第2198题
试题来源：2024年11月湖丽衢三地联考
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思路简析
今天的题目是前段时间考的湖丽衢三地联考的填空题第14题，难度中等。
这个题目不难，但是考法还是很经典的，以前的四川卷考过类似的，也是以前的每日一题每日一题第181题，上海卷也考过类似的。
题干中给出了一个函数f(x)，但后面又给出了数列{an}暂时和f(x)没有关系，就先看数列，数列给出了首项，给出了递推式，这个递推式等号右边是一个求前n项和的形式，所以考虑用两个式子相减的处理方式来求通项，所以用n+1去替换n，得到第二个式子，然后两个式子相减，就可以得到一个a{n+1}/(n+1)=an/n，就可以得到等于a1/1，也就是常数1/20，这样就可以得到数列an的通项公式an=n/20了。
然后最后要求f(ai)的前79项之和，很明显不可能每一项都代入数列an的项把值算出来，所以肯定是需要挖掘函数f(x)和数列an的性质，对于函数f(x)，有一个很明显的x-2，把它看成一个整体就是t^3+2t，很明显是奇函数，所以可以得到f(x+2)是奇函数上移2个单位得到的，这样就得到了对称性，那么原函数f(x)的对称性也就有了，关于(2,2)对称，那么也就有了f(4-x)+f(x)=4，而4-x和x在数列an中也是有体现的，就是收尾相加等于4，那么最后求和也就可以算了。
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完
