重磁异常解释的归一化局部波数法
导读:
1 引言
重磁异常解释的主要任务之一是确定异常体的空间赋存状态。局部波数法是近几年应用较为广泛的一种自动解释方法，该方法利用局部波数可快速地完成场源体的反演，但该方法在进行场源体深度反演时需要已知场源体的构造指数，但未知地区场源体的构造指数往往是未知的，构造指数的错误选取会为反演结果带来较大的误差。后来人们对该方法进行改进，使其能够同时完成深度及构造指数的反演，然而改进后方法需要计算异常的三阶甚至更高阶导数，对数据精度要求较高，且当测量点距较大时，高阶导数的计算是非常不稳定的。Salem等利用原始局部波数和相位转换后局部波数进行异常体的反演，并于2008年试验了该方法在三维情况下的应用效果。Keating利用局部波数及其垂直导数对异常体的深度及构造指数进行反演，但是该方法会增大噪声的干扰。Ma利用不同水平位置与不同高度局部波数曲线的组合进行异常的解释，获得了良好的效果。归一化总梯度法是一种利用高精度重力异常来确定异常源分布的方法，该方法不需要附加条件，计算简便，并能半定量地确定地质体的位置而被广泛用于研究含油气构造或检测油气，但该方法的结果由展开式的项次来决定，为异常的解释工作带来了不确定性，为此提出采用Fourier变换和Hilbert变换来完成归一化总梯度的计算，避免了展开项次的约束。
2 归一化局部波数法
对于异常T而言，局部波数k被定义为局部相位θ的水平方向的导数：
局部相位θ被定义为：
局部波数为异常的二阶导数，因此归一化局部波数法相对归一化总梯度法受背景异常干扰更小。为了降低下延过程的不稳定性及噪声的干扰，采用ISVD（Integrated Second Vertical Derivative）法来其中，∂T/∂x和∂T/∂z分别表示异常T的水平与垂直导数。对式（1）进行微分后得到：
其中，为异常T的解析信号。
Salem等定义相位转换后局部波数的kx表达式：
归一化局部波数的表达式为：
其中，N（z）为归一化函数，主要包含以下几种方式：
其中，，M是深度z上的总测点数。三维情况下归一化局部波数法的表达式为：
其中：
完成局部波数的延拓工作，具体表达式为：
其中，m为泰勒展开式的阶数。为了减小噪声的干扰，引入Laplace方程来完成二阶垂直导数的计算：
对于其他阶垂直导数的计算采用如下的方式来进行（图1）。
垂直导数的计算采用两个水平导数之和来完成，水平导数采用空间域方法来计算，具有受噪声干扰小和计算稳定的优势，因此该方法能稳定地完成异常的延拓工作。由于导数随埋深衰减速度更快，因此足够多的阶数参与计算就会得到准确的结果，一般展开到7~10阶就可以满足精度要求。
图1不同阶垂直导数的计算方法
3 理论模型试验
水平位置为100m，埋深为20m，半径为5m，与围岩密度差为1g·cm-3的圆柱体所引起的重力异常如图2a所示。分别利用Fourier变换法和ISVD法将异常向下延拓4m，ISVD法计算时阶数m为7。
从图2b中可以看出，ISVD方法能较稳定地完成异常的下延工作，且与理论异常之间的差距较小。Fourier变换计算结果稳定性较差，异常出现不规则地波动，为此需对数据进行低通滤波处理，滤波后数据较圆滑，但与原始数据的差距较大。
利用归一化局部波数法对该异常进行反演（图3）。
从图3中可以看出，归一化局部波数法能准确地获得地质体的位置与深度信息，且中值、几何平均和调和平均归一化局部波数相对算术平均归一化局部波数具有更高的分辨率，反演得到的结果更加收敛。
先给出归一化局部波数法对于多个地质体产生异常的应用效果。地下水平位置50、100和150m存在埋深均为10m的垂直薄板状体，其宽度为3m，磁化强度为20A/m，在磁倾角为70°时板状体引起的磁异常如图4a所示，利用归一化局部波数法对磁异常进行反演。
从图4中可以看出，归一化局部波数法对于磁异常也有较好的应用效果，其归一化局部波数的最大值处埋深为9.8m，与异常体的实际深度相一致，具有不受磁化方向干扰的优势。
在实际数据解释中噪声和区域场的干扰是不可避免的。为了验证方法的稳定性，在图4模型中部加入一埋深为20m，半径为3m的圆柱体，磁化强度为20A/m，并加入均值为0，方差为1nT的随机噪声，磁异常如图5a所示。采用图1所示方法计算得到的局部波数如图5b所示，可以看出局部波数能很好地消除区域异常的影响。利用归一化局部波数法进行含噪磁异常的解释（图5c-5f）。从反演结果中可以看出，本文方法受噪声和区域场的干扰小，能有效地完成异常的解释工作。
下面给出归一化局部波数法在较为复杂情况下的应用效果。地下水平位置40m、80m、120m、160m和220m存在埋深分别为7m、9m、12m、15m和15m的垂直薄板状体，其宽度为1m，磁化强度均为20A/m，磁倾角为70°时产生的磁异常如图6a所示。
4 实际数据应用
将本文提出的归一化局部波数法应用于实际数据的解释。图7a为埃及红海西部边缘Hamrawien地区一条实测磁异常剖面，点距为10m。现已验证地下存在两个板状体，其埋深分别为555.7m和441.2m。图7b为磁异常的局部波数。图7c—7f为不同方法获得的归一化局部波数，反演结果显示地质体中心的水平位置分别为4530m和14860m，其埋深分别为546m和447m，归一化局部波数法的反演结果与实际埋深相接近，说明该方法具有良好的实际应用效果。
从反演结果中可以看出较深地质体的归一化局部波数幅值相对较小，反映不是很清晰。为了清晰地获得不同埋藏深度地质体的位置，对归一化函数进行简单的变形，采用分段函数来表示：
不同的地质体采用异常体范围内的归一化值，可有效地凸显出不同深度异常体的效应，能更清晰地显示异常体的分布，因此在应用本文方法进行复杂异常解释时具有一定的局限性。利用改进的归一化局部波数法对异常进行反演（图8）。
从图8中可以看出，通过分段归一化函数可以使改进的局部波数法能更清晰地反映地下地质体的分布，能更好地完成异常的解释工作。
利用归一化局部波数法对朱日和地区磁异常进行解释，其原始磁异常如图9所示。
计算不同深度（0m，10m，30m，50m，100m，150m）磁异常的几何平均归一化局部波数（图10）。
根据图10所示不同深度归一化局部波数可以看出，大部分矿体埋藏深度在50~150m范围内，且异常有向东延伸的趋势。
5 结论
