朱庆祺（Vic Zhu）

布朗大学

编者注：由于本文较长，故拆分为三篇发表，本文为第三篇，第一篇和第二篇已发表。

以下为全文目录，本部分为第四章及第五章。

【目录】

1. 度规，联络与测地线方程
2. 联络及黎曼曲率张量分量在坐标变换下的变换规则
3. 广义相对论与规范理论在数学结构上的相似性
4. 从局域坐标变换不变性出发决定引力相互作用满足的经典运动方程
5. 从局域规范不变性出发决定规范相互作用满足的经典运动方程

4. 从局域坐标变换不变性出发决定引力相互作用满足的经典运动方程

为了导出经典引力场所服从的运动方程，我们必须首先获取引力场的作用量，且为了简单起见，我们首先讨论真空（没有物质）的情形。在广义相对论中作用量必须是个坐标变换下的不变量（标量）才能保证由它导出的引力场的运动方程自动满足广义协变原理的根本要求。在之前的讨论中我们已给出过一个坐标变换下不变的标量 ----- 里奇标量，即

为了构造完整的作用量，我们同时给出坐标变换下不变的四维体积元是

下面验证该四维体积元是个坐标变换下不变的标量。在坐标变换下

所以我们验证了该四维体积元的确是个坐标变换下不变的标量。下面通过最简单的方式直接组合里奇标量和坐标变换下不变的四维体积元可直接得出引力场的作用量是

该作用量也叫作“爱因斯坦-希尔伯特作用量”（Einstein-Hilbert action）。依据作用量原理，引力场的运动方程由该作用量泛函的极值决定。所以将爱因斯坦-希尔伯特作用量对引力场/度规场变分并置0

首先考虑上式右端第三个积分式对作用量变分的贡献。利用如下技巧对该积分内的被积函数变形

上述等式最右端是个对度规行列式的变分。我们可利用如下矩阵恒等式将其转化成对度规本身的变分

容易验证当度规是对角矩阵时，上述恒等式自动成立，即

但该恒等式也适用于一般度规（不一定是对角矩阵）的情形。对上述恒等式两端同时取变分给出

然后利用如下恒等式将协变度规的变分转化成逆变度规的变分

将上式重新代回便得到对度规行列式的变分

把对度规行列式变分的结果重新代回一开始的方程给出

将上述关系重新代回第三个积分式并将其结果与第一个积分式合并给出首尾两个积分式对作用量变分的贡献

接下来讨论中间第二个积分式对作用量变分的贡献。首先将第二个积分式中里奇张量的变分表示成关于联络的变分

因为广义相对论里度规与联络适配，即满足，故

利用如下张量微积分中的恒等式

可将上述方程进一步变形成对全导数积分的形式

利用高斯散度定理将上述体积分转化成无穷远边界上的面积分

所以第二个积分式对作用量变分的贡献为0。所以只有之前已处理过的第一个和第三个积分式贡献到整个作用量的变分。将该作用量变分置0可自动得出引力场的经典运动方程

上述方程叫作“真空爱因斯坦场方程”。其中由里奇张量，里奇标量和度规组合而成，叫作“爱因斯坦张量”。将真空爱因斯坦场方程两端同时与逆变度规缩并

这说明真空中里奇标量自动是0。故真空爱因斯坦场方程亦可约化成如下更为紧凑的里奇张量是0的形式

为了更加直观地看出爱因斯坦广义相对论与牛顿万有引力理论的联系，以及广义相对论中的各种量比如度规的物理意义，我们现在转而讨论完整的含物质的爱因斯坦场方程。途中我们可找出度规在牛顿引力理论里的物理对应。所以我们现在的目标就是推广之前得到的真空爱因斯坦场方程使其变成完整的带物质的爱因斯坦场方程。因为方程左手边是个秩2张量，即爱因斯坦张量。它是个从黎曼曲率张量构造出的纯几何量，满足如下重要的在数学上严格成立的毕安基恒等式

上述恒等式说的是的协变散度恒为0。所以这要求方程右手边也必须是个秩2张量且满足协变散度为0才能自动保证方程的左右两端相互自洽。满足这两个条件且有物理意义（即必须与物质的一些重要性质比如能量/动量等有关）的秩2张量只有“能动张量”。为了说明这一点，首先回顾平直时空场论中能动张量的定义及其所满足的守恒律。在平直时空场论里，能动张量是时空连续平移对称性所生成的秩2守恒流。考虑一个由拉格朗日密度所描写的局域场论。在的连续时空平移变换下，该拉格朗日密度的变化量是

注意到该场论必须满足经典运动方程，利用这一约束将大幅简化上述方程。首先写下场论的作用量

场的经典运动方程由作用量原理给出，数学上对应作用量变分为0

分部积分得

利用高斯散度定理将上述最后一项的体积分转化成无穷远边界上的面积分

这就是场的经典运动方程，即场的欧拉-拉格朗日方程。在该方程约束下，之前得到的关于拉格朗日密度变化量的繁杂方程将被大幅简化成

若定义

则上述方程刚好是个表征守恒律的连续性方程的数学形式

其中是平直时空中连续平移变换下生成的秩2守恒流，叫作“能动张量”。当从平直时空推广到广义相对论所描述的弯曲时空时，我们必须把上述平直时空的闵可夫斯基度规提升成一般弯曲时空的度规，并同时把普通导数提升成协变导数以满足广义协变原理的根本要求。于是连续性方程在广义相对论中被推广成

上述方程说的是协变散度为0。所以这意味着在广义相对论里满足与一致的数学性质，即协变散度为0的要求。所以完整的带物质的爱因斯坦场方程可设为如下最一般的形式

其中是个待定的比例系数。然后能动张量在广义相对论中将被暂时推广成

值得注意的是：因为里奇张量和度规均关于下标，对称，所以爱因斯坦场方程左手边的爱因斯坦张量亦关于下标，对称。这个关键的对称性质进一步对爱因斯坦场方程右手边的能动张量的具体形式给出了非常强的约束。但上述这个直接从平直时空场论中推广而来的并不一定关于其下标，对称！所以这意味着它并不一定能直接合法地进入到爱因斯坦场方程的右手边！若上述从平直时空场论中导出的并不关于其下标，对称，则我们必须对其作恰当的修正和改进使其提升成一个关于下标，对称的张量以便合法地进入到爱因斯坦场方程的右手边（但注意：修正过后的能动张量必须还要满足连续性方程的基本要求！）。这里顺带一提的是：如果我们想不通过上述平直时空场论的繁琐推导及后续可能引发的对称化处理，而希望直接得到广义相对论里对称形式的能动张量，可将弯曲时空中表征物质场的作用量S直接对度规场求泛函导数

因为是个对称张量，所以以这种方式得出的将自动关于其下标，对称。下面我们通过三个具体场论例子（实标量场，复标量场，电磁场）中的计算给读者提供一些初步的物理直觉。为了更清楚地展现广义相对论（弯曲时空）与平直时空场论间的过渡和联系，我们仍采用从平直时空场论出发的方式推导，然后在此基础上做适当的修正得出广义相对论中的。为了便于与场论书籍的约定衔接，此处将转而使用场论里经常采用的多数为负的度规号差(+---)。首先看最简单的实标量场论的情形。实标量场的拉格朗日密度是

将该拉格朗日密度代入之前导出的能动张量的公式可得

从上式不难发现：实标量场论的自动关于下标，对称，即满足

所以我们无需对其做进一步的对称化处理。依据广义协变原理的要求，上述平直时空中导出的实标量场的能动张量在广义相对论弯曲时空中将被提升成如下形式（闵可夫斯基度规提升成一般弯曲时空的度规，同时普通导数提升成协变导数）

接下来看稍复杂一点的复标量场论的情形。复标量场的拉格朗日密度是

采用与之前相同的逻辑，将该拉格朗日密度代入之前导出的能动张量的公式可得

从上式不难发现：与实标量场论的一样，复标量场论的也自动关于下标，对称，即满足

所以我们无需对其做进一步的对称化处理。依据广义协变原理的要求，上述平直时空中导出的复标量场的能动张量在广义相对论弯曲时空中将被提升成如下形式（闵可夫斯基度规提升成一般弯曲时空的度规，同时普通导数提升成协变导数）

最后看较为复杂的电磁场理论的情形。电磁场本身（不含源）的拉格朗日密度是

其中是电磁场场强张量，其与电磁规范势间的关系是

采用与之前相同的逻辑，将上述拉格朗日密度代入之前导出的能动张量的公式可得

所以与之前实标量场论及复标量场论所导出的不同的是：此处电磁场的并不关于下标，对称，即

所以必须对其做对称化处理使其提升成一个关于下标，对称的张量以便合法地进入到爱因斯坦场方程的右手边

容易看出这个修正过后的电磁场的能动张量自动关于下标，对称，即满足

且不难验证：仍满足如下连续性方程的基本要求

依据广义协变原理的要求，上述平直时空中导出的电磁场的能动张量在广义相对论弯曲时空中将被提升成如下形式（闵可夫斯基度规提升成一般弯曲时空的度规，同时普通导数提升成协变导数）

其中是定义在弯曲时空中的电磁场场强张量，其与电磁规范势间的关系是

通过上述三个具体例子的计算，我们基本对场论和广义相对论中的能动张量有了初步的认识。接下来我们的目标就是要找出爱因斯坦场方程与牛顿万有引力定律间的联系并由此定出爱因斯坦场方程

中比例系数的具体数值。当然为了方便后续的数学处理，我们首先将上述爱因斯坦场方程变换成与其等价的对偶形式

我们现在考虑上述等价的以对偶形式表出的爱因斯坦场方程在低速，静态，弱场极限下的近似形式。在该极限条件下对对偶形式的爱因斯坦场方程关于度规场作微扰展开（注意：此处我们将回归到广义相对论里经常采用的多数为正的度规号差(-+++)）。首先将协变度规在平直时空闵可夫斯基度规附近作微扰展开

其中上式中的度规微扰被记作。所以相应地，容易写出逆变度规（基本是协变度规的逆）的微扰展开是

容易验证上述协变与逆变度规的乘积的确满足

接下来计算在广义相对论中与度规适配的联络

将协变与逆变度规的微扰展开式代入上述联络的表达式并保留到度规微扰的线性阶得

有了上述以度规微扰表出的联络的具体形式，接下来我们从该联络出发构建黎曼曲率张量

对黎曼曲率张量缩并一次后得到里奇张量

将之前得出的以度规微扰表出的联络的具体形式代入上述里奇张量的表达式并保留到度规微扰的线性阶得

下面取对偶形式爱因斯坦场方程的0-0分量。其中对偶形式场方程的左手边就是里奇张量 。它的0-0分量在静态弱场极限下近似是

而对偶形式场方程右手边的0-0分量是

其中是物质场的能量密度，而根据爱因斯坦质能等价关系它基本也是物质场的质量密度ρ。在静态弱场极限下，能动张量的0-0分量远大于其它所有分量，即近似为

所以相应的及其迹近似是

所以对偶形式爱因斯坦场方程的0-0分量在静态弱场极限下将退化成如下形式

注意到上述方程与控制牛顿万有引力定律的泊松方程具有完全相同的数学形式

其中是经典的牛顿引力势。所以应当和我们早已熟悉具有明确物理意义的间存在某种联系。所以接下来的目标自然是定出和间的定量关系，然后在此基础上定出爱因斯坦场方程右手边比例系数 的具体数值。为此我们考虑广义相对论中自由粒子的测地线方程，它基本可视为牛顿第二定律在广义相对论中的推广。取其空间分量后得

其中。在低速弱场极限下测地线方程退化成

在静态弱场极限下代入联络表达式并保留到度规微扰的线性阶得

所以我们在低速静态弱场极限下得到了广义相对论中自由粒子的测地线方程近似是

另一方面，在低速静态弱场的物理极限下，我们理应回归到如下经典牛顿力学中的运动方程

其中是经典的牛顿引力势，m是粒子质量。（注意：上述方程左侧的m表征的是粒子的惯性质量，而右侧的m表征的是粒子的引力质量。而依据等效原理，惯性质量和引力质量相等，所以m可同时从方程两端消去）通过比较上述低速静态弱场极限下的测地线方程和经典牛顿力学中的方程，我们容易定出和间的定量关系是

其中C是个任意常数，一般由无穷远处的边界条件决定。所以原始度规的0-0分量可写成

下面将和间的定量关系重新代回之前已得出的低速静态弱场极限下对偶形式爱因斯坦场方程的0-0分量可得

上述低速静态弱场极限下的场方程理应回归到如下控制牛顿万有引力定律的泊松方程

通过比较不难定出比例系数的具体数值是

所以我们通过低速静态弱场极限下与经典牛顿力学及万有引力定律的联系最终定出了完整的带物质的爱因斯坦场方程是

接下来我们通过一些简单的量纲分析还原出上述爱因斯坦场方程中所有的普适常数。首先，容易从联络与度规关系的表达式中看出联络的量纲，然后由此容易得出黎曼曲率张量及里奇张量的量纲

所以容易得出爱因斯坦张量（即场方程左手边）的量纲是

而场方程右手边的量纲就是能动张量的量纲，即

可以发现此时场方程左右两端量纲不同。场方程右手边仍需要一个量纲是

的比例常数以使得场方程左右两端具有相同的量纲。所以现在的目标就是寻找一个恰好具有如上量纲的普适常数的组合作为比例常数放到场方程的右手边。我们这里不妨考虑三个普适常数：即牛顿引力常数G，光速c，约化普朗克常数。它们的量纲分别是

我们希望恰当地组合G，c，以给出场方程右手边所仍需要的量纲

其中α，β，γ是三个我们需要求解的待定参数。代入之前导出的G，c，量纲的具体形式可得

所以经过上述简单的量纲分析我们成功地还原出如下完整的带物质的爱因斯坦场方程中所有的普适常数

5. 从局域规范不变性出发决定规范相互作用满足的经典运动方程

上一节中我们从局域坐标变换不变性这个高度限制性的约束出发，基本定出了广义相对论作用量的形式（即爱因斯坦-希尔伯特作用量），并由此给出了引力所满足的经典运动方程 ----- 爱因斯坦场方程的具体形式。本节我们将采用完全类似的处理手法从局域规范不变性这个高度限制性的约束出发，定出规范理论作用量的形式，并由此给出规范场所满足的经典运动方程。我们下面先讨论U(1)阿贝尔规范理论/麦克斯韦电磁理论，然后再将其推广到SU(N)非阿贝尔规范理论的情形。在U(1)阿贝尔规范理论中作用量必须是个局域U(1)规范变换下的不变量才能自动保证由它导出的规范场/电磁场的运动方程满足局域规范不变性（规范原理）的根本要求。为此我们构造出如下满足该要求的作用量（当然前提是这里构造的作用量必须首先是个洛伦兹不变量以满足狭义相对论原理的基本要求）

该作用量也叫作“麦克斯韦-狄拉克作用量”（Maxwell-Dirac action）。在局域U(1)规范变换下，该作用量将变成

利用先前得出的电磁场场强张量，狄拉克场及规范协变导数在局域U(1)规范变换下的变换性质有

上述推导说明我们构造出的麦克斯韦-狄拉克作用量的确具备局域U(1)规范不变性。值得注意的是：该局域U(1)规范不变性的要求其实是个非常强的约束，它保证了电磁场的质量项不能出现在麦克斯韦-狄拉克作用量里。也就是说，局域U(1)规范不变性要求电磁场/光子的质量必须是0！为了说明这一点，不妨考虑如下的电磁场质量项对应的作用量在局域U(1)规范变换下的变换性质

在局域U(1)规范变换下，该电磁场质量项对应的作用量将变成

从上式不难发现：除非电磁场/光子的质量是0，否则该电磁场质量项对应的作用量将不满足局域U(1)规范不变性的要求。接下来我们就从麦克斯韦-狄拉克作用量出发推导U(1)规范场/电磁场所服从的经典运动方程。首先将麦克斯韦-狄拉克作用量显式写成

依据作用量原理，U(1)规范场/电磁场的经典运动方程由该作用量泛函的极值决定。所以将麦克斯韦-狄拉克作用量对电磁规范势变分并置0

这就是以张量形式表述的U(1)规范场/电磁场所服从的经典运动方程，叫作“麦克斯韦方程”。当然我们也可利用完全相同的处理手法得出该理论中狄拉克场 及其共轭 所满足的方程（即所谓的“狄拉克方程”），但因为它不是本文要讨论的重点，所以我们就不推导它了。下面我们将U(1)阿贝尔规范理论推广到SU(N)非阿贝尔规范理论的情形。类似地，在SU(N)非阿贝尔规范理论中作用量必须是个局域SU(N)规范变换下的不变量才能自动保证由它导出的非阿贝尔规范场的运动方程满足局域规范不变性（规范原理）的根本要求。为此我们构造出如下满足该要求的作用量（当然前提是这里构造的作用量必须首先是个洛伦兹不变量以满足狭义相对论原理的基本要求。而且注意在SU(N)非阿贝尔规范理论里的规范势，场强张量等物理量都被提升成了一般不满足乘法交换律的非对易的矩阵，所以在构造规范不变的作用量时需要恰当地使用迹算符）

利用先前得出的非阿贝尔规范场场强张量，狄拉克场及规范协变导数在局域SU(N)规范变换下的变换性质有

利用迹算符的性质有

上述推导说明我们构造出的杨-米尔斯作用量的确具备局域SU(N)规范不变性。接下来我们就从杨-米尔斯作用量出发推导SU(N)规范场所服从的经典运动方程。首先将杨-米尔斯作用量显式写成

依据作用量原理，SU(N)规范场的经典运动方程由该作用量泛函的极值决定。所以将杨-米尔斯作用量对非阿贝尔规范势变分并置0

这就是SU(N)非阿贝尔规范场所服从的经典运动方程，叫作“杨-米尔斯方程”。可以发现该方程与麦克斯韦方程在数学形式上非常相似。但与线性的麦克斯韦方程不同，此处的杨-米尔斯方程是个非线性方程，即存在非线性的自相互作用。我们也可利用完全相同的处理手法得出该理论中狄拉克场 及其共轭 所满足的方程（即所谓的“狄拉克方程”），但因为它不是本文要讨论的重点，所以我们就不推导它了。最后，上述杨-米尔斯方程亦可用规范协变导数等价改写成如下更为紧凑的数学形式

编辑：穆梓