【技术帖】基于多边凸集模型的电动汽车悬置系统分析

在电动汽车的设计、生产制造和工作运行过程中，普遍存在着多种不确定因素.由于电动汽车采用电驱动动力总成替代传统发动机动力总成，发动机的“掩蔽效应”消失使得电动汽车的噪声、振动和声振粗糙度（Noise，Vibration and Harshness，NVH）问题日益凸显.动力总成悬置系统（Powertrain Mounting System，PMS）作为NVH 技术的重要一环，是电动汽车隔离振动传递、降低噪声传播的重要系统之一［1］.因此，对电动汽车PMS 固有特性进行不确定性分析和研究有着重要的工程意义.

近几年，关于PMS 固有特性的不确定性研究已经取得了显著成果.Wu［2］基于区间截断法估计了PMS 响应的不确定边界，并优化了系统固有特性的鲁棒性.Chen 等［3］将PMS 的悬置安装角度、位置以及刚度参数视为区间变量，分析了系统模态动能分布的上下边界.Xie 等［4］基于切比雪夫多项式展开技术和区间分析模型，提出了一种 PMS 固有特性的不确定性分析方法.

上述研究均将系统不确定参数处理为独立变量.然而，工程实际中PMS一些关键的不确定参数间一般还具有一定的相关性［5］.例如，电动汽车PMS 同一橡胶悬置的三向刚度参数就存在相关性，但是不同悬置之间的参数又是相互独立的.针对该复杂情形，作者所在课题组前期分别基于多椭球凸模型和多维平行六面体模型，提出了一些PMS 固有特性的不确定性分析方法，初步探讨了悬置刚度参数相关性对系统响应的影响［6-7］.

可以看出，考虑不确定参数相关性的PMS 研究已引起学者的重点关注，并且已经取得了一些成果.然而，现有的考虑不确定参数相关性的PMS 研究均具有一个相同的特征，即所采用研究模型的边界都是比较规则的，例如，多维椭球模型和多维平行六面体模型.但是，在实际工程中，不确定参数的样本分布并不总是规则的，这时规则的边界可能无法准确地处理不确定参数信息，从而导致系统响应求解误差增大.为准确描述不规则的参数样本信息，一种基于主成分分析［8-9］的区间凸集不确定性建模方法［10］被提了出来，在此基础上进一步发展出了更为紧凑的多边凸集模型（Polygonal Convex Set Model，PCS）［11］.

针对电动汽车PMS中不确定关键参数的相关性和独立性并存，且参数样本可能不符合规则边界的问题，首先构建PCS 模型来处理系统参数的不确定性和相关性；然后提出一种基于蒙特卡洛法的PMS固有特性分析方法；最后通过数值算例验证模型和方法的有效性.

在实际工程中，可能存在如下情况：不确定参数可分为几组，不同组参数相互独立，每组内参数具有一定的相关性，同时参数样本可能不符合规则边界.对此类复杂情况，可利用PCS 模型对参数的不确定性和相关性进行描述.文献［11］中给出了PCS 模型的建立方法以及数学表达式.

假设系统存在n 个有界不确定参数，X=[X1，…，Xt，…，Xn]T，t=1，2，…，n.通过对其有界闭区间及其中点和半径的描述，可建立相应的区间不确定性度量模型［12］，即

式中，ΩI为区间模型不确定域，分别表示区间不确定参数下界、上界.传统的区间模型不能有效地处理系统不确定参数的相关性，因此在区间不确定域中可能会出现一部分没有任何参数样本的空白区域.

假设系统有m组n维不确定参数样本

第j组样本可记为

式中：j=1，2，…，m.各参数均值点具体计算为

将样本去中心化，协方差矩阵可以定义为

式中：=[XM，XM，…，XM]n× m.得到协方差矩阵CX之后，可以计算其特征值以及对应的特征向量.从高到低依次排序所得到的特征值，则相应的正交特征向量为pi=[p1i，p2i，…，pni]T，i=1，2，…，n，其可作为新坐标系的正交基底，改写为矩阵形式P=[p1，p2，…，pn].

不确定参数及其样本可以通过矩阵P 投影到新的坐标系中，具体转换公式如下：

式中：Y=[Y1，…，Yt，…，Yn]T，t=1，2，…，n 是新坐标系中的不确定参数.类似地，通过基于正交特征向量方向的新坐标系中不确定参数的上下界，可以建立基于主成分分析的区间模型（后简称主成分区间模型）如下：

式中：分别表示新坐标系下不确定样本的上下边界，(PT(X -XM))t 表示矩阵PT(X -XM)第t 行对应的数值，Ωp 为主成分区间模型不确定域.以图1 所示的二维问题为例，传统的区间模型包围的样本空间内可能会含有若干没有任何样本的空白区域.在这种情况下，相应的不确定性分析结果可能会不够准确.很明显，不确定域Ωp 比传统区间不确定域ΩI更为紧凑.

图1 二维主成分区间模型
Fig.1 Two-dimensional principal component interval model

不确定域ΩP 虽然比ΩI 更紧凑，但ΩP 的部分边角区域处于ΩI 之外.在某些极端情况下，基于ΩP 的不确定性分析结果可能会比基于ΩI 的不确定性结果更为保守.为了克服这一缺点，通过提取ΩI 和ΩP之间的公共区域，得到了一种新的不确定性量化模型，即PCS模型.

式中：Ω 为PCS 模型不确定域，描述二维不确定参数的PCS模型（黑色实线包围部分）如图2所示，可以看出不确定域Ω最为紧凑.

图2 二维PCS模型
Fig.2 Two-dimensional PCS model

基于PCS模型进行不确定性分析具有以下特点：

1）不确定域Ω 完全被包含于不确定域Ωp 和ΩI.因此，基于PCS 模型的不确定性分析结果比其他两种模型的结果会更为精确.

2）PCS 模型所有顶点均位于Ωp 和ΩI 的边界上.因此，如果参数不确定性水平较低或响应函数非线性较弱，则可以使用PCS 模型的顶点来近似确定响应的最大最小值.

3）不确定参数的相关性可以通过PCS 模型的形状和大小来合理表示.例如，PCS 模型可以描述5 种不同的参数相关情形：（a）正相关；（b）负相关；（c）完全正相关；（d）完全负相关；（e）不相关.对于完全线性相关，PCS 模型退化为主成分区间模型.对于不相关情形，PCS 模型退化为传统区间模型.不同相关性下的PCS模型如图3所示.

图3 不同相关情形下的PCS模型
Fig.3 PCS models under different correlated cases

2.1 电动汽车PMS模型和固有特性分析

图4（a）、（b）分别为某纯电动汽车PMS的三维模型［13］和动力学模型.通常情况下，可以将电驱动总成简化为六自由度刚体，将橡胶悬置元件简化为三向正交刚度的弹簧模型.

图4 PMS模型
Fig.4 PMS model

建立动力总成坐标系G0 -XYZ和悬置元件局部坐标系ei -uiviwi(i=1，2，3)，各坐标系及坐标轴具体定义见文献［14］.系统固有频率可由下式求得：

式中：K 为系统质量矩阵，M 为系统刚度矩阵.求解上述两式，可得到系统6 阶固有频率fj=ωj/2π，j=1，2，…，6，以及对应的振型φj=[φ1j，φ2j，…，φ6j]T.

当系统以第j 阶固有频率fj 和振型φj 振动时，第k个广义坐标所占的能量百分比为

式中：φkj 为φj 的第k 个分量；Mkl 为M 的第k 行第l 列元素；φlj为φj的第l个分量.第j阶模态对应的解耦率定义为

当Ej=100%时，表示能量全部集中在某广义坐标上，第j阶振动完全解耦.

2.2 基于PCS模型的PMS不确定性分析

以Gj(X)表示PMS的固有特性响应函数（如解耦率或固有频率），X 为系统不确定参数.不确定参数相关性和独立性并存情形下，基于PCS 模型和蒙特卡洛法求解Gj(X)的主要步骤如下.

1）记PMS 中的n 个不确定参数为X=[X1，…，Xt，…，Xn]T，t=1，2，…，n，且已知其m1 组样本为.首先计算样本数据的边缘区间［XL，XU］，均值XM 和均值矩阵-X，构建区间模型如式（1）所示.2）分别对不同悬置系统参数样本进行主成分分析，获得单个悬置参数特征向量矩阵Pi，将不同悬置的特征向量矩阵组合得到所有悬置参数的特征向量矩阵P以及转换后的坐标系Y=PT(X -XM).

3）计算新坐标系下的上下界YU 及YL，建立主成分区间模型；取传统区间模型和主成分区间模型相交部分，建立PCS模型如式（9）所示.

4）将参数X 视为独立变量，在X 取值区间范围内进行蒙特卡洛仿真抽样，抽取的样本记为XS=[XS，1，…，XS，t，…，XS，n]T.

5）对XS进行筛选，对任意t=1，2，…，n，将满足的样本数据记为Xm2=[Xm2，1，…，Xm2，t，…，Xm2，n]T.6）重复步骤（4）和步骤（5）M1 次，获得M2 组满足对任意t=1，2，…，n，的样本数据，记为XM2={Xm2，1，Xm2，2，…，Xm2，M2}.

7）计算XM2 中每一组抽样样本对应的PMS 固有特性，得到M2组固有特性响应数据.

8）在得到的M2组数据中分别找出系统6个方向固有频率或解耦率的最大值和最小值，即Gj(X)的上界和下界.

随着仿真抽样次数M1 增加，蒙特卡洛法的计算精度也提高；当抽样次数M1 足够大时，能获得较为精确的计算结果.图5 给出了基于PCS 模型的PMS固有特性响应不确定性分析的基本流程.

图5 基于PCS模型的不确定性分析流程
Fig.5 Uncertainty analysis process based on PCS model

3.1 PMS模型

以某电动乘用汽车三点悬置PMS 为例，电驱动总成的质量为70 kg，表1 为该总成的转动惯量和惯性积数据，表2 为各悬置的初始动刚度数据，表3 为各悬置安装位置数据.

表1 电驱总成的转动惯量和惯性积
Tab.1 Moment of inertia and product of inertia parameters of electric drive assembly kg·m2

表2 悬置初始动刚度
Tab.2 Initial dynamic stiffness of mounts N·mm-1

表3 悬置的安装位置
Tab.3 The installation locations of mounts mm

3.2 不同模型下固有特性分析对比

相较于悬置的安装位置和倾角等参数，其刚度参数更易于调整与优化，且已有的大部分研究均以悬置刚度作为研究参数.因此，本文选取悬置刚度作为系统主要的不确定参数进行研究.

考虑到同一悬置的三向刚度参数具有一定相关性，且不同悬置的刚度参数相互独立，因此需对每个悬置的刚度样本数据分别建立分析模型.以表2 中悬置的动刚度值作为不确定参数取值中点，参数不确定度为±10%.Z 轴方向（竖直方向）、θY 方向（电机转子旋转方向）和X 轴方向（汽车前后方向）为系统振动分析的重点关注方向，因此本文着重考虑这3个方向的PMS固有特性.此外，为方便数据分析和减少工作量，本文主要分析PMS 解耦率，并将X 轴方向、Z轴方向和θY方向解耦率分别记为DX、DZ和DθY.

为方便从理论上探讨不同模型对特定样本的处理能力，分别给出3 组具有不同相关性（分别记为弱、中、强相关性）的PMS刚度样本数据，其悬置刚度参数样本相关系数大致分别为0.1，0.4，0.7.所取的三组样本点在左悬置X、Y方向上的投影分别如图6～图8所示.

图6 弱相关性样本
Fig.6 The weakly correlated samples

图7 中相关性样本
Fig.7 The moderately correlated samples

图8 强相关性样本
Fig.8 The strongly correlated samples

分别构建区间模型、多维平行六面体模型（MP模型）［7］和PCS 模型对3 组样本进行描述，进而再分别基于各模型和蒙特卡洛法求解系统解耦率.抽样次数为106次以保证蒙特卡洛法收敛.

表4～表6 分别给出了3 种不同相关性情形下的系统解耦率上下界数值.

表4 弱相关性样本下的分析结果
Tab.4 The analysis results under weak correlation samples

表5 中相关性样本下的分析结果
Tab.5 The analysis results under moderate correlation samples

表6 强相关性样本下的分析结果
Tab.6 The analysis results under strong correlation samples

为更直观地比较不同模型求解响应的情况，图9～图11分别绘制出了不同模型的求解结果.

图9 X轴方向解耦率
Fig.9 Decoupling rate in X-axis direction

图10 Z轴方向解耦率
Fig.10 Decoupling rate in Z-axis direction

图11 θY方向解耦率
Fig.11 Decoupling rate in θY direction

由于区间模型不能处理不确定参数样本的相关性，其分析结果最为保守.因此选用区间模型分析结果作为基准参考，分别计算MP 模型、PCS 模型求解结果与基准值之间的差值，进而利用差值进行比较分析.结合表4～表6 以及图9～图11 可以得出如下分析结果.

1）MP 模型和PCS 模型都具有处理系统不确定参数相关性的能力.随着相关性增强，MP 模型和PCS 模型求得的各方向解耦率区间都有一定程度的收缩，以X 轴方向强相关性样本为例，相比区间模型，MP 模型所求DX 上界减小值为2.02%，下界增大值为3.58%，PCS 模型所求DX 上界减小值为5.94%，下界增大值为14.10%.

2）对MP模型而言，相较于弱相关性样本下所求解耦率，强相关性样本下DX上界减小值为2.00%，下界增大值为3.15%；DZ 上界减小值为0.05%，下界增大值为1.22%；DθY上界减小值为0.9%，下界增大值为1.16%.随着参数相关性增大，3个方向解耦率区间收缩，且收缩幅度较小，3 个方向中上界最大的减小值仅为2.00%，下界最大的增大值仅为 3.15%.在所给的3 组样本下，MP 模型不能很好地处理所给刚度参数样本的相关性，即由某些特定样本构建出的MP模型会留有一大部分不包含样本点的空白区域，导致求解结果较为保守.

3）对PCS 模型而言，随着相关性增强，由PCS 模型求得的解耦率区间有较大程度的收缩，相较于弱相关性样本下所求结果，强相关性样本下DX 上界减小值为3.12%，下界增大值为8.24%；DZ 上界减小值为0.12%，下界增大值为2.02%；DθY 上界减小值为2.9%，下界增大值为8.69%.3个方向上界最大减小值为3.12%，下界最大增大值为8.69%，故PCS 模型能较好地处理特定样本下刚度参数的相关性.

4）相比MP 模型，PCS 模型求得的3 个方向解耦率更加精确.以X 方向和θY 方向强相关性样本为例，相比区间模型，MP 模型求得的DX 上界减小值为2.02%，下界增大值为3.58%，而PCS 模型求得的DX上界减小值为5.94%，下界增大值为14.10%；MP 模型求得的DθY 上界减小值为1.77%，下界增大值为0.93%，而PCS 模型求得的DθY 上界减小值为6.87%，下界增大值为13.59%.由上述数据可知，PCS 模型求得的解耦率区间收缩程度远大于MP模型.故相较于MP 模型，在所给的3组样本下，PCS 模型所求得的解耦率区间范围更小，能更好地处理样本参数的相关性，计算结果更为合理.

综上所述，本文所研究的PCS 模型，能够有效地处理PMS 系统参数的相关性，且能有效分析特定样本下PMS的固有特性.

3.3 不同悬置参数相关系数下的影响分析

为从理论上探究PCS 模型处理PMS 不确定参数不同相关性的效果，分别研究PMS 悬置刚度参数样本相关系数为0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8 和0.9 等10 种情形.表7 给出了各情形下基于PCS 模型和蒙特卡洛法求得的系统解耦率的上下界数值.

表7 解耦率的区间范围
Tab.7 The interval ranges of decoupling rate

为更直观地比较PMS刚度参数相关性对系统解耦率的影响，图12～图14 分别绘出了不同相关性情形下系统3个方向的解耦率范围.

图12 不同相关情形下的DX
Fig.12 The results of DX under different correlated cases

图13 不同相关情形下的DZ
Fig.13 The results of DZ under different correlated cases

图14 不同相关情形下的DθY
Fig.14 The results of DθY under different correlated cases

为分析参数相关性对系统固有特性的影响，以纯区间情形（相关系数为0）下的解耦率计算结果为基准，对比分析相关系数为0.9时解耦率数值与基准值的差值，利用差值进行对比探讨.

由表7以及图12～图14可知：

1）随刚度参数相关性不断增强，悬置各方向的解耦率上下界出现不同程度的缩窄.随着刚度参数相关性增大，DX 上界不断减小，下界不断增大，上界减小值为4.57%，下界的增大值为12.77%；DZ上界的变化不大，DZ 下界不断增大，上界的减小值为0.49%，下界的增大值为6.65%；DθY 上界不断减小，DθY下界不断增大，上界的减小值为5.39%，下界的增大值为12.99%.

2）各方向解耦率下界受刚度参数相关性的影响普遍大于上界.解耦率上界最大减小值以及下界最大增大值均出现在θY 方向，数值分别为5.39%和12.99%.相较之下，DZ 受刚度相关性影响较小，上下界均变化不大.

综上分析可知，对于本文所研究的PMS模型，考虑刚度参数相关性后，系统3 个方向的解耦率区间均有一定幅度缩小，更接近合理的响应范围.相关性增大对3 个方向的解耦率下界有较大的影响，对上界影响相对较小.3个方向中θY方向受参数相关性影响最大.

3.4 各悬置参数相关性的影响分析

考虑到3 个悬置的不确定参数相关性对系统固有特性的影响可能存在差异性.下面研究仅某一悬置不确定参数具有相关性时系统固有特性响应.在进行研究时，按顺序任意取某一悬置并使其三向刚度参数具有相同的相关系数（本文取为0.6），且使其余悬置的三向刚度相互独立（相关系数为0）.

基于PCS 模型求解上述情形下系统3 个方向解耦率的上下界，结果如图15～图17 所示.图中，横坐标表示具有参数相关性的悬置点名称，例如“无”表示所有悬置点的三向刚度参数相互独立，无相关性；“左”表示仅左悬置点的三向刚度参数具有相关性，而其他悬置点的三向刚度参数相互独立.

图15 仅某悬置参数相关时的DX
Fig.15 The results of DX when the parameters are correlated in only one mount

由图15～图17可得出如下分析结论.

1）由图15可知，右悬置点的刚度相关性对DX上界影响较大，相较无相关性时上界减小值为2.29%.前悬置点的刚度相关性对DX 下界影响较大，相较无相关性时下界增大值为5.39%.

2）由图16 可知，DZ 上界受各悬置点的刚度相关性影响不大，而下界受右悬置点以及前悬置点的刚度相关性影响较大，与无相关性情况相比，下界增大值分别为4.04%和5.21%.

图16 仅某悬置参数相关时的DZ
Fig.16 The results of DZ when the parameters are correlated in only one mount

3）由图17可知，DθY受各悬置点的刚度相关性影响较小；相较之下，DθY 受左悬置点的刚度相关性影响较大，与无相关性情况相比，上界减小值为2.34%，下界增大值为1.39%.

图17 仅某悬置参数相关时的DθY
Fig.17 The results of DθY when the parameters are correlated in only one mount

综上分析可知，对于本文研究模型，其3 个悬置的刚度参数相关性均对解耦率有一定影响.前悬置刚度相关性主要影响解耦率下界，特别是X 轴方向、Z 轴方向解耦率下界；右悬置刚度参数相关性对多个方向解耦率的上、下界均有影响，对Z 轴方向解耦率下界的影响较大.相较之下，系统右、前悬置点的刚度相关性对系统固有特性有较大的影响，因此在设计与研究过程中应予以重视.

1）与未考虑刚度参数相关性的区间方法相比，本文方法能有效地分析参数样本信息的相关性；与多维平行六面体模型相比，PCS 模型能够更有效地分析边界不规则的不确定参数样本信息，避免所构建的模型存在部分没有样本的空白区域的情况，进而能更准确地求解PMS固有特性边界.

2）对于本文所研究模型，考虑刚度参数相关性后，系统3 个方向的解耦率区间均有一定幅度缩小，更接近合理的响应范围.相关性增大对3 个方向的解耦率下界有较大影响，对上界影响相对较小.3 个方向中θY方向受参数相关性影响最大.

3）对于本文研究模型，其右悬置点的三向刚度参数相关性以及前悬置点的三向刚度参数相关性对系统的固有特性具有较大影响，在设计与研究过程中应予以重视.