一、“低调”的剪切面积

      截面特性是进行杆系结构分析最重要的参数之一，如“截面面积”、“抗弯惯性矩”、“抗扭惯性矩”等计算错误或者缺失，都将导致错误的计算结果甚至无法执行运算。而有一项截面特性参数似乎显得“不那么重要”，甚至当参数缺失时分析仍可顺利进行，进而往往被工程师忽略，这个参数就是“有效剪切面积”。

      很多MIDAS用户注意到这个参数还是通过SPC截面特性计算器这个工具，当采用SPC中的“line”属性生成截面时，发现该“剪切面积”参数在截面特性中缺失，如图。

SPC截面特性计算表

      那么，为什么这个参数无法计算？这个“可有可无”的参数是用来干什么的？对分析结果有什么影响呢？本文将对该系列问题进行简单的说明和讨论。

      首先，我们说明剪切面积是用来干什么的。根据结构力学的虚功原理，结构的弹性位移计算公式可推导为以下一般形式：

      其中，第一项为弯矩引起的结构变形，第二项为轴力引起的变形，第三项为剪力引起的变形，这三项变形构成了结构的总体位移。而三项变形中，最后一项是比较特殊的，他相较于前两项的标准形式多出一个系数“k”，该系数称之为“切应力的截面形状系数”。我们将该系数置于最后一项的分母，则最后一项变形为下式，与前两项标准形式一致。

      上式中As即为截面的剪切面积，其为截面面积与截面形状系数的比值。该项剪力引起的变形即为“剪切变形”。因此，剪切面积的主要作用之一就是用于计算结构的剪切变形。

      位移计算公式中，弯矩与轴力引起弯曲变形和拉伸压缩变形是比较好理解的，那么什么是剪切变形呢？

      当一个梁承受竖向荷载时，经典梁理论认为横截面在变形前和变形后都垂直于中心轴，结构只发生弯曲变形，如图所示。按该假定计算的梁我们称之为“欧拉梁（Euler Bernoulli）”。

欧拉梁变形

      而实际梁式结构在竖向荷载作用下截面在变形后是不会完全与中心轴垂直的，而是与中心轴垂直方向存在一定的夹角，该夹角称之为剪切角，如图。按该理论计算的梁我们称之为“铁木辛柯梁（Timoshenko）”。剪切角会使梁产生竖向的附加变形，这就是我们所说的剪切变形。

铁木辛柯梁变形

      midas Civil程序中对于梁的计算给出了是否考虑剪切变形的选项，如图。如果用户勾选该项，则梁的计算将按铁木辛柯梁理论考虑剪切变形。

剪切变形选项

      接下来我们讨论是否勾选剪切变形对结构分析结果的影响。研究结果表明高跨比较小的“细长梁”受剪切变形的影响是比较小的，而高跨比较大的“短梁”剪切变形往往是不能忽略的。为了验证该问题，本文分别建立了高跨比为“0.1”、“0.2” 、“0.3” 、“0.4” 、“0.5”的梁进行测试。采用单梁和实体模型进行相同荷载下的跨中位移结果对比。

梁单元及实体单元简支梁

      分别对比是否考虑剪切变形的梁单元模型与实体模型位移的差异，对比结果如下：

梁单元与实体单元结果表

      由对比结果可知，当高跨比为0.1时，梁单元模型是否考虑剪切变形与实体模型位移结果比较接近，当高跨比大于0.1小于0.3时，考虑剪切变形位移与实体相差5%以内，而不考虑剪切变形位移与实体相差较大。高跨比大于0.3时，不论是否考虑剪切变形，梁单元结果均与实体位移结果相差较大。

      可见，考虑剪切变形的梁单元位移结果能在一定程度上更接近实体单元，而当高跨比大于某一范围时，则不论是否考虑剪切变形都将产生较大的分析误差，此时结构计算采用梁单元已不再适用。

      以上就是“剪切面积”与“剪切变形的关系”以及“剪切变形”对结构的位移的影响。接下来我们说明剪切面积该如何计算。

      上文我们已经知道剪切面积是截面面积与截面形状系数的比值，因此截面形状系数是计算剪切面积的关键。相关教材和书籍已经给出了典型截面形状系数的取值，如下。

典型截面的截面剪切系数

      《midas Civil分析设计原理》中对常见截面有效剪切面积给出的计算公式如下。

分析设计原理的剪切系数

      而对于非规则截面形状的截面形状系数则需要通过积分来计算，公式如下：

      其中，I为截面惯性矩，S(y)为截面面积距，b(y)为截面宽度。

      SPC工具在进行截面特性计算时，如采用“plane”属性生成截面，则程序会采用数值积分方法计算截面特性，即对截面进行网格划分再积分计算。如采用“line”属性生成截面，则程序会采用公式法计算截面特性，而任意形状剪切面积通过公式计算过于复杂，因此SPC工具暂未实现“line”截面的剪切面积输出。

      对于“line”截面剪切面积的计算，目前采用的普遍做法为先导入Civil中，然后在Civil的数值截面中勾选FEM，再通过数值积分计算，如图。

FEM计算截面特性

       但需要注意，这里的剪切面积计算也是近似计算，和理论值存在一定的误差，所以对于剪切变形计算精度要求较高的结构建议采用其他方法复算。实际工程中，大部分桥梁结构主梁的跨高比都在0.1以下，受剪切变形影响较小。而某些短梁结构如盖梁、横梁等则受剪切变形影响较大，不过这类结构一般变形不控制设计，所以也一直未得到桥梁工程师的关注。

二.剪切变形的其他影响

1.剪切变形对组合梁分析的影响

混凝土弯矩

混凝土正应力

      这样的结果往往会让桥梁工程师失去判断，这属于计算错误还是计算误差？如果是误差是否可以接受？接下来我们简单分析这类“锯齿形”结果产生的原因。

      锯齿形的正应力是由于锯齿形弯矩产生的， 所以我们重点分析弯矩产生“锯齿形”的原因，我们对主梁的局部区域进行观察，如图。

双单元局部模型

刚性连接内力

      刚性连接的顺桥向剪力为626.5KN，竖弯的集中力偶为519.55 KN.m。由于弹性连接的长度会形成力偶臂，其值为弹性连接长度的一半，本案例为0.17/2=0.085m，因此顺桥向剪力也会产生力偶，其值为626.5×0.085=53.26 KN.m。则2号节点的总的集中力偶为519.55-53.26=466.3 KN.m，与混凝土单元弯矩突变值一致。

刚性连接内力

      查看此时混凝土单元结果，弯矩及应力图的“锯齿形”基本消失。

混凝土弯矩

混凝土应力

      第二种消除集中力偶的方式是释放刚性连接的转动约束，如图。

刚性连接释放转动约束

刚性连接内力

      查看此时混凝土单元的弯矩及应力。

混凝土弯矩

混凝土应力

      可见，弯矩图仍然存在锯齿形，但数值较未释放转动约束模型小很多，因此弯矩对正应力的影响较弱，法向应力主要由轴力贡献，故应力图基本没有锯齿形。

      接下来我们验证以上两种方案的合理性，为了与理论结果进行对比，本文又建立了联合截面模型，在相同荷载下联合截面模型混凝土部分的弯矩与应力如图。

混凝土弯矩

混凝土应力

      对比发现，方法一不论弯矩还是应力结果均与联合截面结果基本一致，而方法二的弯矩结果与联合截面结果存在较大误差，但由于弯矩占比较小，因此应力结果与联合截面应力也基本一致。

      最后，我们对剪切变形对组合梁结果的影响进行总结：叠合梁中，由于混凝土板的高度较小且与联合截面形心距离较远，因此该部分弯矩相对于轴力占比很小，实际分析时一般可将混凝土部分近似看做轴压构件计算。而双单元模型中刚性连接产生了较大的集中力偶，这主要是由于钢梁考虑剪切变形产生的附加力偶，显然这是与实际情况是不符的。因此可通过不考虑钢梁单元的剪切变形或释放刚性连接的转动约束来消除该力偶。叠合梁中混凝土的强度一般按应力控制，因此这两种方案均是可行的。

2.剪切变形对结构动力特性的影响

      铁木辛柯梁在计算动力特性时需考虑了剪切变形和转动惯量的影响，梁在竖向振动时，其振动过程中截面不仅产生平动位移，同时还发生转动，其转角等于弯曲变形引起的转角。而如果考虑转动惯量和剪切变形的影响时，该转角将分为两部分，即弯曲引起的转角θ及剪切角γ。因此剪切角将影响结构的振动微分方程，进而影响其动力特性。

      受篇幅限制，本文对其理论部分不再展开说明，仍以上文中建立的高跨比为“0.1”、“0.2” 、“0.3” 、“0.4” 、“0.5”的梁进行测试，分别求解是否考虑剪切变形时梁的自振频率如下表所示。

自振频率对比

      根据对比结果可知，当高跨比小于等于0.2时，剪切变形对自振频率的影响在5%以内。而大于0.2时，随着高跨比的增加，自振频率的结果差异逐渐增大，此时剪切变形对于结构动力特性的影响已经不能忽略。

      同样，对于桥梁结构而言，桥跨结构的高跨比一般是小于0.1的，所以剪切变形对于动力特性的影响基本可以忽略，而对于盖梁及横梁等短梁结构，动力特性并不是结构设计关注的重点，所以也往往被桥梁工程师所忽略。

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李兆阳