第2199题
试题来源：2021年全国高中数学联赛B卷一试
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思路简析
今天的题目是21年的高联B卷一试的解答题第11题，难度中等。
这也是一个很经典的立体几何题，学生也很少做这种正n棱锥的题目。题干上给出了这样一个正n棱锥的底面中心为O，然后B为棱A1An的中点，第一问直接就要证明一个长度和角度的关系。注意到其中的长度是PO，PA1和PB，那么多半是要从PO²=PA1^2+A1O²以及PO²=PB²+BO²两个式子出发，再把其中不需要的长度用角度表示出来，而刚好这个角度就是底面直角三角形OBA1的内角，这样第一个问也就解决了。
第二问给出了侧棱与底面所成角α，侧面与底面所成角β，还有AiPB这个角，要判断关系，α和β都还比较好表示为棱长或者高之类的，难点就是AiPB这个角应该怎么去表示，因为是要求角度的余弦，同时这个角度又和棱长以及斜高相关，而棱长和斜高又和各种垂直以及题干中给出的角度α和β有关，所以可以考虑用向量来处理，一是可以直接用数量积的公式将角度余弦和长度联系起来，二是可以通过向量的加减运算，将PAi和PB转化到高PO和OAi和OB上面，经过化简之后就可以得到和sinαsinβ是一样的了。
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完
