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https://doi.org/10.1287/opre.2023.2472
01
背景介绍
受呼叫中心和医疗保健行业各种服务系统的启发，文章研究了具有单一客户类别和许多异质服务池的倒 V 型排队系统，这些服务池以不同的服务速率和成本处理客户。该模型中只有一个客户类别，当他们的耐心耗尽时可能会放弃系统，同时有许多异构服务池以不同的服务速率和成本处理客户。
02
研究问题
倒 V 模型控制的基本问题是决定到达的客户是否应该在缓冲区排队，如果不应该，我们应该使用哪个服务器池。针对上述基本问题文章主要有两个目标：在第一个目标中，排队等候的客户会产生滞留成本。因此，第一个目标是通过寻找最佳权衡，使长期平均滞留成本和运营成本的总和最小化。第二个目标是使长期平均运营成本最小化，并满足一个长期放弃比例的目标服务水平。
03
模型方法
该系统的一个确定性流体模型如下：
Q(t)表示t时刻的队列长度；Bj(t)表示t时刻j服务从池正在被服务的顾客；Ij(t)表示t时刻j服务池的可用服务资源。
R(t)表示在时间t前放弃的累积顾客数量；Dj(t)表示在时间t前从j服务池离开的顾客；Ej(t)表示在时间t前进入j服务池的顾客。
总的长期平均运营以及持有成本为：
稳定状态下的优化问题：
决策变量为bj和q。
三种非工作保留（non-work-conserving）的调度策略（即使有队列，也允许空闲）
1）目标分配策略（Target-Allocation Policy）
目标分配策略对任意的成本函数都成立(general cost function)，主要是通过求解上面的优化问题得到最优的b值和q值，然后我们就可以按照一个优先级指标方程来决定最优的分配策略。
此时的优先级指标方程为：
目标分配策略的核心是要求我们事前知道优化问题最优解，而这在实际的操作过程中往往难度很高。
2）广义 c/µ 规则
广义 c/µ 规则建立在持有和运营成本函数是凸函数的条件下，使得原先的非线性优化变成了一个凸优化问题，从而可以运用针对凸优化问题的一些方法工具来求解：
然后可以写出此时的优先级指标方程：
广义 c/µ 规则不需要提前知道优化问题的最优解。
3）固定优先级策略
固定优先级策略建立在持有和运营成本函数是凹函数的条件下，使得原先的非线性优化变成了一个凹优化问题。对于凹优化来说，我们可以在可行域的边界上找到最优解，文章后续还将该问题与经典的背包问题联系起来。
优先级指标方程：
04
主要结论
本文以流体模型分析为基础，探讨了倒V排队模型运行中出现的一些基本问题。本文提出了三种非工作保留政策，以应对任何一般成本函数，从而权衡持有成本和运营成本。具体来说，目标分配政策适用于任何一般成本函数。广义c/μ 规则对具有凸成本的倒 V 模型进行了优化控制，可视为经典cμ规则的对应。文章还开发了一种动态规划算法来寻找最优优先顺序。
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文章须知
文章作者：东南数智港
责任编辑：蔡君洋
微信编辑：疑疑
文章转载自『东南数智港』公众号，原文链接： 成果快照 | 具有异质性服务器池的队列的广义 c/µ 规则
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