[来点idea_2]-倾斜角谱法进行斜面校正

撰稿人：李愫

TITLE ：倾斜角谱法进行斜面校正

1.精要导读

倾斜角谱传播法是一种模拟场传播的斜面校正方法。该方法基于平面波的角谱和傅里叶域中的坐标旋转，消除了传统传播计算的几何限制，使我们能够在不平行于孔径的平面上计算衍射光场的复振幅。该技术的特点是计算速度快，执行两次快速傅里叶变换和一次频谱插值。它的计算时间与平行平面间衍射或传播的标准计算方法相当。

2.研究背景

在衍射恢复技术中，倾斜平面校正（Tilted plane correction）的重要性不可忽视，当样品平面相对于探测器平面倾斜时，会在观察到的衍射数据中引入非线性坐标扭曲，严重影响成像质量。为了准确重建样品的图像，必须对这种倾斜引起的畸变进行校正。

倾斜角谱的传播方法让我们能够在样品平面和探测器平面之间进行精确的衍射计算，即使这两个平面存在夹角。这种方法通常涉及到在傅里叶域内对坐标进行旋转或映射的复杂计算，即使在倾斜条件下，也能从测量的衍射模式中准确地恢复出样品的图像。

在CDI与Ptychography中，倾斜平面校正发挥着重要作用。使得无透镜成像技术能够应用于广泛的实验配置中，包括那些因为样品倾斜而导致的非共面几何结构。反射型样品成像时，需要进行一个有角度的反射，以便在CCD上接收到衍射强度，所以我们接收到的是一个倾斜物的衍射像，需要对这种倾斜的影响进行处理，以便重建出正确的物。通过精确校正倾斜带来的畸变，能够从复杂的衍射模式中重建出高质量的图像，从而提高重建模型的准确性和分辨率。

3.原理方法

3.1 原理概述

源坐标系统(x,y,z)用于定义初始复振幅g(x,y)，参考坐标系统(x',y',z')用于得到最终的传播场f(x',y')。

我们可以将倾斜角谱传播的过程简单理解为：首先，使用传统衍射方法将光从孔径衍射后传播到一个与源平面平行的中间平面。其次，将此中间平面上的场分解成平面波，在傅里叶域内进行坐标旋转，然后在倾斜的参考平面上重新合成。

图1 倾斜角谱传播流程示意

图2 倾斜平面的坐标系定义

图3 倾斜物/像的几何形状

    其中

3.2.3 旋转矩阵使用示例

    用于在y轴上以φ角度旋转坐标的变换矩阵为

4.变换非线性问题

图4 u→u'的变换曲线

根据抽样定理，sinc插值会提供最准确的结果，但sinc插值通常是一种非常耗时的方法。在进行倾斜平面校正时，我们对其进行双三次插值处理。

4.2 傅里叶谱重采样

图5 三个傅里叶空间的采样区域示例:(a)(d)为源，(b)(e)为参考，(c)(f)为移位的参考傅里叶空间。左列(a)-(c)是在源空间正方形区域内等距网格中采样的频谱情况，而右列(d)-(f)是在移位参考空间中等距和正方形采样的情况。本例以T= Rx(20°) Ry(30°)为例

在数值计算中，通常使用快速傅里叶变换（FFT）来计算波场的傅里叶谱。源平面的傅里叶谱F(u,v)采样在以傅里叶空间原点为中心的正方形区域内，如图5(a)所示。

但是，如图5(b)所示, 源傅里叶空间中的原点(u,v)被投影到(u₀',v₀')=(a_αλ^-1,a_βλ^-1)在参考傅里叶空间通过变换k'=Tk。由于傅里叶谱的采样点离傅里叶空间的原点较远，第二次FFT变换不能有效工作，原因是频谱偏移会导致失真和计算不准确，采样点的非对称性影响FFT的效率和精度，计算复杂度增加，以及引入边界效应影响结果准确性。要利用fft进行数值计算，应引入平移傅里叶空间(u',v')=(u'-u₀',v'-v₀')，以取消这些偏移。当使用这些移位的傅立叶频率时，参考平面中的频谱被改写为

图5 (c)显示了移位参考空间中采样区域的示例。

假设光谱F(u',v')以移位傅里叶空间为中心的非正方形区域，如图5(f)所示，(u',v')的起源在参考傅里叶空间中与光谱中心(u',v')=(u₀',v₀')相符。如图5(e)所示，以及如图(d)所示源傅里叶空间中的原点。采样点(u',v')投影到源傅里叶空间(u,v)如下:

    则

    在源平面轻微倾斜的情况下，参考平面的傅立叶谱可以近似为源谱，即F(u',v')≈F(u,v)。

最终可得出

傅里叶谱重采样技术在实现旋转变换时至关重要，确保了傅里叶变换的有效性，并解决了傅里叶空间中心偏移的问题，使得在参考平面上准确重建波场成为可能。

5.结果分析

我们使用倾斜角谱传播法对斜面校正进行了模拟实验，取倾斜角度分别为10°、30°和60°的样品进行斜面校正，模拟CCD记录样品的衍射图像，记录不同倾斜角度下的衍射图像，并使用倾斜角谱传播函数进行恢复，得到了倾斜角谱传播及恢复的结果。

5.1 校正效果

图6 (a)原图;(b1-b2)平行平面传播及恢复结果;(c1-c2,d1-d3,e1-e3)10°、30°、60°倾斜传播及倾斜角谱恢复(倾斜校正)、未倾斜校正的结果

图6展示了倾斜角度为10°、30°和60°时的倾斜传播结果、倾斜角谱恢复结果(带有倾斜校正效果)、未进行校正的恢复结果。校正后的物的图像中，条纹更加清晰，细节更加丰富，校正后的图像在边缘和细节处清晰度有显著提升，尤其在高倾斜角度下效果更加明显。这表明倾斜角谱法能有效校正倾斜引起的图像畸变，提升成像质量。

5.2 计算时间

统计和比较了各个角度恢复的计算时间。其中0°相当于平行平面间的传播。结果显示，角度不大时，倾斜角谱法的计算时间与平行平面间传播的计算时间基本相当，但时间会根据角度的增加而增加，考虑为插值操作的耗时。具体数据如表所示。

表1 不同角度传播下的恢复计算耗时

6.方法总结

介绍了一种基于倾斜角谱的斜面校正方法，该方法通过傅里叶域中的坐标旋转，解决了传统衍射计算中的几何限制问题，实现了在倾斜平面上计算衍射光场的复振幅。结果表明，该方法在一定程度保持计算效率的同时，显著提高了成像质量。倾斜角谱法能有效校正倾斜平面引起的图像畸变，即使在较大倾斜角度下也能获得较为清晰的衍射图，适用于实际应用中的高效数据处理需求。此校正技术在数字全息、无透镜成像、CDI、叠层成像等领域具有广泛的应用前景，为处理复杂衍射模式提供了新的途径。