|作者：吴从军
(西湖大学物理系 新基石科学实验室)
本文选自《物理》2024年第9期
化学燃料的燃烧，其实是化学键的断裂和再形成的过程，这中间能量的释放形成火箭推进的动力。化学键是原子间的电子成键，其键能在几个eV量级，因此可以推断其燃烧热为c×6×1023 eV/mol≈c×100 kJ/mol，其中c是数量级估计中不能确定的常数，大致介于1到10之间。可以查到H2的低热燃烧热，即生成物为水蒸气形态时的燃烧热为120 kJ/g，即240 kJ/mol。这个数据和上面的估算在数量级上是相符的。1 mol H2燃烧生成1 mol水，其质量为18 g。据此可以折算出每生成质量为1千克的水蒸气，其放热约Q=13 MJ。设这些能量完全转化为水蒸气喷射的机械动能，则给出化学燃料推进的比冲上界，
水是分子量最小的燃烧生成物，氢氧燃料火箭只生成水，其比冲是最佳的。因此，vchm(值为5 km/s)可以作为化学燃料比冲的上限。
再考虑(2)式右方的对数因子。以长征5号B火箭为例，其总重837吨，载荷25吨。火箭除了载荷以外，不会全是燃料，还有箭壳等。估计一下，等式右方的对数之和不会超过。所以，对于一个完全采用化学推进的火箭来说，它所能达到的速度上限可以被估计为，
这样，我们可以得出结论：只采用化学燃料推进方案的火箭，可以达到第二宇宙速度(11.2 km/s)，但对于第三宇宙速度则是很勉强的。
这是一种用电磁场来加速工作介质并喷射，从而获得反冲的驱动方式。比如“离子推力器”(ion thruster)方案，先将惰性气体电离，用电场把离子加速后喷出。离子动能可以很容易地达到1 keV的量级。Deep space、Dawn等航天器上采用的氙气推进，其比冲可以达到1700—3300 s(以时间为单位)，也就是17—33 km/s(以速度为单位)。
可以通过简单地估算来验证这些数据的合理性：氙的原子量为131，其原子的质量用eV做单位是131 GeV。如果用1 kV的电压来加速氙离子(设只带一个正电荷)，获得动能1 keV。其比冲可以估算为
其中c=3×108 m/s是光速。
离子推进的比冲大，并不代表其推力(specific thrust)大。推力反映的是火箭的加速性能，而比冲决定了最终能达到的速度。离子推进远比化学推进所产生的推力要小，一般小于1牛顿。这是因为在单位时间内，能够喷射的离子数目非常少。离子推进只能在无重力高真空的环境中使用，使得火箭经过长时间微小的加速来达到高速度。
核反应的能标在MeV水平，非常高。先考虑裂变，一个铀235核裂变放出200 MeV能量。质量M为1千克的铀235，即4.25 mol，里面有2.5×1024个核，释放出5×1026 MeV的能量，也就是E=8×1013 J。1克TNT的能量是1 kcal。简单换算可知，1千克铀235爆炸的当量相当于2万吨TNT。
假设把核反应生成物喷射出去来实现推动。裂变反应的质量亏损只有千分之一左右，可以忽略不计。如果能量利用率η=0.2，也就是说只有20%可以转换为喷射物的动能，那比冲大致为
这已经超过了光速的百分之一。
核聚变的能量要更高一点，其相应的比冲会更加可观。考虑聚变核反应：
质量M为1千克核燃料，其中氘核、氚核等数目混合。这将生成200 mol氦核，放出E=200×6×1023×17.6=2×1027 MeV的能量，合3.2×1014 J。这是裂变能量的4倍左右。同样假设20%的能量转换为喷射物的动能，比冲可以达到：
这已经达到了光速的1/30。
在《三体》一书里面，人类的星际战舰的推进速度，可以达到光速的1/10。考虑到在上面的估算中对能量转化率估计得比较保守，再考虑到火箭干湿质量的对数因子，核聚变推进确实可以使得火箭达到1/10的光速。这时候相对论效应开始出现，但还不明显，式(1)还可以适用。
正反物质湮灭发射γ射线，采用这种方式来推进火箭，有望逼近光速。这时需要考虑相对论效应，公式(1)就不再适用了。下面来推导相应的火箭运动方程。假设γ射线可以由反射装置全部向后方喷射。当然设计能够反射γ射线的镜子并不容易，那是未来科学家们的事，我们现在就假设其可行好了。
在地面参照系中，设在时刻t火箭的速度为v(t)，并沿着x方向；火箭的静止质量为m(t)。则火箭的能动量四矢量为
其中。在此之后Δt的时间内，喷出的γ射线能动量四矢量为
。
能动量守恒给出。因为γ光子的能动量四矢量的x分量和时间分量之和为0，所以火箭能动量四矢量的相应分量之和则是一个和时间无关的常量：f=
。从
，经过简单的代数运算可得，
设火箭从静止开始推进，对上式进行积分可得，
其中r是火箭干湿质量比。
各种火箭推进原理的物理能标不同，这决定了它们能达到的速度的上限。化学燃料推进的能标是eV，比冲的上限5 km/s；电磁推进的能标是keV，其比冲可以达到30—40 km/s的量级。核动力推进的能标是MeV，其比冲保守估计可以达到10000 km/s的量级。这些方案中的喷射物运动都是非相对论的。在相同能量转化率的条件下，比冲和能标的平方根成正比。对于正反物质湮灭的推进方案，其喷射物是γ光子，比冲就是光速本身。
再考虑上火箭干湿质量比的对数因子，化学燃料火箭的推进速度可以达到第二宇宙速度，但是要达到第三宇宙速度会很困难。因此，化学燃料推进是行星际航行的驱动方式。将化学燃料驱动和电磁驱动结合，可以超越第三宇宙速度，是恒星际航行入门阶段的驱动方式。核动力驱动可以达到1/10光速的驱动速度，是恒星际航行正常的驱动方式。当然，正反物质湮灭推进可以逼近光速，是驱动原理的天花板，是星系际航行的推进方式。
致 谢 感谢西湖大学程子正、刘鸿祎同学检查本文中的计算。本工作得到了新基石科学基金会的资助。
1)https://en.wikipedia.org/wiki/Ion_thruster
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