海洋论坛▏顾及先验海底地形信息的多波束测线设计建模方法

近年来，随着海洋资源开发和环境保护的需要，海底地形的精确测绘越来越受到重视。多波束测深技术具有快速测量和高精度等优势，已成为海洋测绘的首选工具。传统测线设计方法，如基于海区平均水深和最浅水深的简单测线布局，往往难以适应复杂多变的海底地形特征。因此，如何根据不同海底地形条件优化测线轨迹设计，确保测量的高效性和测量结果的准确性，成为了亟需解决的问题。

目前，国内外学者在多波束测深技术的优化应用方面开展了广泛的研究。例如，蒙特卡罗法被用于评估多波束测深系统的性能，而遗传算法则被用来优化多波束测深系统的参数配置和测线布局。尽管这些研究取得了显著成果，但在实际应用中，复杂地形条件下测线设计如何有效调整测线间隔和路径，直接关系着多波束测深的效率和成果质量，仍是一个未完全解决的问题。

鉴于此，本文构建了一种顾及先验海底地形信息的多波束测线设计模型，旨在通过数学几何推导与遗传算法的综合应用，为复杂海域条件下测线轨迹优化设计提供有益参考。首先考虑二维静态简化情况，即海洋测线参数仅与多波束换能器自身开角和海洋地形坡度有关，而开角在测线设计中无法自主决定的情形，构建数学模型描述覆盖宽度与相邻测线覆盖宽度重叠率之间的关系。扩展至三维动态情况，即引入的扫描测线方向与坡面法向在水平面上投影夹角会随扫描位置变化而自主决定变化的情形，以适应复杂的海洋环境。

通过建立二维静态斜面和理想三维动态海底地形模型，进行理想条件下全覆盖测线的设计，再将其推广至实际复杂海底地形情形。

⒈二维静态情形下的覆盖宽度与重叠率模型

在二维静态情形下，建立多波束测深覆盖宽度与相邻测线覆盖宽度重叠率之间的数学关系。根据几何关系推导出覆盖宽度和重叠率与其他变量(如海水深度、坡度、开角等)之间的数学关系。再依据先验海底地形的深度、坡度、开角等信息，计算在不同测量点的覆盖范围及相应的重叠率。单条测线几何结构见图1。

图1 单条测线几何结构示意图

过M点作QM∥OC交OA于Q点，过U点作UV∥OC交OT于V点，根据几何关系可得重叠率η为：

覆盖宽度为：

MN＝w(1－dtanα)/D＝w′  (2)

由以上分析推广至一般情况。设海水深度为D(x)，海域中心点处海水深度为D，测线距中心处距离为x，斜面坡度为α，覆盖宽度为W(x)，海域中心点处覆盖宽度为W，与前一条测线的重叠率为η(x)，测线间距为d，多波束换能器的开角为θ，则：

⒉三维动态情形下的覆盖宽度模型

基于给定轨迹条件下的三维动态情形，为进一步优化测线轨迹，将蒙特卡洛法与遗传算法整合到分析中，可提高测深数据的采集效率和准确性。因相关算法易于并行化，可在多个处理单元运行，有效提高建模布线效率。

东西向海底坡面侧视结构见图2。MM′垂直于水平面，MT为坡面法向，M′P平行于测线方向，MP⊥MR，Q在海底坡面与水平面的交线上。设覆盖宽度与其在水平面上投影的夹角为γ，测线方向与其在水平面上的夹角为δ，测线方向与坡面的法向在水平面上投影的夹角为β，经过海域中心点的测线方向上海水的深度为λ(x)，测线与中心点的直线距离为ε，其中有小量近似处理MM′≈0。

图2 东西向海底坡面侧视图

由几何推导得及联立方程组：

γ＝tan^-1(tanαsinβ)  (7)

同理，在三棱锥M-M′QP与三棱锥T-MQP中：

δ＝tan^-1(|tanαcosβ|)  (8)

则：

⒊最优化测线设计模型

基于上述数学关系，综合考虑三维地形等复杂因素，进行最优化测线轨迹分析，建立更高效的测线设计模型。采用遗传算法，优化数据采集的全面性，确保对地形变化的有效捕捉。通过整合二维和三维模型，为不同地形条件下测线轨迹的优化设计提供数学基础。

由图1可知各测线波束排列构成一系列相似三角形结构。记矩形海域长为a，宽为b，可推导出此系列相似三角形的相似系数s为：

s＝MN/AB＝1-(dtanα/D)  ⑾

由式(6)、式(11)可知，当地形平坦时，设计测线时应尽可能分布平均，即测线应围绕海域的中心对称布设。由上级的分析可知，总覆盖宽度W遵循式(12)的数学关系：

因二维静态和三维动态的区别仅在于引入的扫描测线方向与坡面法向在水平面上投影夹角是否会随扫描位置变化而自主决定变化，故三维模型重叠率同二维模型。

对于全覆盖水深测量，相邻测线覆盖宽度重叠率应不少于10%。经计算，当重叠率大于20%时会导致模型计算量比重叠率为10%时大10余倍以上。为兼顾计算效率和测量精度，将重叠率控制在10%-20%。因此对于每个测线覆盖宽度，有

其中，测线总长度ξ为：

ξ＝nb  (16)

相邻测线的间距d为：

d＝a/n  (17)

测线覆盖宽度的平均重叠率η—为：

由图2可知，β为测线方向与东西向水平线的夹角。因该海域南北方向长度较短，为提高测量精度，需兼顾测线覆盖率与重叠率。故沿东西方向进行测量布线。

在一般情况下，若海底地形平坦，设测线总长度为，可知测线设计需满足以下约束关系：

讨论实际复杂海底地形情形时，可将其看作为无数个坡度各异的平坦海面的集合，由此可利用式(6)、式(11)、式(19)求解。将待测海域划分为m×n个网格，每个网格边长为k。

图3 海域曲面网格化示意图

对该海域任意位置i，坐标记为(x_i，y_i)。设现有μ条测线，每条测线均会经过一组连通的网格集合S＝{S₁，S₂，S₃，…，S_p}，且满足：

由式(6)、式(11)、式(19)、式(20)可知，测线设计需要满足以下约束关系：

式中，intersections(S_i，S_j)为任意两个连通网格集合S_i和S_j的重叠面积；min(area(S_i)，area(S_j)分别为两个连通网格集合的最小面积。

利用已构建的曲面测量布线数学模型，通过使用一组若干年前某海域(东西长9260m、南北宽7408m)单波束测深数据来进行模型的应用及验证，计算测线条数、测线覆盖宽度、测线总长度、测线分布、漏测海域占待测海域比例等相关参数。先验的单波束测深数据通过每间隔37m记录一次海水深度，共有251×201个数据点。

⒈二维静态情形下的覆盖宽度与重叠率计算结果

利用式(3)-式(6)，可得二维静态情形下覆盖宽度及重叠率计算结果，如表1所示，其中海水深度为某海域海底地形单波束测深实测数据。

表1 测线覆盖宽度及重叠率计算结果

由表1可知，海洋深度越大，测线覆盖宽度的值越大，重叠率越高。随着海洋深度的减小，测线覆盖宽度的值变为负值，即会出现海域测漏的情况。因此在深海域需要着重考虑测线设计，以控制重叠率的同时提高测线的覆盖率。

⒉三维动态情形下的覆盖宽度计算结果

利用式(7)～式(10)，可得三维动态情形下海域不同位置测线覆盖宽度计算结果，见表2。

表2 海域不同位置测线覆盖宽度计算结果

由表2可知，测线覆盖宽度随着测线方向与坡面法向在水平面上投影夹角的变化关于呈对称分布。投影夹角取π/2或3π/2时，测线覆盖宽度最大。

⒊最优化测线设计分布情况

不规则海底地形(东西长9260m、南北宽7408m)的全覆盖测线设计为整数规划问题，利用式(12)～式(18)和式(21)进行布线设计。通过对海底坡面不规则曲面进行网格化处理，该海域的海水深度分布见图4。因海底为非规则曲面，且测量点数庞大，导致计算复杂，故使用优化算法求解测线设计方案。通过计算测线条数、测线总长度、测线分布、漏测海域占待测海域比例等相关参数。可知沿海域东西方向共布设18条测线，见图5。取海域最南侧为原点，测线位置分别为258.7843、644.6490、1098.6112、1363.9249、1827.0025、2322.4201、2698.7520、3099.3792、3397.4247、3988.0982、4303.9852、4644.9741、5106.1479、5504.6330、6010.6615、6372.3063、6577.4710、7046.9807m。测线分布不均匀，主要集中在南北方向0～4000m范围内，随着向北推进，测线密度并非处处一致。由图4、图5可知，海洋地形坡度较大处测线较密集。

图4 海域海水深度网格图

图5 海底曲面测线分布情况

通过计算可得，漏测海域占待测海域的百分比为0.2186%，测线总长度为166680m，重叠区内所有测线重叠率均处于10%～20%区间内。

本文基于多波束测深技术在先验海底地形信息条件下的测线设计，采用数学几何推导与遗传算法等方法，构建了描述多波束测深覆盖宽度和相邻测线覆盖宽度重叠率之间关系的数学模型。在三维动态环境中，通过引入遗传算法优化测线轨迹，可控制相邻测线覆盖宽度重叠率、降低漏测率。结合数学模型构建与试验分析，可知本文的测线设计可有效提升测深数据采集的效率和准确性，为多波束测深技术在海洋调查和环境监测领域的应用提供了数学基础，能够有效指导测线轨迹的最优化设计，为多波束测深技术的高效应用开辟新的途径，具有推广应用价值。

本文涉及的一些简化假设在真实世界的大规模应用中仍有待进一步验证。未来工作将致力于模型的进一步完善以及对大规模整数规划问题求解效率的优化。此外，还将探索如何将机器学习和人工智能技术融入模型，以期实现更智能的测线设计和数据分析。

【作者简介】文/职首旭 夏生杰 史蓉蓉，来自兰州大学物理科学与技术学院、兰州大学信息科学与工程学院、兰州大学材料与能源学院。第一作者职首旭，2003年出生，男，北京人，本科，主要从事理论物理研究。文章来自《海洋测绘》（2024年第4期），用于学习与交流，参考文献略，版权归作者及出版社共同拥有，转载也请备注由“溪流之海洋人生”微信公众平台编辑与整理。