原文信息（包括题目、发表期刊、原文链接等）：
Perakis, G., Sim, M., Tang, Q., & Xiong, P. (2023). Robust pricing and production with information partitioning and adaptation. Management Science, 69(3), 1398-1419.
https://pubsonline.informs.org/doi/abs/10.1287/mnsc.2022.4446
原文作者：
Georgia Perakis (MIT)
Melvyn Sim (NUS)
Qinshen Tang* (NTU)
Peng Xiong (NUS)
论文解读者：
赵俊喆
编者按
鲁棒优化近年来已经成为了一个普遍性的方法，该文是较早使用鲁棒优化解决定价问题的文献。主要工作为信息划分和适应性鲁棒优化，进行两个周期多个产品的定价和生产决策，对边信息进行聚类从而构建鲁棒优化中的模糊集，利用聚类降价和仿射近似来得到一个MILP，求出一个不错的解。
1. 定价和生产问题
简单来说，该文考虑的是一个两周期、多产品的定价和生产问题。注意，在下文中，有些地方我们简化了符号，读者请自行分辨变量是否为向量和矩阵。
在第一阶段，制造个边际成本为的产品，零售价为，需求为，代表第一阶段的不确定性。则第一阶段的收益为
在第二阶段，促销价为，需求为，代表第二阶段的不确定性。则第二阶段的收益为
自然，对于一些给定的概率分布，我们可以将该定价和生产问题写成下面这种随机动态优化模型的形式：
其中
需求分布模糊性和维度诅咒对处理这个模型带来了极大的挑战。因此，该文提出了一种新的分布式鲁棒优化(DRO)模型。
2. 需求模型和模糊集
该文使用了可加需求模型(additive demand model)来刻画需求:
这里，, , , , 和是需要根据数据估计的参数。在这个模型的基础上，我们可以增加其他信息，如假期和季节，来估计参数。也可以考虑交叉产品效应、交叉时期效应的影响。
2.1 信息划分
该文提出了一种双周期信息划分模型，该模型有两个目的：减少信息需求，从而促进高效计算，并确定第二周期需求不确定性将如何从给定的第一周期信息划分演变而来，这可以应用于非预期决策。
每个样本包含两周期的零售价，实现需求，和实现信息。可能包括实现需求残差。
第一阶段，将信息划分为簇，每个都与一个多面体支撑集相关。即当且仅当时，样本属于簇，显然。因此，对于第一阶段聚类的所有样本
第二阶段，同理，
聚类方法多种多样，以K-means为例，见图1，展示了信息划分的过程。
图1 信息划分
2.2 基于划分矩的模糊集
给定需求残差的信息划分，该文定义一个基于划分矩的模糊集，包含描述性统计，如支撑、均值和偏差。
其中。
当和时，是一个基于矩的模糊集；当和时，仅包含经验分布。所以该文的模型介于DRO和SO之间，体现了一种适应性。
3. 自适应性分布式鲁棒优化模型
该文还有两个重要的假设，价格是离散的，且存在降价，这能使得收益函数是一个关于的凹分段线性的函数，也带来了，从而保证可以将问题转化为一个确定的MILP。
Finally，我们可以写出该文的DRO模型，
显然，该模型无法直接求解，我们可以先利用对偶处理max里的inf。
命题3. 我们可以将问题(3)formulate为以下非线性鲁棒优化模型：
注意是提升支撑集，定义为
问题(4)中是非线性的，等效线性重构得到得到精确模型EXACT。
定理1. 问题(3)等价于下面的鲁棒优化模型：
注意
可以看出，这时集合的划分有指数数量的元素，问题(5)的规模指数级增长。
于是使用the lifted affine recourse adaptation[1,2]对问题 (5)近似。
考虑以下函数族
我们可以得到affine recourse adaptation model (ARA)，能将约束从个变为个。关键思想是通过仿射函数来近似每个聚类中每个产品的收入。
定理2. 下面的鲁棒优化模型的最优值是问题(3)的下界。
最后，我们还需要在进行一次对偶来reformulate其鲁棒对等问题。但好在我们可以使用RSOME[2]来处理鲁棒约束，其是一个处理鲁棒优化的toolbox/package。该文附录给出了源码，感兴趣的读者可以自行学习。
参考文献
[1] Bertsimas D, Sim M, Zhang M (2019) Adaptive distributionally robust optimization. Management Sci. 65(2):604–618.
[2] Chen Z, Sim M, Xiong P (2020) Robust stochastic optimization made easy with RSOME. Management Sci. 66(8):3329–3339.
微信公众号后台回复
加群：加入全球华人OR|AI|DS社区硕博微信学术群
资料：免费获得大量运筹学相关学习资料
人才库：加入运筹精英人才库，获得独家职位推荐
电子书：免费获取平台小编独家创作的优化理论、运筹实践和数据科学电子书，持续更新中ing...
加入我们：加入「运筹OR帷幄」，参与内容创作平台运营
知识星球：加入「运筹OR帷幄」数据算法社区，免费参与每周「领读计划」、「行业inTalk」、「OR会客厅」等直播活动，与数百位签约大V进行在线交流
文章须知
责任编辑：陈宇文
微信编辑：疑疑
文章由『运筹OR帷幄』原创发布
如需转载请在公众号后台获取转载须知
关注我们
FOLLOW US
