第2195题
试题来源：2024年11月宁波一模
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思路简析
今天的题目是前段时间考的宁波一模解答题第19题，难度中等。
题干中给出了一个密码的生成规则，先有一个静态密码a1a2a3，然后结合这个静态密码和一个随机钥匙s，通过一个运算式得到M，取M的个位数字得到最后一位数字密码。只要搞清楚这个生成规则，在三个问里直接按照这个规则列式就可以了。
第一问已知最终密码2024，也就是静态密码202，M的个位数为4，这里不知道随机钥匙s，所以直接讨论s=1,2,3,4,5这几种情况，每一种情况下都能得到一个M，然后看这个M的个位数是不是4就可以了。
第二问给出了钥匙s=5，但是没有给静态密码，所以M的式子不确定，就没办法确定个位数，但是因为5比较特殊，所以个位数就只能为0或5，然后就只需要看概率了，还是从5的特殊性出发，要使得个位数为0，就一定要乘上一个偶数，所以在式子M=5(25a1+5a2+a3)中，把其中能确定是偶数的部分拿出来，也就是24a1+4a2，这部分的个位数字就肯定是0了，剩下的就是5(a1+a2+a3)，就只需要看a1+a2+a3的奇偶性就可以了，那么题目就相当于变成了a1,a2,a3任意取0-9的数，使得a1+a2+a3为奇数的概率，或者为偶数的概率，这个就很简单了。
第三问要比较Q0和Q1的大小，那么就先把Q0和Q1表示出来，因为题干上只给了随机钥匙s=i的概率pi，所以通过条件概率将其表示为pi相加的形式，同时，这里要注意到，式子中的P(A|C5)和P(B|C5)在刚才的第二个问是已经知道了的，在这个基础上，就可以考虑把其他几个概率也算出来，先考虑两个简单的，就是s=2和4的时候，根据偶数的特殊性，可以得到M的个位数就一定不会是1，所以得到P(B|C2)和P(B|C4)都是0，在这个基础上，已经大概可以判断两者的大小了。再结合具体的pi是没有的，所以猜测应该是把每一个对应的P(A|Ci)和P(B|Ci)进行比较，并且前面都是P(A|Ci)更大，所以多半剩下的s=1,3都是要考虑证P(A|Ci)≥P(B|Ci)。在具体的证明中，直接通过列举的方式就可以了，这个不是考竞赛的数论，不会很复杂。
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完
