昨天发布的“关于可逆系统及其逆系统”的图文，在讨论LTI系统的可逆及逆系统时存在不止一处错误！由于成文仓促和思考不够严谨、深入导致这些错误的出现，非常抱歉！现对原文作出修订后再行发布，欢迎大家进一步指正！
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这个提问涉及系统可逆性和逆系统。这方面的内容在目前的西电教学大纲中应该是不作要求的。合理地推断，西电各《信号》科目考纲中应该也是不作要求的。（但不意味着考题完全不会涉及！）
然而，作为重要的应用问题，逆系统在通信领域是一个非常重要的应用。比如：数字通信系统中，发送端的纠错编码环节（可视作子系统）和接收端的纠错译码环节（亦可视作子系统）就应该是可逆系统（纠错编码）和它的逆系统（纠错译码）的关系；又比如：数字无线通信系统中，当码间串扰比较严重时，需要在接收端进行均衡以缓解（甚至消除）码间串扰的影响，均衡器（作为一个子系统）就是无线信道（作为另一个子系统）的逆系统。基于但不限于上述重要的应用点，系统可逆性和逆系统的概念应该属于课程的基本要求，而不宜从略不作要求！
以下对这两个概念进行一些讨论。在此之前，依例对公号已有的考研资源（包括三部分内容）进行一次发布。
课程复习中一些需要记忆的内容
2021年研究生入学考试前（2020年底），公号整理了以下课程内容总结并予以发布（后来进行过一次细微的修订）。该内容总结基于西电教材《信号与线性系统分析（第4版）》。这些内容覆盖了西电课程要求知识点的70%以上。最近（9月份），公号又对这一总结进行了个别的修订。以下发布的是最新修订版本。
两个有参考价值的总结
往年的公号内容里，曾经针对采样问题和通信应用问题发布过两篇总结性图文。个人认为，它们还是有一定参考价值的。所以在此给出这两篇图文的链接。
1. 公号往年的(20年以前)全部考研资源
公号往年（2020年以前）全部考研资源（免费）。
公号2020年以前的全部免费真题资源包括在上述图文的“可关键词访问的考研试题资源”中。相关的图文截图如下：![]()
2. 2020年公号试题题解资源
1) 西电2020年844试题参考题解；
2） 2019年四川大学951试题及参考解答；
3） 2020年宁波大学912试题参考解答；
4） 中海大2020年946试题参考解答；
5） 2020年国科大859试题参考解答；
6） 2020年西电931试题参考解答；
7） 2020年北京工大822试题参考解答；
8） 重庆邮电大学2020年801试题参考解答；
9） 2020年西电811试题信号部分参考题解；
10）2020年西电821信号部分参考解答；
11）2020年中科大843试题参考解答；
12）2020年中航科903试题参考解答；
13）2020年北邮804试题参考解答；
14）2020年川大951试题参考解答；
15）2020年中石大(华东)830试题参考解答；
16）哈工大2020年803试题信号部分参考解答。
以上新的题解资源均为付费资源。
要访问全部2020年考研图文（含付费与免费）可通过每篇图文开始处的“话题标签/合集标签”——“考研辅导”进行。亦可通过以下链接访问这一合集（这一合集包括了2020~2023年的所有考研辅导图文）：3. 2021年公号试题题解资源
要访问全部2021年考研图文（含付费与免费）可通过每篇图文开始处的“话题标签/合集标签”——“2022年考研辅导”进行。亦可通过以下链接访问这一合集：
1）2022年西电811试题“信号部分”及参考题解。
2）2022年重邮801试题及其参考解答。
3）2021年国科大859试题及其参考解答（含视频）。
4）2022年陆工大807试题参考解答。
5）2014年天津理工811试题及其参考解答（免费）。
6）2022年川大951试题及参考解答。
7）2022年北邮804试题及其参考解答。
8）2022年中航科903试题及其参考解答。
9）2021年合工大某科目试题及参考解答。
要访问全部2022年考研图文（含付费与免费）可通过每篇图文开始处的“话题标签/合集标签”——“2022年考研辅导”进行。亦可通过以下链接访问这一合集：要访问全部2024年考研图文（含付费与免费）可通过每篇图文开始处的“话题标签/合集标签”——“2024年考研辅导”进行。注意：这里，2024年指入学年份。亦可通过以下链接访问这一最新合集：
5）22、23年西电844试题及参考解答（度盘链接）：https://pan.baidu.com/s/1Vfxufz2PigwkLGGG7iA2IA?pwd=1g0m
6）一道川大考题的讨论；
7）一道西电821考题的讨论；
8）22、23年西电811、821《电路》部分试题（度盘链接）：
https://pan.baidu.com/s/1LAhYuiRtIClB_t0jIIBLOQ?pwd=3hap
要访问全部2025年考研图文（含付费与免费）可通过每篇图文开始处的“话题标签/合集标签”——“2025年考研辅导”进行。注意：这里，2025年指入学年份。亦可通过以下链接访问这一最新合集：
在讨论有关概念之前，先作一个类比。这个类比或许有助于我们后面的讨论。
从数学抽象的角度，我们可以将系统也视作一种函数（数学上，似应称之为“泛函”）。即，一个系统就是一个运行函数的函数，这个函数的自变量是系统输入信号（函数），这个函数的运算结果是系统的输出信号（函数）。有的教材上，这样进行数学表达（假定系统是连续系统）：
这里，f(t)表示系统的输入信号，y(t)表示系统的输出信号，T[ ]代表从输入到输出的映射。
对系统的这一描述可以用初等数学中的函数概念进行类比。只不过数学上的函数概念要简单一些，自变量和函数结果都是数；而系统分析领域，自变量和函数结果都是函数（信号）。
数学上有反函数的概念，系统分析领域则有逆系统的概念。
后面我们将会利用这一类比关系，以类比的方式得出一些系统分析方面的结论。
下面先给出系统可逆性和逆系统的概念：
一个系统如果在不同输入下导致不同的输出，则称该系统是可逆的（invertible），即可将该系统称为可逆系统。就一个可逆系统而言，必存在逆系统（inverse system）。当将逆系统级联到原系统（指可逆系统）之后时，逆系统的输出信号将等于原系统的输入信号。
如果举连续系统的例子，比如微分器，则从上述定义出发，易知微分器一定是不可逆的。那么，积分器呢？是否可逆？
如果举离散系统的例子，比如（零值）内插器和抽取器，则从上述定义出发，易知内插器是可逆系统，而抽取器一定是不可逆的；并且内插器的逆系统就是（同比例的）抽取器。
类比数学上的反函数：数学上函数可逆的充要条件是函数满足双射条件。双射指单射和满射，其中单射指的就是由自变量到因变量的一一映射，一一映射的等价说法就是不同的自变量映射为不同的因变量。所以，可逆系统是一种满足一一映射关系的泛函。（注意：从系统可逆性定义来看，系统分析领域并不强调满射！）那么，确定一个系统为不可逆的只需举出其不满足一一映射的例子（即存在多对一映射的例子）就可以了！
数学上，在复数域，函数y=±sqrt(x)是满足双射条件的（sqrt代表开平方），其反函数是y=x²。这个例子与前面举的系统例（内插器、抽取器）类比，是意图说明，在系统分析领域，逆系统未必一定是可逆系统！
应当注意到，以上关于系统可逆和逆系统的概念，并没有对其他系统属性施加限定条件。
那么，就《信号》课关心的LTI系统而言，系统可逆性和逆系统问题会呈现出什么样的特点呢？注意，我们现在是要在限定系统其他属性（LTI性）前提下再来讨论系统的可逆性和逆系统！
对于LTI系统（以连续系统为例），只有恒等系统可以做到系统输出与系统输入相等，而这意味着恒等系统的冲激响应h(t)为：
进而，先假定原LTI系统可逆，根据上述系统可逆性和逆系统的定义有，原系统冲激响应h(t)和逆系统冲激响应hinv(t)应满足：
和原系统系统函数H(s)和逆系统系统函数Hinv(s)应满足：换言之，对于LTI连续系统，如果它是可逆的，那么其逆系统的冲激响应hinv(t)应满足（式1），逆系统的系统函数Hinv(s)应满足（式2）。这里，由于像函数H(s)和 Hinv(s)必须结合特定的收敛域来衡量，（式2）的成立实际上应该是有条件的，这个条件就是：
如果不能满足这个条件，将意味着（式1）也不能成立！下面举出三个例子来具体讨论LTI系统的可逆性和逆系统问题：
已知LTI因果系统的系统函数为H(s)=(s-2)/(s+2)，Re[s]>-2，求其逆系统？
解： Hinv(s)=1/H(s)=(s+2)/(s-2)，（1）Hinv(s)的收敛域为：Re[s]>2：此时逆系统是因果系统，且Re[s]>2和Re[s]>-2的交集是Re[s]>2，这意味着（式2）是可以成立的，并且可以验证（式1）也是成立的！那么，Hinv(s)=1/H(s)=(s+2)/(s-2)，Re[s]>2是原系统H(s)=(s-2)/(s+2)，Re[s]>-2的一个逆系统。（2）Hinv(s)的收敛域为：Re[s]<2：此时逆系统是反因果系统，且Re[s]<2和Re[s]>-2的交集是-2<Re[s]<2，这意味着（式2）是可以成立的，并且可以验证（式1）也是成立的！那么，看上去Hinv(s)=1/H(s)=(s+2)/(s-2)，Re[s]<2是原系统H(s)=(s-2)/(s+2)，Re[s]>-2的另一个逆系统。但是，一个LTI系统可逆时，它的逆系统应该是唯一的！否则，如这个例子所见，若存在多个逆系统，恰恰表明原系统不可逆！（因为用两个不同的 hinv(t)作为原系统输入时，将得到相同的输出δ(t)——这违反了可逆性定义！）
已知LTI因果系统的系统函数为H(s)=(s+3)/(s+2)，Re[s]>-2，求其逆系统？
解： Hinv(s)=1/H(s)=(s+2)/(s+3)，（1）Hinv(s)的收敛域为：Re[s]>-3：此时逆系统是因果系统，且Re[s]>-3和Re[s]>-2的交集是Re[s]>-2，这意味着（式2）是可以成立的，并且可以验证（式1）也是成立的！那么Hinv(s)=1/H(s)=(s+2)/(s+3)，Re[s]>-3是原系统H(s)=(s+3)/(s+2)，Re[s]>-2的一个逆系统。（2）Hinv(s)的收敛域为：Re[s]<-3：此时逆系统是反因果系统，且Re[s]<-3和Re[s]>-2的交集是空集，这意味着（式2）是不成立的（尽管像函数乘积等于1），并且可以验证（式1）中卷积积分也是不收敛的！那么这个Hinv(s)作为逆系统就是不成立的。这个例子意味着，在满足LTI性的情况下，形式上的H(s)· Hinv(s)=1并不意味着相应的逆系统一定存在！还有，由于存在唯一的逆系统，原系统应该的确是可逆的！（这里将存在唯一的逆系统作为LTI系统可逆的充要条件，但并未从原理上加以证明！）
已知LTI因果系统的系统函数为H(s)=(s+1)/(s+2)，Re[s]>-2，求其逆系统？
解： Hinv(s)=1/H(s)=(s+2)/(s+1)，（1）Hinv(s)的收敛域为：Re[s]>-1：此时逆系统是因果系统，且Re[s]>-2和Re[s]>-1的交集是Re[s]>-1，这意味着（式2）是可以成立的，并且可以验证（式1）也是成立的！那么Hinv(s)=1/H(s)=(s+2)/(s+1)，Re[s]>-1是原系统H(s)=(s+1)/(s+2)，Re[s]>-2的一个逆系统。（2）Hinv(s)的收敛域为：Re[s]<-1：此时逆系统是反因果系统，且Re[s]<-1和Re[s]>-2的交集是-2<Re[s]<-1，这意味着（式2）是可以成立的，并且可以验证（式1）也是成立的！那么，看上去Hinv(s)=1/H(s)=(s+2)/(s+1)，Re[s]<-1是原系统H(s)=(s+1)/(s+2)，Re[s]>-2的另一个逆系统。这个例子同例1类似，出现了两个逆系统。从严格的系统可逆性定义来看，原系统不可逆！
这里提出一个疑问：尽管通过上述例1和例3说明了相应因果系统不可逆，但若在逆系统也因果的前提下，我们注意到满足因果性的逆系统实际上是唯一的！那么，能不能说，例1和例3的因果系统在逆系统也因果的前提下是可逆的？
公号以下两篇往期图文结合华南理工大学的一道考题讨论了离散逆系统的存在问题，应当可以算作对上述讨论的一种拓展，可供大家作进一步的参考：
