如图4所示，将样品加工成环状，或通过外部磁轭将样品磁感线封闭起来，从而很容易实现样品的均匀磁化，相比之下，图3(c)显示的开磁路样品外部有无法避免的磁感线。
图4 两种典型的闭磁路测量方法图示，其中虚线表示被限制在环路内部的磁感线(实际上，封闭路径内部磁感线的均匀性还受到内外尺寸影响)
再谈谈几个原因：首先是样品本身，我们并不能总可以将其加工成环状或将平整的样品端部与磁轭连接成封闭磁路，甚至材料尺寸小至亚微米、性状是薄膜等，只能就材而测；其次，闭磁路测量中可达的最高磁场有限(通常小于3 T)；另外，对于磁性测量，往往需要改变温度、压力等，这些环境下通常是开放磁路。封闭磁路由于减少了因为样品形状、磁化过程影响带来的修正复杂性，容易计量溯源，能保障测量结果的可靠性；而开放磁路下的测量结果如何向封闭磁路溯源，从而保障准确性仍然很有难度[19，20]。
3.2.3 基于什么测量？
前面提到的各类测量方法在专著中多有论述，本节介绍常见的开路感应法测量。开路感应法测量主要基于磁矩在空间产生磁场的互易性原理，利用磁通的不均匀分布和变化，通过探测线圈来测量磁矩。
开路感应法测量大致分成磁通法与梯度法，磁通法通过磁通变化关联偶极磁矩大小进行测量，即提拉或抽拉法，需要样品有大幅度位移来获得明显信号，那么有没有小幅位移就产生较大感应信号的设计呢？这就是梯度法的基本设计思想，振动样品磁强计即如此类。两类感应法的线圈结构及设计流程如图5所示，无论是磁通法还是梯度法，均可以从具有较大均匀区的亥姆霍兹线圈对(Helmholtz coils)开始设计，只是在磁通法与梯度法中，线圈的接法分别是同向和反向，这是由探测原理决定的。仔细的测量者会注意到有些设备中一套线圈能兼容提拉样品磁强计与振动样品磁强计，实际只是接线方式存在差异。
图5 感应探测线圈的类型与设计方法图示
振动样品磁强计基于梯度感应原理，主要有两种。一种追求更大的鞍区(均匀工作区)，如图5左下所示，将两对亥姆霍兹线圈并肩放置，从而增大均匀梯度区。工作原理是使被测磁矩在探测线圈中心小幅上下振动，线圈中会产生交流感应信号；信号的频率与磁矩振动相同，幅度与被测磁矩有线性依赖关系。该模式中样品的位置稍偏离中心对结果影响不大；另一种方式可以增强灵敏度、提高抗干扰性，线圈布置类似图5右上角的两对线圈，构成二阶探测系统。内侧一对线圈的间距比标准亥姆霍兹线圈要小，导致二阶梯度在中心出现剧烈变化(换言之，探测频率在振动频率的倍频处会更灵敏)，所以被测磁矩在中心位置上下振动时，可以产生较强感应信号乃至倍频效应，实现磁矩高灵敏探测。就灵敏度而言，第二种振动样品磁强计相比第一种有明显优势。但提高灵敏度的代价是灵敏系数不仅依赖于样品位置与振动幅度，而且还受样品尺寸和形状影响，所以会牺牲实际磁矩测量结果的准确性。
怎样判断两组线圈设计上的优劣呢？如只考察灵敏度及其均匀性，采用互易原理，将“探测线圈对单位磁矩移动”和“磁通变化”进行等效，即探测线圈作为“源”，通以单位电流，测量在磁矩位置产生的磁场。对于振动样品磁强计，单位磁矩产生振动感应信号的灵敏度，对应探测线圈在单位电流通过时产生的磁场沿被测磁矩方向分量在振动方向上的梯度[21]。应当指出，互易原理还不够精细，比如不能给出磁矩样品在有限尺度下相对零尺寸近似的差异，也无法用互易原理同时直接给出探测线圈感应波形的非线性畸变。
3.2.4 为什么会出现魔角？
角度依赖是磁测量的重要问题。在磁矩测量中常被提到的魔角，更是有趣。
图6 磁矩在周围产生的磁场的定量角度依赖图象，图中αi 是磁场分量Hi 随探测器对磁矩源的观测角度依赖系数(下标i 代指x 或z 分量，下标为t 时表示模量)。假设点磁矩源固定在原点，探测角度θ 是探测器到原点的连线与z 正向之间的夹角，其代数关系式已由图中给出(图中公式的磁场分量Hi、磁矩m 与距离r 均使用国际单位制时，为保证严格性，包含αi的等式添加了4π系数)；αx 与αz 的正负分别用实心与空心三角的连线表示，对于z 分量，角度依赖系数的正负变换转变角度正好对应魔角
从宏观磁矩举例，如图6所示。在磁矩足够远的地方测量感生磁场，总磁场强度随距离成呈现三次方反比依赖关系，方向依赖性像一个两端高度与腰部直径之比约为2的花生形状。将磁场正交分解为沿磁矩的纵向分量和与磁矩垂直的横向分量，横向分量的正负转变角度在水平或竖直方向，这是常见的，但纵向分量在余弦值为1/的角度(约54.7°)发生正负交替，这就是不同寻常的魔角。在电磁铁的极头设计中，为了可以用较小电流产生较强磁通集聚效果，也会采用该魔角作为最佳半锥面角[22]；魔角同样也被用于磁共振等方法来研究微观磁矩[23]。因为角度量会随着角度单位不同而改变、而且在0°到360°范围内也不只对应一个角度，不如将“魔角”和±
的倒数挂钩，即魔角θMA满足方程3cos2θMA-1=0，如图6所示。
3.3 磁矩的计量
尽管很多科研实验中更关心定性有无或相对变化，但从计量角度出发，准确性非常重要，灵敏度也不能忽视，但通常不能以牺牲准确性为代价，所以本节介绍准确性。
所谓量子基准即是以基本物理常量为基础的直接利用微观粒子无差异的全同量子性质建立的计量基准，它具有最高的计量学特性，是理想的计量基准；依据合理的传递路径将测量结果跟基本物理常量或量子基准之间建立一致联系的过程，称为量值溯源[24]。
几乎所有的电磁量都已找到对应的量子基准和非实物自然复现方法，比如基于Josephson效应的量子电压基准[25，26]、基于量子霍尔效应的量子电阻基准[27]、基于单电子隧穿效应的量子电流基准[28]、磁通量子[29]以及基于Zeeman效应的磁场量子基准[30]。作为磁性测量中的关键基本量：磁矩，理论上可以通过玻尔磁子来联系微观与宏观，但尚未见实验证实，因而在国际计量界中未见提及其量值溯源链条和依据。
虽然磁矩量值溯源的研究报道很少，但作为基本磁学量的磁矩，其校准方法已被研究多年并有广泛应用。早在1960年代，美国国家标准与技术研究院(NIST)就推出比较法与斜率法两种VSM磁矩测量校准方法。比较法是以镍球在5000 Oe时的磁矩作为参考对象，进行磁矩定标；斜率法采用磁导率超过2000的材料，利用其磁化未饱和时磁矩相对外磁场的变化率(即磁化率)基本恒定的特性，对磁矩与外磁场两个量同时校准[31]。还有一种常用的校准手段，通过磁力方法将磁矩跟力学量关联，该方法可以在较高外磁场范围内实现两种独立方法的磁矩计量，不过依然依赖于实物[32]。
方法的多样性可以适应不同的磁性表征需求，但可靠的方法应当“殊途同归”。意大利国家计量局的Fiorillo曾对VSM、SQUID、AGM、闭磁路测量、交流磁测量、永磁磁通抽拉法等涉及到的磁矩计量方法及多实验室的比对结果进行了系统的综述，结果显示，磁矩测量的跨实验室相对不一致性超过1%[33]，不得不说是目前磁测量技术上的一个遗憾。该遗憾的弥补无疑是磁矩测量的重要方向：不仅需要完善磁矩基准，还应对测量过程中的退磁、涡流等多种效应进行解耦并准确反演出待测磁矩，从而让不同类型的测量结果趋近一致。
尽管“超导量子干涉仪(SQUID)”的名称中存在“量子”，且也是灵敏度极高的磁矩测量方法，但遗憾的是，SQUID的探测线圈设计为了追求高灵敏度或高精度，牺牲了准确性，即便是在振动样品测量模式下，也只是将相同的探测线圈通过引线调整，将磁通感应模式变成倍频探测的梯度感应模式，这样能显著提高测量速度，但无论是探测原理还是测量结果均不能明显提高准确性。此处的准确性与前面提到多种仪器进行μemu以下灵敏度的测量并不矛盾，因为谈准确度更多关注其跟真值的偏离，比如某个真值1 memu的磁矩，测量结果是1.011(1) memu，表示测量结果的分散范围是±0.001 memu，但比真值大了1%。一份Quantum Design公司公开的准确性研究报告显示，无论在提拉还是振动样品模式下，样品运动幅度带来的不确定度可达10%[34]。虽然通过限制样品范围、形状尺寸或测量条件尤其是振幅条件，可以实现跟参考样品数据接近程度约0.6%的准确性[35]，但一定程度上牺牲了校准的通用性，而且目前没有理论支持SQUID能够被用于开发磁矩基准。这一缺憾让SQUID不能超越通过NIST镍球标准的量值传递来保障磁矩的测量准确性。
值得一提的是《IEEE仪器与测量》不久前报道了我国在这个领域的一个关键突破：使用非超导的传统VSM，研制宽范围磁矩探测线圈阵列，找到纵向8 mm内0.1%不均匀度的鞍区设计，在此基础上设计并验证可溯源到量子基准的磁矩线圈，不仅能在4个数量级范围内进行校准，而且在最优磁矩点的不确定度达到0.3%(优于不确定度为0.5%的NIST 772a镍球)[36]。尽管该进展只是实现了宏观磁矩测量到量子基准的间接溯源，而且宽范围的不确定度还有很大的改进空间，但它展示了磁矩标定锚定量子基准的工作已迈上新台阶。
结 语
本文首先探讨了磁矩的定义，以实际问题为牵引，尝试从宏观描绘磁矩及磁矩测量相关的基础知识图谱，进而概述了磁矩的测量方法，重点就磁矩测量中的准确性进行分析，同时介绍了我国近期在磁矩量值溯源研究上的新进展。
磁守无形，矩引入胜。为推进磁矩的科研前沿深入和应用场景的拓展，未来仍需关注磁测量相关问题，包括：(1)围绕全球减碳目标，针对高性能稀土永磁材料与电机产业升级配套，进行磁测量技术的完善；(2)进一步以更高的精准度进行量值溯源乃至建立直接的量子基准；(3)将磁矩的多种测量方法进行有效统一(准确扣除退磁、涡流等多效应干扰)；(4)进行跨尺度磁矩分布的精准反演探索。
（参考文献可上下滑动查看）
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