从近视宅男买早餐到彭罗斯逆矩阵：矩阵的秩｜N文粗通线性代数

学术 2024-12-30 10:01 北京

不少同学在初学线性代数时感到迷茫、痛苦，体会不到课程的实际意义。这很大程度上是因为，教材为了由浅入深、循序渐进，须从基础的抽象概念讲起，而真正直观的部分，往往要等到后面的细分领域或具体应用。于是初学者往往知其然，不知其所以然；只见树木，不见森林。希望本文能让你换个视角，以轻松有趣的日常眼光，看到一个不一样的线性代数。

本文是系列文章《N文粗通线性代数》的第三篇。我们在上篇文章中通过矩阵初等变换来引入矩阵的逆及其性质，讨论了线性方程组的求解过程。线性方程组解的结果只有三种可能：无解，有唯一解，有无穷多个解。那么，这其中又有什么规律呢？

往期文章：

第一篇：矩阵乘法

第二篇：逆矩阵

撰文 | 吴进远

上回书说到，某近视宅男，某日下楼到早点铺买早餐。眼镜忘在家里，看不清黑板上写的价目。于是，宅男就一边排队，一边听着前边顾客买早点的品种数量，和服务员小妹报的总价，据此计算各种早点品种的单价。

图1

一通采集数据，分析计算之后，近视宅男求出了线性方程组系数矩阵的逆矩阵，算出了食品单价，买了早餐。一边吃，一边陷入了沉思。

（1）几笔买卖定乾坤？

我们知道，只有正方形的矩阵才可以求出逆矩阵。具体在我们这个买早餐的问题中，三个未知数，需要正好三笔交易，或者说三个线性方程，才可以求出未知的食品单价。但在现实世界中，我们完全可能遇到不是正好三笔买卖的情况，这些情况下，我们的计算会遇到什么问题呢？

从直觉上我们知道，方程个数少于未知数的个数，肯定无法求出唯一解。可是，假如二者相等，就一定能求出唯一解吗？更进一步，要是方程的个数比未知数的个数还多，情况又会怎么样？我们下面一步步地分析一下：

为了直观地讨论这些问题，我们把三种食品的单价画在一个三维的坐标系中。下面的这些图中：

水平方向是油饼单价x₁，

竖直方向为茶叶蛋单价x₂，

而豆腐脑的单价x₃则指向纸面之外。

图2

上面这个图中画出了一个平面（红色），它是线性方程组中的第一个方程的图像，也就是第一个顾客那笔买卖。

这位顾客买了一个油饼、一个茶叶蛋、一碗豆腐脑，总价14元。

仅仅根据第一笔买卖，我们显然无法算出三种食品的单价，但我们多少还是获得了一些信息。具体说，我们知道这三种食品的单价一定在这个平面的某一个点上。

比如这个平面和横轴相交在x₁=14这个点上，这个点对应于油饼14元，茶叶蛋和豆腐脑免费。

尽管在现实中很少有老板这么定价，但这个点所对应的这一组单价与这一个方程是没有矛盾的。事实上，整个平面上所有的点都与这个方程没有矛盾，而真实的单价也处于这个平面上，就是我们图中标出的蓝色圆点。

的确，仅仅知道一笔交易，或者一个方程，我们没有足够的信息确定真实的单价。现在我们引入第二笔买卖，这个方程在图3中对应另一个平面（绿色）。

图3

这个平面与第一个平面在一条直线上相交。这就是说，同时满足两个方程的单价组合，只能处于这条直线上。尽管真实单价组合确实位于这条直线上，但我们仍然无法确认其准确位置。同时符合这两个方程的，仍然有无穷多个解。

显然，我们需要引入第三笔买卖。第三笔买卖对应的线性方程，在下面图中对应紫色的平面。

图4

这个新的平面与前面两个平面相交在一个共同的空间点上，这就是这个问题中真实的单价组合。因此，如果有N个未知数，至少要有N个方程才能求出唯一解。

那么，是不是方程数等于未知数个数就一定能求出唯一解呢？不一定。假设在买早餐这个例子中，宅男没有听清楚顾客3的交易数据，只用顾客1、2、4的交易数据来求解，就无法得到唯一解。

为了读者理解方便，我们把几位顾客的购买数据重新列在下表：

大家仔细观察，就会发现这位顾客4的交易数据是顾客1、2两组数据的线性组合：5×（顾客1数据）-（顾客2数据）。

因此，顾客4的数据没有提供任何新的信息，这一方程对应着图5中紫色的平面。而这个平面，与前面两个平面相交于同一条直线，这条直线上的所有点都同时满足三个方程。

图5

不难想象，即使我们再增加若干方程，但如果新增加方程是原有方程的线性组合，则新增方程仍然不能提供新的信息，或者新的约束，所以仍然无法得到唯一解。这些方程画在上面的图中，是一组平面，而这些平面都相交于一条公共的直线。

（2）秩的那些事

线性方程组 Ax=y 解的性质，和矩阵A的秩（rank）关系密切。所谓秩，是指矩阵中线性独立的行或列的最大个数。前面买早餐的例子中，顾客1、2、3的三笔交易互相线性独立，因此这一个矩阵的秩rank(A)=3。而如果不包含顾客3，只考虑顾客1、2、4这三笔交易，则我们只能找到两个线性独立的行，第三行只是前两行的线性组合。因此，这样一个矩阵的秩 rank(A)=2。

一个矩阵的列数m对应于方程组的未知数个数，而它的秩rank(A)则是线性独立的方程数的最大个数，也可以看成是能够提供独立信息的约束的个数。当rank(A) = m，我们管这种情况叫做列满秩，这时方程组如果有解，则其解是唯一的。

如果rank(A)<m，我们管这种情况叫做欠秩，方程组如果有解，则其解不是唯一的，而是有无数个。

如果一个矩阵是“矮胖”的，或者说它的行数小于列数，显然它不可能是列满秩的。“矮胖”矩阵对应的方程组没有唯一解，如果有解也是无穷多个解。

当行数大于列数，矩阵变成“瘦高”的，对应的方程组才可能有唯一解（如果有解的话）。但在有解的前提下，具体什么情况还要看它是不是列满秩。

这两种情况通过前面的例子很容易理解。

（3）什么叫无解？

读者可能会问，为什么要强调方程组“如果有解”呢？难道还有方程组无解的情况吗？的确如此。

一个方程组里，每添加一个方程，就可能增加一个约束。这样，在理想的情况下，有效的约束够了，就可以帮助我们找到方程组的解。

继续增加方程，则可以帮助我们验算，检查前面算得对不对。

可是，在我们往方程组里添加方程时候，完全可能添乱，加进去自相矛盾的方程。这种情况下，这个方程组是没有解的。

比如买早餐的例子中，第一个顾客买了一个油饼、一个茶叶蛋、一碗豆腐脑，服务员小妹报价14元。假设另一个顾客买了两个油饼、两个茶叶蛋、两碗豆腐脑，这时报价应该是28元。假定顾客是位广东人，服务员小妹贴心地按照广东话来发音，于是我们的宅男就完全可能把“二十八”误听为“一三八”。这样一来，我们就遇到了一个自相矛盾的方程组。

在现实世界，数据采集传输中出现错误的情况非常普遍，因此方程组自相矛盾的情况也会非常普遍，而且自相矛盾的花样可能会非常复杂。为了搞清楚方程组有没有解，就需要用到另一个矩阵的秩：就是增广矩阵(A|y)的秩rank(A|y)。这里说的增广矩阵，就是把方程组Ax=y当中的y与A拼在一起。这里，y是纵向的一列数字，它可以看成是一个向量。而A当中各个列，也分别是同样维数的向量。

不难看出，如果方程组Ax=y有解，则y就一定是A当中各个列向量的线性组合。我们把y添加到A当中，新增加的这一列，与其他各个列是线性相关的。这样一来，增广矩阵(A|y)的秩rank(A|y)就不会比原矩阵A的秩rank(A)大。因此，方程组有解就等价于rank(A|y)=rank(A)。

反之，如果添了一列之后，秩增加了，即rank(A|y)=rank(A)+1，则方程组必然是自相矛盾的，没有解。

我们把前面谈到的这些情况列个表出来，就一目了然了。

这里需要指出，当矩阵A不是满秩的时候，如果方程有解就会有无穷多个解，但不同情况下的“无穷多个”是不一样的。具体说，就是解空间的维数等于m-rank(A)。

比如我们买早餐的例子中，m=3。当只有第一个顾客数据时，rank(A)=1，这时解空间是一个平面，解空间的维数等于（m-rank(A)）= 3-1 = 2。

在第二个顾客，乃至第四个顾客的数据加进来后，rank(A)=2，这时解空间的维数等于 3-2 = 1，解空间是一条直线。

当第三个顾客的数据加进来后，rank(A)=3，这时解空间的维数等于 3-3 = 0，于是解空间成为一个点，解的个数从无穷多变成了1，方程存在唯一解。

（4）零元购与齐次线性方程组

我们有时候会遇到齐次线性方程组，也就是Ax=0。“齐次”的意思说的是方程中只有未知数x的一次方项，没有常数项，或曰没有未知数x的0次方项，因此各个项中的方次是“齐”的。

由于方程组右边等于0，因而它的增广矩阵的秩显然不会增加。因此齐次线性方程组肯定是有解的，我们用肉眼就可以看出x=0显然是方程的解。

可是问题来了，除了x=0这样一个平凡解，齐次线性方程组Ax=0还会不会有不等于0的解呢？从前面讨论我们知道：rank(A)<m的情况下，方程组有无穷多个解，因此，齐次线性方程组确实会有非0解。

为了便于理解，我们画出下面这个图，图中的每个平面相当于一个线性方程，这三个平面对应的方程是线性无关的。每个方程的右端常数项都等于0，其几何意义是每个平面都经过原点。

图6

上面图中，三个平面只存在唯一一个公共交点，也就是原点。因此，当rank(A)=m的时候，方程组有唯一解，也就是说，只有x=0这样一个平凡解。

如果三个平面对应的方程存在线性相关（比如秩等于2），它们之间的空间关系就可能看起来像这样：

图7

由于每个方程右边也都等于0，因此每个平面也都经过原点。不过由于三个方程是线性相关的，这三个平面有无穷多个公共点。

在秩等于2的情况下，这些公共点构成一条直线，这条直线也通过原点。这样，除了x=0这一个平凡解，这条直线上其他地方也是方程组的解，或者说，这个齐次线性方程组存在非0解。

在实数中，只有0乘以一个数其乘积才会是0。因此对于非零解，我们有时不容易想象。实际上，一堆不完全是0的数和另一堆不完全是0的数相乘，它们的乘积相加，确实可能得出一个0。这种情况并不难发生，比如只要两组数相乘之后，乘积有正有负，它们就完全可能相互抵消为0。再比如所有不等于0的数在矩阵相乘时都完美错过，都与0相乘，则结果也是0。

在线性代数中，所有元素都为0的矩阵叫零矩阵。零矩阵与任何矩阵相乘自然会得到零矩阵，但反过来却不一定。事实上，两个非零矩阵相乘，也完全有可能得到零矩阵。一个存在非零解的齐次线性方程组，实际上就是两个非零矩阵相乘得到零矩阵的例子。

齐次线性方程组在我们买早餐的例子中会是什么情形呢？首先，我们的宅男听到前面的所有交易的结果都是0，可以想象这种“零元购”是个非常欢乐的情况。过去学校或者单位的食堂，有的时候因为管理员经营有方，经常能到菜市场采购到便宜的食材，一年下来会结余很多，于是到年底就会有一天“吃结余”。显然，如果所有食品的单价都为0，就会出现吃结余或者零元购的结果。

但是反过来却不一定。比如，仅仅根据下面两个顾客的购买数据，我们并不能确认所有食品单价都是0：

第一个顾客买了一个油饼、一个茶叶蛋、一碗豆腐脑，0元；

第二个顾客买了两个油饼、四个茶叶蛋、四碗豆腐脑，0元。

因为除了所有食品都不要钱的情况，我们完全可能找到使这两个方程成立的非零解。比如设想：

油饼、茶叶蛋、豆腐脑的单价0元、X元、-X元，上面两个方程就可以成立。

这一组单价表示油饼不要钱，茶叶蛋一颗X元，而买一碗豆腐脑不但不收钱，还会倒送X元的礼品券。这种情况在做买卖上听着不很合理，但在理论中，却是齐次线性方程组理论上存在的非零解。

现在，如果把第三位顾客的数据加进去：

假定他买了一个油饼、三个茶叶蛋、三碗豆腐脑，0元；

我们仍然不能确认所有食品单价都是0。因为他的购买数量向量是前两位的线性组合（第二位购买数量向量 - 第一位购买数量向量）。

只有再来顾客，他的购买数量向量与前几位的线性无关，整个矩阵变成了列满秩的，我们才能得到新方程组的唯一解，即所有单价都为0。（未完待续）

本文转载自《返朴》微信公众号

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