一、基于midas Civil非对称弯曲应力的讨论

本文依托于midas Civil程序来讨论一种力学现象。弯曲是结构中最常见的受力行为，有关弯曲的计算原理和方法也非常清晰，如弯曲应力一般采用如下公式（1）进行计算。

这在Civil程序中也非常容易校核和验证，而本次我们讨论一种非常规截面梁的弯曲行为。所建立模型截面如图1所示，采用某角钢截面。

图1角钢截面尺寸

建立简支梁模型，采用梁单元进行模拟。梁长为5m，梁上定义10KN/m的均布荷载，如图2所示。

图2梁单元模型

查看跨中梁单元i端应力的分析结果如下。

图3梁单元应力结果

这通过公式（1）也非常容易验证，截面的中性轴位置及截面角点距中性轴的距离和截面特性如图所示（单位mm）。

图4截面中性轴及角点位置

图5角钢截面特性

提取模型弯矩M=30000000N.mm，带入公式（1），可得到截面角点应力计算如下。可见，与程序计算结果完全一致。

midas Civil程序中，查看梁单元应力的方法分别包括：梁单元应力（图）、梁单元应力（PSC）、梁单元详细分析等”。其中梁单元应力（PSC）仅用于查看混凝土设计截面的应力，可额外输出扭转剪应力，主拉压应力等。其截面角点应力与梁单元应力一致。本文我们重点查看梁单元详细分析结果。

图6梁单元详细分析

仍查看模型跨中单元应力，如图7(a)。发现截面角点应力与梁单元应力结果差异很大，2号点应力甚至符号都发生了变化，如图7(b)。那么如果来解释这个现象呢？

(a)梁单元详细分析应力

（b）应力对比

图7梁单元详细分析结果

1．非对称弯曲现象及计算原理

上述梁单元应力分析中，我们计算的前提为截面中性轴与荷载作用方向垂直，即认为截面中性轴为一水平轴。而这一假定是有条件的，即截面必须沿荷载作用平面对称。当截面为非对称截面时，弯曲应力计算公式（1）将不再适用。

也就是说，当截面沿荷载作用平面为非对称时，Civil的梁单元应力分析结果是不再适用的。此时，截面的中性轴与荷载作用方向将不再垂直，结构发生斜弯曲，并产生面外变形。

为了让大家能直观的理解这一现象，我们通过板单元对上述模型重新进行了模拟。边界条件一致，在杆件两端截面形心位置沿XZ平面添加一对力偶，并修改单元类型为板单元，如图所示。

图8板单元模型

在平面内力偶作用下，查看模型变形如图。

（a）平面图

（b）侧视图

图9板单元模型变形结果

通过变形可以看到，在平面力偶作用下，结构除产生竖向弯曲变形外，同时还产生了面外的弯曲变形。可见，通过板壳或实体单元对结构进行模拟时，可以很好的分析出构件的斜弯曲现象。

因此，梁单元详细分析应力其实是考虑了构件斜弯曲的应力分析结果。那么梁单元的斜弯曲应力是如何计算的呢？

材料力学教材中其实对这种现象进行了非常详尽的说明，由于篇幅限制，计算公式的推导过程本文不再引用，直接给出最终的斜弯曲应力计算公式^[1]。

其中Izy为截面的惯性积。惯性积对我们来讲往往是一个相对陌生的概念，且Civil的截面特性中并没有此项内容的输出。而SPC（截面特性计算器）工具中却对该项进行了计算，我们对上述模型建立了SPC截面，并进行了截面特性值的计算，如图。

图10 SPC截面特性值

其中Ixy即为截面的惯性积。为了验证Civil “梁单元详细分析”的应力结果，我们采用公式（2）对上述模型的斜弯曲应力进行了计算，将内力值及截面特性带入到公式（2）。由于篇幅限制，本文仅展示截面角点1的计算过程，如下。

表1斜弯曲应力计算结果

可见，与“梁单元详细分析”结果完全一致！

同时，我们还可以通过如下公式（3）计算非对称截面弯曲时中性轴与X的夹角。带入截面内力及截面特性值，计算过程如下。

即可得到中性轴与X轴夹角为θ=17.64°，如图11所示。

图11斜弯曲中性轴位置

可见1、2号角点分别在中性轴的两侧，因此，二者的应力符号是相反的，这与梁单元应力结果是完全不同的。

最后，我们对上文中的板单元模型施加与梁单元同样的荷载，对比板单元应力与斜弯曲公式应力结果，如图13所示。

图12板单元应力

图13斜弯曲公式与板单元结果对比

可见，斜弯曲应力公式的计算结果与板单元应力分布趋势基本一致，公式算法与“梁单元详细分析”应力的结果还是比较可靠的。

此外，对于斜弯曲应力还有另一种算法，即计算得到中性轴角度后，将竖向荷载向中性轴的垂直方向投影，并计算截面绕中性轴方向的惯性矩及角点距中性轴的距离，即可按平面弯曲应力计算其角点应力，如图14。

图14荷载向中性轴垂直方向投影

或者采用程序求解，通过SPC工具建立如图15所示截面方向，计算荷载投影值并施加于模型的Z轴方向，直接分析读取梁单元应力即可。

图15截面角点坐标

图16梁单元应力

可见，梁单元应力结果与上文的斜弯曲应力结果一致。

2．惯性积与截面主惯性轴

由于我们对惯性积的概念可能相对比较陌生，因此，本文计划进一步讨论关于惯性积的相关问题。

首先，惯性积的计算公式如下。

其有如下基本性质：

（1）截面的惯性积是基于相互垂直的一对坐标轴定义的。

（2）惯性积的数值可正可负，也可为零。若一对坐标轴中有一轴为截面的对称轴，则截面对该坐标轴的惯性积必为零。反之则不成立。即截面的惯性积为零，该截面不一定相对于某一轴对称。

可见，当截面沿坐标的某一轴对称时，如常见的“工形”、“T形”等截面，则该截面的惯性积必为零。而当惯性积为零时，则公式（2）将退化为公式（1），变成平面内弯曲问题。这就是为什么对称截面无需考虑斜弯曲的基本原理。

那么，所有非对称截面都存在斜弯曲现象吗？

如果截面沿某轴的惯性积为零，即使该轴并非该截面对称轴，则截面绕该轴的弯曲仍然是平面内弯曲问题。我们将该轴称之为截面的主惯性轴。

主惯性轴方向可以按下述的推导过程计算。如下公式（5）为惯性积的转轴公式^[2]。

其中Ix1y1为与XY坐标系成任意角度的坐标轴惯性积，令Ix1y1=0，则可以求解出使截面惯性积为零时的中性轴方向，即主惯性轴方向。

移项即可得到公式（6），并带入上文的截面特性值，如下。

即可得到α=21.22°，截面主惯性轴方向如图。

图17主惯性轴方向

当截面绕主惯性轴弯曲时，将发生面内弯曲而不会产生斜弯曲。其应力可按平面内弯曲应力公式（1）进行计算。

为了验证该现象，我们将板单元模型绕X轴旋转了21.22°（主惯性轴方向），平面力偶方向不变，如图18。

图18旋转后的板单元模型

接着查看模型的变形结果，如图19所示。

（a）平面图

（b）侧视图

图19板单元模型变形

可见，构件绕主惯性轴发生了平面内弯曲，并未产生面外变形。公式（6）对于主惯性轴的计算是比较准确的。

3．非对称弯曲应力对结构分析的影响

通过上文的讨论可知，非对称截面在荷载作用下往往会产生斜弯曲变形，且平面弯曲应力公式将不再适用。这也是土木工程结构中大部分的梁构件都采用对称截面的原因之一。

而并非所有的梁构件截面都是完全对称的。以桥梁结构为例，桥梁上部结构中，边梁截面往往是非对称的，如预制混凝土小箱梁、T梁、分离式截面钢箱梁等，如图20。

图20钢箱梁断面

而桥梁结构的应力我们都是默认按平面弯曲应力计算的，那会对应力计算带来多大影响呢？我们对上图20的钢箱边梁按斜弯曲公式（3）计算其中性轴与x轴的夹角，得到的计算结果是不到5°。因此这种影响基本上是可以忽略的。同时桥梁主梁往往通过各种横向联系进行约束，这基本限制了梁体的面外变形，因此桥梁主体结构是不需要考虑斜弯曲影响的。

除梁式结构外，另一种可能存在斜弯曲行为的是桁架结构，某些桁架结构中有大量的腹杆采用非对称截面。理论计算时，一般假定桁架梁是理想的桁架模型，杆件假定为只受拉压的二力杆，但事实并非如此，桁架结构的节点几乎接近刚性，因此，腹杆也将存在弯矩，此时，需要额外关注腹杆的斜弯曲应力问题。

另外，施工临时结构中斜弯曲现象也是普遍存在的。如以某钢栈桥为例。如下图21的栈桥结构中，横向支撑架截面为角钢，属于非对称截面。

图21钢栈桥模型

支撑架在强度组合下，其最大梁单元应力为118.2Mpa。

图22支撑架梁单元应力

而查看梁单元详细分析结果，考虑其斜弯曲影响后，在单元的同样位置产生的应力为129.6Mpa，相对于梁单元应力增大了约10Mpa。

图23梁单元详细分析应力

因此，当非对称截面应力成为结构设计的控制应力时，建议额外关注其斜弯曲应力结果，可能存在应力超限的风险。

参考文献：

[1]孙训方 材料力学Ⅱ第五版

[2]孙训方 材料力学I第五版