撰稿人：田玉元
TITLE：角度校正算法aPIE：一种用于反射式叠层成像的角度校正算法
1.精要导读
反射式叠层作为一种无透镜显微成像技术通常应用于光学成像效率较低或非可见的电磁谱区域光源成像的场景，对于桌面级的极紫外显微镜的实验具有重要意义。而反射式叠层技术的关键之一是需要明确样品和探测器在非共面反射中的相对倾斜角度。本文给出了一种反射式叠层的倾斜角度估计方法，同时研究了平滑光束和结构光的重建质量和不确定性。
2.研究背景
在现代光学成像领域，叠层成像是一种颇具前景的技术，因其高分辨率成像能力而备受瞩目。反射式叠层成像是一种通过分析光线反射模式重建目标物体表面信息的技术。然而，在这种非共面散射几何结构中，样品和探测器之间的相对倾斜角度的准确度对于实验的成功至关重要。样品和探测器位于非共面几何结构中，样品的倾斜引入了在观测衍射数据中的非线性坐标扭曲，这会导致模型不匹配，从而降低成像性能。该论文报告了一种用于反射式叠层成像的角度校准算法，为解决这一问题提供了全新的方案。此外，还研究了照明波前形状对角度估计不确定度的影响。
3.原理方法
提出了一种基于逆映射和双线性插值的角度校准算法aPIE。该算法基于ePIE（扩展的叠层迭代引擎）算法，结合随机搜索和动量加速项来优化样品倾斜角度的估计值。并介绍了远场衍射公式和坐标变换关系，详细描述了正映射T和逆映射T-1。正映射方法将输入坐标网格变换到输出坐标网格，而逆映射方法则通过逆变换将强度函数插值到观测坐标上，如图1所示。
3.1 正映射(Forward Mapping)
正映射是指将输入坐标（如探测器坐标）通过坐标变换转换到输出坐标（如空间频率坐标）。具体步骤如下：
●坐标变换：应用一个坐标变换到输入坐标网格上，找到对应的输出坐标网格点。
●数据插值：由于变换的非线性，输出网格上的数据点间距不规则，因此需要将强度数据插值到规则网格上。
正映射的缺点在于插值步骤中使用的数据点不在与坐标轴对齐的直线网格上，这限制了使用快速双变量插值方案的可能性。
3.2逆映射(Backward Mapping)
逆映射是指将输出坐标通过逆变换转换回输入坐标，然后进行插值。具体步骤如下：
●逆变换：应用逆变换到一个均匀间隔的空间频率输出网格上，找到对应的观测坐标。
●插值：在探测器像素网格上进行插值，找到对应强度函数。
逆映射的优点在于插值步骤中的数据点位于规则的探测器像素网格上，这使得可以使用简单且快速的插值方法，如双线性插值。
图1样品倾斜对衍射的影响。(a)共面检测几何和垂直入射照明中的样品和检测器。(b)具有倾斜照明的非共面几何体。(b)中的衍射图案是通过(a)中衍射图案的非线性变换T获得的，反之亦然
提出了用于衡量模型与实验观测之间不匹配程度的误差度量公式：
通过随机搜索和动量加速项来优化倾斜角度的估计，具体步骤如图2所示。在每次迭代中，将测量的衍射强度进行逆映射转换，从空间频率坐标转换到观测坐标。测试角度θt取自宽度为2∆θ的均匀概率分布(U)，并以当前估计值θ为中心。当候选解接近真实倾斜角时，误差度量公式中的模型失配减小。因此，如果测试角度θt的误差et小于先前角度估计值θ的误差ce，则将后者替换为前者。并且增加了一个额外的参数，c = 0.999，使测试角度误差和先前估计的角度之间的比较更加稳健。在算法的每次迭代中，∆θ被线性收缩以缩小搜索空间。接下来，受mPIE方法的启发，在角度中加入动量加速项，以加快收敛速度。这个动量项在0处初始化，并在每次迭代结束时更新为vj。在每个循环的最后，用下一个动量更新步骤θ来更新角度估计值。
图2 基于Luus-Jaakola算法的角度校准叠层迭代引擎算法(aPIE)
4.实验结果分析
反射式叠层成像实验装置图，如图3所示。通过短通和长通滤波器对超连续光源进行光谱限制，最后通过声光可调滤波器选择窄波段，产生708.8 nm波长附近的照明。样品（USAF分辨率板）和探测器安装在两个同心旋转台上，可以控制入射光束与样品表面法线之间的倾斜角θ。使用该装置，在43±1°的倾斜角度下记录20个数据集。在这些测量中，有一半使用了聚焦的平顶光束，而另一半则使用了结构化光束。每个数据集包括152张衍射图，由CCD相机在样品和探测器距离为71.4 mm处记录。扫描的线性重叠率为87%。
在使用400次aPIE迭代之前，经过了200次ePIE迭代的预处理。图3(d)和图3(f)描述了平滑照明情况下物体和探头的代表性重建，图3(c)、图3(e)、图3(g)描述了结构化照明情况下物体和探头的代表性重建。通过估计倾斜角度θ恢复值的标准差，比较圆平顶光束与结构化光束的角度校准的鲁棒性。对比结果如图3(a)所示，其中实线和阴影区域表示当前角度估计值的平均值和标准差。可见，对于结构化光束，角度估计值的标准差要小得多，表明参数估计性能更精确。这也体现在图3(e)(结构化)与图3(d)(平滑)相比，物体重建质量有所提高。图3(b)显示了不同重建的倾斜角θ与迭代次数的函数关系。实验结果表明，aPIE算法在初始估计范围高达10°偏差时表现出稳健的性能。结构化光束的角度估计标准差较小，收敛速度更快通过交替优化倾斜角度和探测器-样品距离，验证了即使两个参数都不完全已知，也能实现有效的联合校准。最终，倾斜角度的估计值为43.37±0.06°，探测器-样品距离的估计值为71.16±0.04 mm。
图3 实验装置。通过短通（SP1000）和长通（LP700）滤光片将超连续谱源的光谱限制在700nm至1000nm的波长范围内。使用偏振分束器（PBS）对光束进行线性偏振。通过声光可调滤波器（AOTF）选择窄光谱带（∆λ=0.6nm）。光束通过透镜L1（f1=25mm）和L2（f2=300mm）扩展，并通过针孔PH1（空针孔）或PH2（带Scotch Tape漫射器的针孔）调制。最后，通过L3（f5=500mm）将针孔成像到样品上。样品和检测器安装在同心旋转台（虚线）上，允许灵活控制样品法线和光轴之间的倾斜角度θ。
图4 (a)比较了平滑（绿色）和结构化（蓝色）照明下估计角度的标准差。实线表示平均倾斜角估计，而阴影区域表示从平均值±1个标准差内的区域（平均超过10次测量）。(b)不同初始倾斜角θ猜测的收敛行为。绿线（带圆形标记）表示平滑照明，蓝线表示结构化照明。图(a)和(b)中显示的结果在开始aPIE之前，经过了200次ePIE在原始角度估计上的预处理。(c1)–(c3)使用结构化照明进行角度校正方法收敛前后的图像重建：(c1)校正前，(c2)校正过程中，(c3)校正后。请注意，在图(c1)中，角度校正开始之前ePIE已经达到了收敛。(d), (f)分别使用平滑光束获得的目标和探针重建。(e), (g)分别使用结构化光束获得的目标和探针重建。
5.总结与展望
aPIE算法在反射式叠层成像中提高了鲁棒性，允许倾斜角度的自校准。结构化光束有助于减少角度估计的不确定性并提高算法的收敛速度。尽管进行坐标变换时依赖于探测器-样品距离，但即使在参数未知的情况下，对倾斜角度和探测器-样品距离的交替下降优化是可行的。
总之，aPIE算法的提出标志着反射式叠层成像领域迈出了关键的一步，为高分辨率成像技术的进步提供了新的动力。我们期待在不久的将来，aPIE算法能够在更广泛的应用中展现其卓越的性能，带来更多科学研究和工业应用的突破。
原文链接：https://doi.org/10.1364/OL.453655
参考文献
[1]Anne de Beurs, Lars Loetgering, Milan Herczog, Mengqi Du, Kjeld S. E. Eikema, and Stefan Witte, "aPIE: an angle calibration algorithm for reflection ptychography," Opt. Lett. 47, 1949-1952 (2022)
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