如果有人想要了解量子力学，他们最先看到的，很可能就是量子力学中关于叠加态(quantum superposition)的描述。一个粒子在叠加态时，它可以存在于任意一个它可能存在的地方。就例如，如果一个人想从北京到上海，他可以通过飞机，火车，长途车，自驾，甚至徒步等方式来达到目的。在现实中，这个人会选择一个方式去上海。而如果这件事件处于量子叠加态中，按照叠加态的描述，这个人会同时乘坐飞机，火车，长途车，私家车，徒步等一切可能的方式从北京去往上海。而在量子力学中，当一个处于叠加态的量子被观测时，它会“塌缩”成它众多可能性中的一个，变得“确定”。而量子塌缩成不同状态的机率往往是不一样的，受到观测时，量子更可能塌缩成机率更高的那一个状态。如果将这个量子塌缩成所有状态的机率画成一个图表的话，就会得到一个函数图像，然后，便能得到这个量子的“概率波”，而这个函数，在量子力学中可以通过一个量子的波函数ψ(psi，音同“普赛“连读)求得。这个波函数ψ（不等于概率函数），在量子力学中像是粒子的“身份证”，是一切的基础。
一个二维粒子的波函数图像
那么，该如何得到一个粒子的波函数呢？现在，人们常常通过求解薛定谔方程来达到这一目的：薛定谔方程
在这个方程中，等号左边第一项 ，表达的是粒子的动能；
第二项，表达的是粒子的势能；
而相应地，等号右边的那一项，便代表了粒子的总能量。
所以，简而言之，虽然看起来很不像那么一回事，但薛定谔方程大概描述了一个“动能+势能=总能量”这么一个关系。
或者换一种方式，这个薛定谔方程，也表达出粒子的状态同时受自身（动能部分）和外界（势能部分）因素的影响。
那么，薛定谔方程的解，一般会是什么样子的呢？
简单起见，让我们先假设这是一个一维空间，在这个空间中势能永远为0，也就是整个空间中的势（potential）永远相等。那么，薛定谔方程在这个情况下，便变成了：
*拉普拉斯算符（Laplace operator）在这个情况下相当于求二次导数（second derivative)
由于 和 E 在这一情况下可以被考虑为常数：
其中，为一个常数。
那么现在，可以看出，ψ具有求导两次后，等于自己的负数乘常数的性质。好巧不巧，三角函数里的正弦函数sine，正好具有相同的性质（此处省略了链式法则（chain rule)，也就是常数
的由来）：
因此，薛定谔方程的解，通常和正弦波有关，例如：
其中，、
为常数。
说了这么多，一个粒子的波函数到底是什么样子的呢？
当我们想象一个从距离坐标x=0一直到x=a, a>0的一维空间，
图中，红色长方形代表着空间的边界（一个在x=0，一个在x=a (a>0))，黑色箭头代表x-坐标轴
假设空间中一个粒子有这么一个波函数ψ，对于这个波函数，1、2两点完全可以通过我们的常识得知：
1. 粒子不可能在空间外出现
2. 由ψ所求出的概率的总和（积分/或者说是函数下面的面积）必须为100%（或者1）
3. ψ是连续的函数
由于ψ不能在空间外有不等于0的值，在x=0和x=a (a>0)的地方，ψ也必须等于0，不然这个函数就不是连续的了。因此，假如，
是一个常数，那么，ψ只能等于
，n是正整数。
因此，这个波函数，可能是这样的【】：
也可能是这样的【】：
还可能是这样的【】：
依此类推
通过一个粒子在一个封闭空间内只能有符合特定要求的几个波函数ψ这一点，可以看出：当波函数和粒子的能量有关系时，由于n必须是正整数，粒子可能蕴含的能量也相应地不是连续的，而是离散的(discrete energy levels)。这代表单个粒子所蕴含的能量只能是某几个特定的值，这一点在光电效应中尤为重要。
在第一个例子中，可以看到波函数ψ在空间外永远等于0，而在空间内，根据这个波函数的描述，该粒子出现在空间最中心的概率最大，而出现在空间边界（无限趋近于x=0和x=a的地方）的概率最小（无限趋近于0）。相应地，如果我们想去测量这个粒子在空间中的位置，我们最可能发现这个粒子出现在空间的正中央（
）。
可是，相信不少读者已经发现了，一个粒子波函数的值可以是负数，可概率怎么可能会有负的呢？但是，我们之前讲过，即使粒子的波函数ψ和发现粒子的概率紧紧相连，但它无法直接告诉我们一个粒子出现的概率到底是多少。那么，该如何通过粒子的波函数求得它出现在这一位置的概率呢？答案很简单，只要将那一点ψ的绝对值取平方就好（），而通过平方，所有的负数也都被变成了正数。
这时，如果有些数学比较好的读者试着去将上述几个粒子的概率函数求积分，算出底下的总面积（总概率），会发现很多时候它的值并不等于1。这在数学上是不可接受的，毕竟当我们确定这个粒子肯定存在在这个空间中时，它存在在该空间中的概率只会是100%，也就是1。因此，为了克服这个问题，物理学家们创建出了一个极其简单粗暴又有效的方法——归一化（normalization）。
归一化的概念很简单——既然这个积分它算出来不等于1，那我们把它乘上一个固定的系数，让它等于1不就行了？
于是，假如有这么一个波函数
那么它存在在空间内任意地方的概率（概率函数积分）便等于：
这里，必须等于1，也正好因为它是一个常数，我们只要在这时乘上一个
就可以了。而
在逆推到原方程里去，便变成了
。所以，经过归一化后这一粒子的波函数便是：
而相应地，它在这一空间内出现的概率总和也等于1了
也只有当这个函数代入到薛定谔方程里时，才能使等式成立，而之前那个没有被归一化过的函数并不能。
到这里，粒子的身份证，也就是波函数ψ，总算是变成了完善又合规范的模样。而也只有通过得到粒子的“专属身份证”，物理学家们才能在各式各样的计算中确保自己是在对这一个粒子进行研究。因此，在许许多多有关量子力学的科学研究中，求出粒子的波函数ψ永远都是后续各种天马行空的推导的第一步。
