关于 Wechat 公众号版本的说明
本文内容与复分析 II 正文并没有严格的顺序关系，故部分段落会直接使用复积分较为基础的定理进行说明，也有部分内容会与后续发布的 II 正文重复（详略上可能有不同）。正文发布后，我会在 Blog 发布将 I-II 以及本文合并的单个 PDF，取更恰当的顺序和详略。
本文我只是把 I 最后草草带过的级数展开的部分大致补完，使得在 II 的各种推广不会显得过于唐突。另外，感觉这个部分单独开一篇本来就是个不错的选择吧，数学文一次水太多我也吃不消（笑）
关于复函数级数的收敛性请看上回
（本文基础请定位章节 复解析函数概论 & 级数理论 ）
解析函数的级数展开
解析函数是可以通过无穷级数展开的函数，并且这个级数在函数定义域内收敛于该函数，因此我们也会称这个级数为收敛幂级数。其性质在后面的研究很重要。
Taylor 级数
现在我们已经知道了，幂级数在一个所谓收敛圆内是一个解析函数，因此我们要考虑如何将函数展开为复幂级数。我们将能够被表示为幂级数形式的函数称为解析形的函数。
注：此概念在实数和复数都是适用的，但是此处为了符合主题而使用“解析”来形如一个函数，而非在基础的高等数学中我们更常用于形容实函数的“无穷可微”。
在实变函数论中，我们讨论泰勒公式的初衷是用于一个 在定义域内无穷可微的实函数 的泰勒级数的部分和逼近某个点。类似地，在这里我们需要的也是一个泰勒级数。对于一个在实数/复数 的邻域上的解析的实函数/复函数，大家所熟知的泰勒级数形式如下：
函数在某点解析的充要条件是它在这点的邻域内可以展开成幂级数，这也是幂级数在我们研究解析函数的性质如此重要的原因。虽然但是，理想很美好，现实这个条件还是相当苛刻的。
函数 的 阶泰勒级数的余项可以记为：
在 的某邻域中能够展开为幂级数的充要条件是它的泰勒级数的余项在该邻域中处处收敛于0。
泰勒定理
根据复幂函数的性质，考虑在 内的解析函数 ，对于 有开圆 ，则函数在 上有唯一展开式：
推广柯西积分公式，便可以如此表示泰勒系数 ， 是以 为中心、任意小的正向闭曲线，整个路径都在区域 内，定义为 。而积分符号表示沿着路径 对被积函数进行积分。展开项的系数被定义为：
反过来说，一个函数在 解析的充要条件就是它在 中的点均有其泰勒展开式。
Laurent 级数
洛朗级数是一种在复平面上的某个环形区域内展开的级数，它同时包括了正幂次和负幂次的项。洛朗级数的收敛域通常是一个环状的区域，称为洛朗展开的收敛环。它在收敛环的两个边界上都可以收敛，这种同时在其收敛域的两个边界上收敛的级数，我们称之为双边幂级数。
洛朗级数经常被用于表示圆环上的解析函数，是包含了正负次幂的级数。考虑在环域 的解析函数 ，则函数必定在 上有唯一展开式：
如果 ，级数在 内绝对一致收敛，并且 是 内的解析函数， 被称作级数的收敛环。而若 ，则级数处处发散。
一般我们会关注的是洛朗级数的负幂部分 ，因此这个部分又被称作 主部，剩下的非负部分 则被称为 正则部。而对于展开级数的圆环中心，函数的奇点会是一个好选择，这在正文的留数会写到。
洛朗定理
对于 在环域 内部的某个单值解析的点 ， 一定可以展开为幂级数。而我们考虑环域内以 为中心做的任意 Jordan 曲线 ，则此处的洛朗级数的系数 定义为：
而在环域 内解析的函数 ，必定可以展开为形如 的双边幂级数。
简要证明
设 是环域 内的某点，我们对洛朗定理证明的思路在于，将函数 分为两个函数 ，证明它们在 处有一个可去奇点的情况下， 可以展开为 的非负数次幂级数而 可以展开为 的非负数次幂级数。
作两个圆周，其中 ：
如何无关紧要，因为如果 不在圆周上，它们就不会影响积分值，故我们只需要保证不等式能满足即可。由柯西积分公式确定表达式，得：
对于 和 ，直接套泰勒定理即可（注意是泰勒定理里的定义！）：
对于 和 ，我们可以关注到：
然后对中括号里的项进行几何级数展开，再代回去：
上式的部分显然也能直接套泰勒定理：
综合 可得：
证毕。
意义是显然的。洛朗展开是泰勒展开的推广。Taylor 级数只适用于解析函数在某个点的局部展开，我们只能就此了解到关于函数在该点附近的东西。而洛朗展开式则弥补了这一局限性，允许我们在圆环区域内对函数进行展开，适用于包含奇点的区域。
你的 Taylor 级数比较局限，但是你的负幂次项又弥补了这一部分。如果只做泰勒展开的话，可能就会显得你展开的区域比较局限，可能就会出现一些啊漏奇点做错题的情况。
顺带一提，感兴趣的读者可以去翻翻 Lars Ahlfors 的书对洛朗定理的证明，前半段思路大致一样而对 的变换挺优雅的（本文的写法是大部分教教材会用的代入方法）。
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友好的 复分析导读 II 正文将在接下来的几天发布，内容有关复积分及其较为基础的定理（部分有证明）、留数理论基础，参考文献将在正文一并列出。
Ouyang Anqiao 03:12 20/05/2024
gzanqiao@hotmail.com
