1. 介绍
2. 方法
其中和
表示傅里叶变换及其逆变换。
是傅立叶域中的滤波器函数。由于引入了显微物镜、管透镜等成像元件，DHM中不可避免地会出现位相畸变。在传统的数值重建过程之后，包裹相位可以表示为：
其中和
分别表示样本相位和相位畸变。像差
可以通过使用Zernike多项式的表面拟合来建模为：
其中是第i阶的泽尔尼克多项式，
是相应的系数。像差可以通过从恢复的相位中减去
来进行数字补偿。
如图1所示，我们生成了两个512 × 512像素的半球形表面作为模拟相位。为了合成具有像差的相位，我们使用Zernike多项式来模拟像差。然后，引入参考波以与样本波干涉，从而产生全息图。随后，进行了重构过程，包括快速傅里叶变换（FFT）、频谱滤波和逆FFT。如图1所示，恢复的相位由于像差而失真。
与传统的重构方法相比，要获得精确的采样相位分布需要两个额外的步骤：相位解包裹和Zernike多项式拟合相位补偿。多项式拟合是基于解包裹相位的，拟合的精度对解包裹方法非常敏感。背景分割是一种有效的提取无样本区域进行解包裹的方法，但它增加了整体工作量。在DHM中，还存在额外的挑战，例如不同方向上的不均匀像差相位以及包裹相位中的样本相位和像差的混合。因此，单独的固定方向相位解包裹不足以解决复杂和不对称的像差问题。
Fig.1. 重建和像差补偿方案。步骤一：模拟相位像差;步骤二：DHM的常规重建过程，包括FFT、频谱滤波和逆FFT;步骤三：面向像差的解包裹;步骤四：多项式拟合和相位补偿。(a)像素的可靠性;（b）（c）水平和垂直边缘的可靠性;（d）-（f）解包裹过程中的组
我们面向像差的相位去包裹方法遵循的是一条局部的、非连续的路径，由于相位像差的范围往往远大于样本的相位，在分组和确定去包裹区域时，相位像差必须是较大的分组，去包裹过程也是基于在畸变组。因此，相位解包裹过程由像差引导，具有大面积和高动态范围的像差项可以很好地展开到二维表面，而具有小面积和低动态范围的样品相位成为次要考虑因素。采用面向像差的相位解包裹算法进行相位解包裹，为后续像差曲面的多项式拟合提供了更方便的拟合数据。该过程总结在算法1中。首先，在行2中，利用像素之间的二阶差来确定包裹相位中像素的可靠性。然后，水平和垂直边缘可靠性由行3中的两个相邻像素的可靠性之和定义。通过对边缘可靠性排序确定离散解包裹路径。所有像素最初都没有被标记组。随着解包裹的继续，第6行中的像素被标记为第9行中的同一组。值得一提的是，属于较小组的像素相对于较大组中的像素被展开，这确保了像差被整体地展开。
泽尼克圆多项式广泛用于波前分析，因为它们可以表示几何波前与参考球面的偏离。它们可以写成：
其中是圆形瞳孔平面中的极坐标，
是径向多项式。下标j是多项式排序数，它是n和m的函数。
如上所述，Zernike系数由于它们的正交性而线性独立，因此可以分离和单独量化各个像差对整个波前的贡献。方程(4)中的拟合过程可以表述为解决矩阵中的线性方程：
二维矩阵和
被展开为列向量，m是需要拟合的点的总数。由列向量组成的新的二维矩阵用作线性方程的系数矩阵。由于多项式的正交性，多项式矩阵是可逆的。方程(7)是超定的，并且变量c可以通过最小二乘法简单求解：
目标函数可展开如下：
其中等于
。由于结果
是一个标量，所以它等于它的转置矩阵，即
。然后对目标函数E(c)取偏导数：
由于矩阵Z的正交性，E(c)是凸函数。具有零导数的点使目标函数值最小化：
Fig.2. 模拟结果：(a)-(d)模拟的相位、像差和全息图；(e)(f)全息图的光谱及其+1级；(g)初始重建；(h)拟合像差；(i)无像差的重建相位；(j)定量分析
Fig.3. 所提出方法应用于模拟像差的补偿结果。两个模拟样品是半球形表面和USAF 1951
为了进一步验证所提出方法的可行性，对基于Mach-Zehnder干涉的数字全息显微术进行了实验研究。如图4所示，我们采用He-Ne激光器（632.8 nm，HNLS 008 R，Thorlabs）作为相干照明，并采用像素尺寸为5.86 μm的探测器。为了产生物光波和参考光波，经过准直和扩束的激光被分束器分成两束。物光波通过由凸透镜、20×无限远校正显微物镜（RMS 20 X，0.4 NA，Olympus）和镜筒透镜组成的显微系统，最终在相机平面成像。镜筒透镜的焦距为75 mm。参考光束被4f系统（L1和L2）扩展，并在照相机平面中与物体光波干涉，生成全息图。
Fig.4. DHM示意图
首次使用定量相位显微镜靶来验证光学装置和算法。图5（a）中的全息图是由DHM获得的，其尺寸为4096 × 3076像素。图5（b）示出了全息图的频谱，并且将带通滤波器应用于该光谱以恢复样品的复振幅。由于样品为纯相位物体，图5（c）中仅显示了相位图像。在这种情况下，DHM的相位像中只出现了线性像差和球差。所述算法用于补偿相位图像中的相位畸变，图5（d）示出了由该算法拟合的相位畸变。通过从来自图5（e）中的DHM的相位值中减去像差掩模来补偿像差。相位分布清晰，没有多余的背景相位。USAF 1951的区域在图5（f）中用数字方法重新聚焦和放大。数字重聚焦是通过菲涅耳传播算法实现的，该算法可以将恢复的样本聚焦在不同的纵向平面上。
Fig.5. 定量相位显微镜目标的结果
为了测试算法对不同像差的鲁棒性，我们记录了各种静态样本的全息图，包括切片肠、切片鱼鳃和切片鱼卵巢。为了验证在不同像差情况下的可行性，我们采用了10×（0.25NA）和20×（0.4NA）两种不同放大倍数的显微物镜。结果如图6所示，包括补偿前后的相位图像，以及2D包裹和3D解包裹像差。由于样品和光学系统的变化，在恢复的相位图像中，像差有很大的不同，包含了不同曲率的球面像差。除标准球差外，切片肠道和切片鱼鳃的相位图像中还存在高阶像差。尽管像差不均匀，但该方法在各种情况下仍能很好地工作。
并对鱼鳃片样品进行了不同方法的比较。在对频谱进行裁剪之后，用于像差补偿的图像的大小为800 × 800像素。该代码在配备2.90GHz CPU（Intel i7- 10700 F）和MATLAB的PC上运行，并且记录时间消耗。结果如图7所示，采用相位变化（PV）定量评价结果。
相位变化的值越小，相位的背景越均匀。可以看出，所提出的方法和Goldstein分支切割方法可以精确地补偿像差，但是所提出的方法的时间消耗远小于Goldstein分支切割方法。基于主成分分析和多重FFT的方法虽然计算速度快，但补偿效果很差。图8表示上述结果的背景定量值。与其他方法相比，该方法重建的背景更加均匀。总的来说，所提出的方法在速度计算和补偿结果方面综合优秀。
Fig.6. 不同样本的重建结果。由于装置的不同，像差也不同。最后一列显示了通过所提出的方法拟合的像差的3D表面图
Fig.7. 切片鱼鳃样品的不同方法比较，PV：相位变化。BC：Goldstein分支切割方法
Fig.8. 图7中横截面线中无像差相位的轮廓比较
本文提出了一种自动、鲁棒的DHM相差补偿方法。该方法既不需要背景分割，也不需要复杂的优化，实现了精确的拟合。相位解包裹采用了一种特殊的方法，即沿非连续路径的相位解包裹算法，通过对可靠度的排序和分组，实现了畸变相位的优先整体展开。精确的像差可以通过基于Zernike正交多项式的最小二乘拟合来近似。通过减去近似的像差，恢复出具有均匀背景和高对比度的真实相位分布。相比于其他方法，本文方法具有较高的精度和较短的计算时间。多样本仿真和实验结果验证了该方法的可行性和鲁棒性。我们将在后续的研究中进一步优化算法。
论文信息：
该论文以”Efficient phase aberration compensation for digital holographic microscopy based on aberration-oriented phase unwrapping”为题在线发表在Optics Communications
本文第一作者为本实验室硕士吕文晋，通讯作者为本实验室负责人史祎诗教授。
Lyu, Wen**, and Yishi Shi. "Efficient phase aberration compensation for digital holographic microscopy based on aberration-oriented phase unwrapping." Optics Communications 554 (2024): 130212.
