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最近，我们小学数学教研组共读在拆书分享，把小学数学所涉及的内容分了任务，让每个老师自主去整理，再在共读时分享。
第一位老师分享的内容就是“自然数的认识”，对于“自然数”我其实写过不少的文章，不过在这一次的拆书分享活动中，我又有了新的领悟，茅塞顿开的那种感觉。
刚巧前段时间在共读中我们也讨论了数学是发现的还是发明的问题，就从这个角度切入来整理自己的领悟。
干老师说数学的现象是发现的，数学符号是发明的。
那在自然数中，我们所发现的数学现象是什么？
皮亚杰曾经将数学归类为动作经验，自然数体现的是怎么样的一个动作？
我们可以说自然数体现的是一个计数的动作，但不根本。更进一步，它指向的应该是“一一对应”的动作，而计数本就是符合“一一对应”这个动作的。
关于自然数的起源，一直流传着这样一个故事，古人牧羊，用石头来计数。也就是早上羊出圈时，出一只羊，就投一个石头；晚上羊回圈时，进来一只羊，就取一个石头；最后，可以根据石头的情况来判断羊是否都回来了。
在古人牧羊时，羊和石头之间有一个共同的性质，这个性质现在被我们称作数量，也就是说它们的数量是相同的。至于这个数量是几，是不知道的，这是需要命名的。
其实，不只是石头和羊，在所有能够建立一一对应的两堆物体之间，它们都有共同的性质，也就是它们的数量都相等。而不能建立一一对应的两堆物体，在数量上就有多和少的差别。
至于这个数量是几，是不知道的，不像我们现在发明了数字符号之后，可以用一个数字符号表示它们的数量，而且因为这些数字符号我们都已经很熟悉了，只要看到数字符号，对于数量，我们就会有一个总体的感觉。
到这，就是在自然数这个概念上所发现的数学现象。而自然数概念的形成，以及计数符号、乃至整个计数符号系统的建立则是人类的发明。
虽然，我们知道两堆建立了一一对应的物体，它们的数量是相同的，但是这个数量是几却又不可言说。聪明的古人想到了一个办法，那就是用来计数的物体先安排好顺序，然后与要计数的物体之间建立一一对应。
因为它们之间预先安排好了顺序，那么就可以根据最后一个排到的物体来确定数量的多少。
我举一个例子，比如我现在取7个颜色不一样的球，颜色分别为红、橙、黄、绿、青、蓝、紫。现在我就按照红、橙、黄、绿、青、蓝、紫这样建立好顺序。
现在假设桌上有两堆苹果，我让苹果和球之间建立一一对应，第一堆苹果分别与红球、橙球、黄球、绿球之间建立了一一对应，最后一个是绿球。第二堆苹果也与这些球建立了一一对应，最后一个对应的是蓝球。这就说明第二堆的苹果比第一堆的多。
更伟大的发明在于，我们可以利用最后一个对应的计数物体对数量进行了命名。比如第一堆苹果最后对应的是绿球，就用“绿”给它做了命名，第二堆苹果最后对应的是蓝球，就用“蓝”给它做了命名。
第一次做这件事的人当然不是像我一样用颜色来对数量进行命名的，但本质上是一样的，就是借用有差别的物体，在它们之间建立顺序，然后用这些物体来计数，然后把最后一个对应的物体来作为数量的命名。
这一套用来计数的有差别（有顺序）的物体，在不同的文明中都出现了，慢慢演化成了数字符号。
比如古埃及用象形文字来记录数字，古巴比伦创造了一套高度发展的楔形文字计数系统……而我们先正在广泛使用的“阿拉伯数字”则是由印度人发明的。
不同文明发明的数字符号虽然各不一样，但有一点却是一样的，那就是他们的数字符号之间是有顺序的，而且出现在不同位置的符号绝不会完全相同。
这就实现了可以用计数过程中用到的数字符号中的最后一个符号作为数量的记录。只要是数量相同的物体，用来记录数量的符号必然是一样的，只要是数量不相同的物体，用来记录数量的符号必然是不一样的。
自然数的产生与发展，就完美诠释了数学的现象是被发现的，而数学的符号则是被发明了。
干老师说，数学符号一经发明，就可以自己玩游戏了，从自然数的发展可以看到，数学符号真的很会“玩游戏”。
对我而言，我看到更多的是人在数学面前的强大，而且我希望我的学生在面对数学时也是强大的。他们应该充满着自信，积极思考，用自己的方式来表征和解释数学现象，并在这一基础上不断演化（数学化）。
创造数学，发明数学——让我们一起砥砺前行吧！
与君共勉！
