首先你需要一小块重物，来一根线，再把它们绑在一起，固定住...
恭喜你，你得到了物理中最为简单实用的系统之一：单摆！
从伽利略发现单摆摆动的等时性，到惠更斯制造的第一个摆钟，再到现在物理教科书中无处不在的图画，单摆一直在物理学基础的发现与教育中发挥着重要的作用。为了更好地理解物理学并为更深层次的物理学习打好基础，我将带领大家进一步了解单摆的运动与规律。
我们怎样预测单摆的运动？
在我们开始具体分析前，我们需要先“定义”我们的单摆。
有一根边长为，质量趋近于零的线，一端被固定到墙上，一端绑着一个质量为，大小趋近于零的小球。
如果要预测单摆的运动，就要先构建一个描述它位置的坐标系。
在这里我们不会使用最常用的笛卡尔坐标系，而是使用极坐标系，即以点与原点的距离，以及点与原点连成的线与特定轴的夹角定义一个点的坐标系。这是因为在这个坐标系中，我们不需要考虑，因为小球与原点（线的固定点）的距离恒定为，所以我们只需要考虑。此外，我们会将为的位置定义为线段垂直向下时单摆的位置，因为这将是单摆达到平衡的点，也就是说，它在这里时就不会再移动了。同时，我们将单摆上小球与平衡点的弧长定义为，表达形式为。
需要注意的是，我将使用弧度作为测量角度的单位，换算方法为180度=π弧度。这是因为弧度的定义为半径为1的圆的弧长对应的角度。
我们开始前的最后一步是知道我们需要求得什么。我们需要知道单摆角度如何随着时间变化，因此我们需要定义一个方程，并求解该方程。为了书写简便，在下文中的绝大部分，我将用代替。
在牛顿力学中分析物体运动时，我们只需要做三步：
首先，我们画出物体的受力图。
在单摆系统中，只有两个力：重力（）以及绳子的拉力（）。
第二步是画出物体上的合力。
首先，因为那根细绳将单摆的运动限制在了以固定点为圆心，半径为的圆上，我们只需要考虑与圆周相切的力。
因为拉力是绳子在被拉扯时的应力，其一定是与细绳共线，与圆周垂直的，因此我们不用考虑它。
对于重力，我们只需要它在与圆周相切方向的分力。为此，我们需要采用几何方法。
首先，重力方向与竖轴平行，所以拉力与重力向上方的延长线之间的夹角为。
然后，因为圆在一点的切线与法线平行，拉力与圆的切线垂直，所以重力与其在与圆周相切方向的分力为。
学过三角函数的同学现在肯定就能看出来了，我们需要的重力分力的表达形式为，也就是。
实际上，我们需要再将这个合力乘以，因为它指向的方向与位移相反。
下一步是将其带入牛顿第二定律的方程，。
此处我使用对于的二阶导数代替，因为加速度是速度的导数，速度是位移的导数，所以加速度就是位移的二阶导数。
我们想要变量越少越好，所以我们最好能把以的形式写出来。
注意到，且因为为常数，其对的导数为，所以我们可以将替换为。
在进行一定的化简后，我们得到以下结果：
这个方程叫的运动方程。通过它，我们可以推导出单摆的运动轨迹。
最后一步是求解。
如果你使用上面我们刚刚得到的方程尝试求解，你会发现，这一项的存在使求解非常困难。因此，我们将使用近似的方法，将问题简化。
在较小时，可以被近似为（如果你知道泰勒级数的话，你就会知道是的泰勒级数中的第一项），所以我们的等式就变成了
现在的方程就比较好解决了。
是什么方程，在进行两次微分后，得到的是自己乘以一个负数呢？
对微积分有所涉猎的同学肯定一下就想出来了，答案是三角函数。
这是因为的导数是，而的导数是。因此，的二阶导数是，的二阶导数是。因此，我们等式的通解是
其中、、均为常数，A与释放单摆时的位置有关，B与释放单摆时的角速度有关，则与单摆的周期有关。
那长什么样呢？三角函数都是周期性函数，所以在被绘制在图表上后会显现强周期性，如下图：
由此，我们也可以知道，单摆的夹角大小会随着时间呈现正弦波形的周期运动，这也与我们在现实中看到的现象是一致的。
那该如何知道单摆的周期呢？
单摆的周期就相当于的周期，而学过中学数学的同学应该都知道，三角函数的周期为。
那是什么呢？
之前我们提到，的二阶导数是，的二阶导数是。将我们得到的等式带入一下，就等于，。因此，我们得到答案，单摆周期为，也就是
当然，上面的公式只在初始角度较小（小于30度）时较为精确，更大的角度将会导致更大的误差，可对于初学者来说，这已经足够了。
单摆虽然看起来简单，可它却包含了许多物理与数学知识。光是在本文中，我们就涉及了受力分析、简谐运动、广义坐标、微积分、微分方程等知识。此外，如果我们使用分析力学对单摆进行分析，我们还会使用拉格朗日量、欧拉-拉格朗日方程、哈密顿量、哈密顿方程、相空间...
从物理的角度上分析，任何一个物体都包含着丰富的知识。正是因为有早期善于从日常生活中发现总结物理定律的先驱者们，我们才有现在的璀璨文明与知识。希望明天的你也可以发现自己身边的知识。
谢谢观看。
