[数学分析] 友好的 复分析导读 I

引言

  许久不见，漫长又转瞬即逝的一个月，大家又变强了多少呢？

  在无趣的应试和各种烦人事中，我决定用空闲时间换个心情写复分析了。

  复分析（Complex Analysis）是数学分析的分支，主要研究复数函数的性质，例如解析性、积分、级数等，以及它们在物理、工程、计算机科学等领域中的应用。

  本文内容的顺序会贴合一般复分析学习的大纲，偶尔掺杂点个人的浅见和理解。

这不是笔记，干不干货不好说，也不是为了 _某些 想速成而应试的笨蛋写的。 我并不想严格将内容限于，那种无异于教材注解的刻板的主线，所以请允许我偶尔放飞自我地联系其他数学分支甚至学科的内容。

  本文对读者的建议是 至少有初中数学常识。

复数

虚数和复数

  初中生记忆中最接近复数的知识点和一元二次方程有关，每次特别强调“方程没有实数根”的时候就总想画蛇添足，但我忍住了。一个一元二次方程形如：

  以前老师都教过“一元二次方程根的判别式”，表示为 ，然后会分成以下三种情况讨论：

• 若 则方程有两个实数根
• 若 则方程有一个实数根
• 若 则方程无实数根

  最后一种情况，既然是“无实数根”这样强调，那就说明还有点什么，刚学这个的时候我老师还微笑着问“那你们知道实数之外的是什么吗？” ，可惜初二的时候我的数学知识范畴仅限于应试，只知道按“实”的对立面蒙“虚数”。_{装x心有余而力不足}

  我们知道在实数的范畴考虑，负数没法开根号，所以为了完善数系，人们多发明了个 ，就是所谓“虚数”，但是很不实际，就好比那个根的判别式，在几何意义上 时就不应该有解。所以我们也一般在印象里将其抽象地当着一个“介于实际存在和不存在之间的、虚幻的数”。有了 ， 的情况下，方程的解就可以形如：

  此时方程的解是复数且它们是共轭的（稍后解释）。

一个复数形如：

这里的 都是实数，而 被称为复数的实部， 被称为复数的虚部。在这样的定义下，有时我们也会将实部表示为 或 ，虚部表示为 或 ，于是：

我们可以将实数理解为虚部为零的复数，也因此复数集 是包含 的。

复数的运算

  在与原本的实数域兼容的情况下，我们定义复数的运算，考虑复数 和 ：

  并且复数满足加法/乘法结合率和交换律、乘法分配率；复数的加法和乘法具有单位元和其逆元。

  与实数不同的是，复数之间定义不了全序关系。如果要使得复数满足全序关系要求，则对于任意 都要满足：

• 若 ，则 （1）
• 若 且 ，则 （2）

我们以虚数单位 为例，要能定义全序关系，则必定在 、 或 中有一个成立，已知 。

• 若 ，根据（2），则 必须成立，但是 是不成立的。
• 若 ，则意味着 ，根据（2），则 必须成立，但是这等同于 ，也是不成立的。

因此我们不能像在实数域一样任意地对复数域中的数比较大小。

复平面

  要考虑复数的几何表示和意义，就得建立一个适用的平面。

  任何一个复数 ，都可以用一个有序数对 唯一确定，因此我们可以建立复数集与平面直角坐标系中的点一一对应，这些点组成的集合我们称之为平面点集，或者点集。在此基础上，我们一般将横坐标称为实轴，将纵坐标称为虚轴，显而易见的是，除了原点以外，虚轴的点表示的是虚数。之后我们的 表达等价于 。

  此外，用向量表示复数会很利于我们理解复数运算（如图），复数的加法可以理解成是按照向量的平行四边形法则来进行的。向量 的长度被称为复数 的模，定义为：

对所有的 ，有性质：

  任何非零复数都有无穷多个辐角，这些值之间相差 的整数倍，定义为 ，我们经常会约定满足 的辐角为 的主值（有时也会被约定为 ，主要就是这两种）。由于：

我们可以将复数表示为 ，这种我们称之为三角形式或者极坐标形式，其中 有时会被简写为 。（但是Latex貌似没有默认的cis公式，这会有点麻烦，我之后可能会避免使用这种记法）

欧拉公式

  在数学和物理中有一个非常重要的公式，就是被称为“上帝公式”的欧拉公式：

  很多书和文档上所说的，欧拉公式的“推导”，例如将两边自然指数和三角函数分别用泰勒级数展开得到结论，严格来说只能算是验证而不是推导。篇幅有限，不能更详略不当了，所以我大概扯一下我关于欧拉公式的一些肤浅的理解就好

先前我在网络上看见很多以物理的应用引入这概念的，对于一个物理差的人而言这真头疼。而关于欧拉公式深入的解释和讨论，如果有闲的一天我再专门写。

以下内容很颠，是在放学路上用手机打的，看不懂直接跳吧

我们考虑单位圆，即以原点为圆心、半径为1的圆，所以此时我们的这个复数的极坐标形式（与实轴的夹角为 ）就变成了：

注意到，当我们用 来与一个复数相乘时，表示在复平面的向量会逆时针旋转90度，这个 在旋转上的意义会与之相关。欧拉公式带来的结论，是取复数 在复平面上旋转画出的轨迹正是单位圆上的点。所以我们关心的实质就是一个模为1的复数。

在旋转的过程中，向量的模不变，变的是我们关注的角 和随角度变化的向量 ，在此处建立一个函数关系，概念就模糊不清地出现了。此时 的实部是 ，虚部是 。 继续旋转，在极短的时间内旋转所变化的量（导数的概念），此时变化的点表示的复数我们记做 ，则它们的差值相当于 逆时针旋转了90度，也就是乘了个 。（我们可以轻易脑补出原本的 和已经旋转了一段距离的 ，并考虑表示它们的差值的向量 ，是垂直于 的）

于是就有了下面这个微分方程，并且我们可以将 带入（过程略，反正简单推几步就出来了）：

共轭

  共轭（Conjugate）的『轭』来自古代给牛两两并排拉车的木头，在数学中有“成对”的意思，意义上是“耦合的、一体的”，而在某些特性上会相反。在数学中我们有常见的复共轭、共轭类（ Group Theory 相关的），在化学中也有什么共轭酸碱对，其根本的意思都是这样。

不喜欢实物图影响画风，所以本鼠标PS灵魂画手出动了（尽力了哈哈哈

  此概念在复数的研究中，是指对复数的虚部变号得到的复数，一对实部相同而虚部相反的复数被称为“共轭复数”。

  考虑复数 ，则 的共轭为：

不难想象，如果在复平面中以向量来表示，则它们是关于实轴对称的——这也意味着实数的共轭是其自身。、

此处列举一些最基础的，进行简单的推导就可适用于很多情况的性质：

黎曼球面

  黎曼球面可以被看作是复平面的扩充。我们将复平面上的每个点映射到三维空间中的单位球面上，在这个映射中，复平面上的无穷远点 被映射到球面的北极点，得到的球面就被称为黎曼球面（或复球面），就是个更形象的 。紧致化复平面对我们后续的性质研究很重要。

  当我们给以复平面原点 为球心的黎曼球面建立笛卡尔坐标系，在三维空间中的单位球面上，对于球面上的每个点 ，都有 ，此时的北极坐标为 。强调，相比有两个无穷远点的扩充实数轴 ，扩充复平面只有北极一个点是无穷远点。

  在我们对数轴和普通复平面的认知下，一个数除以零是没有定义的，但是我们在黎曼球面却可以做到这点。我们在扩充实数轴上不能定义除以零，是因为正无穷和负无穷在数轴的两侧，而我们做不到到将正无穷和负无穷定义为同一个普通点并“收紧”。而在黎曼球面中，从几何上容易想象，在球面的一个点离平面越远，则其投影就越靠近北极，随着点在平面上向无穷远移动，投影也趋近于北极。非零的数除以零可以理解为数无限趋近于无穷远点，因此取极限，任何非零的数除以零都是无穷大的。

代数几何角度

  另外可以简单提提黎曼球面在其他数学分支的地位。复射影空间指复数平面加上一个无穷远点形成的拓扑空间。黎曼球面是紧致的一维复射影空间（一维时也称复射影直线），符号表示为 。众所周知，当我们形容一个东西是“紧致的”，往往是在强调它是一个好东西，数学也不例外。 此外，黎曼球面还是一个典型的黎曼曲面，更是一个复一维紧致曲面，具有很多很棒很棒的拓扑性质。

  复代数簇可以由一组多项式方程定义，在一维复射影空间的情况下，我们可以考虑使用球面的方程来定义它。球面上的点 满足方程 ，也就是说黎曼球面是一个一维的复代数簇。

  在代数几何和射影几何等领域，黎曼球面经常作为各一个典型的、直观的各种概念的例子出现，对我们后续的深入学习很有帮助。

复解析函数 - 概论

  解析函数这个概念本身可以再被细分为实解析函数（一般我们会说“无穷可微”而非解析）和复解析函数，它们有很多很重要的性质，后者是我们在复分析领域的（可以说是最重要的）研究对象。

  在第一章，我们已经大致了解了作为基础的复数和复平面，现在，我们美好的复分析之旅就从此开始辣！

复函数及其极限

  复函数（亦称复变函数，意思是等价的，我随着语感写）是以复数作为自变量和因变量的函数，其值域与定义域都是复平面的子集，先定义：

  考虑 ，我们将映射 称为 上的复变函数，可以将它视为两个二元实函数，写成如下形式：

我们经常要将复函数转化为实函数来研究其性质，例如我们可以将函数 转为一对实函数：

得到 。

若 都有唯一确定的复数 与之对应，则我们称 是在 确定了的单值函数 ，否则我们就称 是在 确定了的多值函数 。常见的单值函数包括多项式函数、指数函数、三角函数等，而多值函数最常见的可能是幂函数和对数函数。

 实变函数的极限定义与简单的一元实变函数的定义很相似。考虑在 上定义 ，对于任何 都存在 使得当 时，有 ，则我们称函数 沿 有极限 ，记为：

  前面说到了复变函数可以写为二元实函数的形式，因此我们可以将复变函数的极限问题转化为二元实函数的极限问题。 趋向于某一复数 当且仅当其实二元函数 均在 处连续。

复可微与解析函数

  若在 上的函数 在点 的领域有定义且存在有限的极限：

则我们称 在 处可导，这个极限亦被我们称为导数，可以记为：

显然，若 在 处可导，则 在 处是连续的。

  当一个函数在 处及其邻域 内处处可导，则我们称 在 处解析（但是要注意，我们所说的解析指的是函数在一个区域上的性质，而非某个点）。解析的范围也可以是指一个区间等更大的范围，反正就是指一个在区域上处处可导的函数，若函数在某点解析，则一定在该点可导，反过来未必成立。

  将范围扩大到定义域来说，对于复函数 ，若在定义域 上的每一点 及其领域内存在连续的导函数 ，则我们称 是在 上的解析函数（亦称全纯函数），这性质意味着该函数在此定义域处处可微。

柯西-黎曼方程

  再来说说复分析中最基础也最重要的公式之一——柯西-黎曼方程（Cauchy–Riemann equations, CRE），提供了可微函数在定义域中为解析函数的充要条件。

  考虑在定义域 上的函数 和复数 ，柯西方程如下：

我们说函数 在 中的点 可微当且仅当它在 处满足柯西-黎曼方程。而 在 上解析，也当且仅当它们满足柯西-黎曼方程。

  很多时候为了使得在圆周或者环形区域内的边值问题更容易处理，我们还会考虑使用极坐标形式的 CRE 。对于复数 ，在极坐标形式 ，柯西-黎曼方程亦可以以极坐标形式表示：

  CRE 还意味着一个显而易见的重点，即可导复函数的实部和虚部不是相互独立的，它们之间有联系。

级数理论

  复函数的级数理论算是复分析里最基础也最重要的部分之一，在我们之后研究解析函数、亚纯函数和黎曼曲面等方面会发挥很重要的作用。

复数项级数

  复级数的定义和性质与实级数类似，给定一个复数列 ，则一个复数项级数的形如：

复数列的前 项的和 被称作级数的部分和。

  类似地，复数项级数也有收敛性和发散性，若部分和数列极限不存在，则我们称级数 发散。考虑 ，我们称 为实部级数、 为虚部级数，若实部级数和虚部级数分别收敛到某个 和 ，那么 收敛到 。

如果 收敛，则我们称 绝对收敛。

  复数项级数满足线性组合的性质，即如果级数 和 都收敛，则 也收敛，其中 是任意复数。

  复数项级数的收敛性和性质与实数项级数类似，可以通过收敛性的判别法来确定级数是否收敛（也称之为审敛法），例如比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法等。继续之前的定义，此处列举一些最基本的，考虑两个级数 和 ，其中我们要判断收敛性的是 。

• 比较审敛法：，若 收敛，则 也收敛。
• 比值审敛法（达朗贝尔判别法）：设 ，若：
• ，则级数绝对收敛
• 或 ，则级数发散
• 时级数可能收敛亦可能发散，我们需要用其他方法加以判断。
• 根值审敛法（柯西审敛法）：设级数根值为 ，若：
• ，则级数绝对收敛
• 或 ，则级数发散
• 时级数可能收敛亦可能发散，我们需要用其他方法加以判断。

复函数项级数

  同理，复函数项级数也与实函数项级数是类似的。给定复函数列 ，且函数的定义域互不相交，定义它们的交集为 ， 是级数的定义域，复函数项级数形如：

复函数列的前 项的和 被称作级数的部分和。

  对于复函数项级数 ，其定义域 内的各个点 ，任意的 都有对应的 使得当 ，考虑任意正整数 有：

 则我们说该复函数项级数是收敛的。此外如果还存在一个自然数 （与 无关的）对于 内每个 均满足当 时，任意正整数 都有 ，则这个级数还是一致收敛的。

定义比较乱，意思却很简单，就是说在每个点 处，级数的部分和都能足够接近于零，且在整个定义域 内都具有相同的性质，即对于所有 都足够接近于零。

魏尔施特拉斯判别法

  对于函数项级数，有一种思路类似于前面比较审敛法的判断是否收敛的方法叫做 魏尔施特拉斯判别法（Weierstrass M-test / Weierstraßsches Majorantenkriterium，来体验一下德语的魅力），中文有简称 "M 判别法"。

考虑函数序列 与其定义域 ，和正常数 使得：

对于 和 内所有的 ，若级数 收敛，则 在 内一致收敛。

魏尔施特拉斯判别法的核心思想在于，在函数序列 随着 的增大逐渐趋于某个极限函数 的同时，我们要求每个点 处的函数序列都被一个相同的上界 所控制，即函数序列的绝对值不会超过某个常数，由此判断一致收敛性。

复幂级数

  有一种常见的特殊复函数项级数，被称为复幂级数，因为有不同于一般的复函数项级数的收敛性判别方法和更好的性质，所以单独讨论。

考虑复数 ， 复幂级数形如：

  我们称之为以 为中心的复幂级数。对于 ，其收敛半径是指复幂级数 在复平面上收敛的半径范围，如果存在 ，使得级数在以 为中心、半径为 的圆盘 内绝对收敛，并且在圆周 上发散，则称 为该级数的收敛半径。而使复幂级数收敛的域则被称为收敛圆，幂级数在其收敛圆内是解析函数。

特别地，当 ，即以 为中心的复幂级数，即：

被称为麦克劳林级数。

解析函数与级数展开

  本节的内容可能需要引入复积分相关的概念才能深入讨论，而复积分我还没写到，此处仅介绍公式，学有余力的/有基础/很好奇的读者也是可以看的。

解析函数是可以通过无穷级数展开的函数，并且这个级数在函数定义域内收敛于该函数，因此我们也会称这个级数为收敛幂级数。其性质在后面的研究很重要。

公式用起来还是很简单的，所谓“超纲”主要在解释其来头需要用到复积分相关的定理，本文的本段内容仅做简单介绍，日后会在合适的地方做详细的解释。本节不应该出现在这里，所以在复分析 P1 和 P2的合并版本会被完善并扔到章节“复积分”之后（见文末说明）

Taylor 展开

  现在我们已经知道了，幂级数在一个所谓收敛圆内是一个解析函数，因此我们要考虑如何将函数展开为复幂级数。我们将能够被表示为幂级数形式的函数称为解析形的函数。

注：此概念在实数和复数都是适用的，但是此处为了符合主题而使用“解析”来形如一个函数，而非在基础的高等数学中我们更常用于形容实函数的“无穷可微”。

  在实变函数论中，我们讨论泰勒公式的初衷是用于一个 在定义域内无穷可微的实函数 的泰勒级数的部分和逼近某个点。类似地，在这里我们需要的也是一个泰勒级数。对于一个在实数/复数 的邻域上的解析的实函数/复函数，它的泰勒级数的形式如下：

,r>

其中的泰勒系数 如下，现阶段的读者可以理解此处的 是以 为中心、任意小的正向闭曲线，整个路径都在区域 内，定义为 |z-z_0|>0C$ 对被积函数进行积分。\varepsilon,>

到这里差不多得了，反过来说，一个函数在 解析的充要条件就是它在 中的点均有其泰勒展开式。

Laurent 展开

  洛朗级数是一种在复平面上的某个环形区域内展开的级数，它同时包括了正幂次和负幂次的项。洛朗级数的收敛域通常是一个环状的区域，称为洛朗展开的收敛环。它在收敛环的两个边界上都可以收敛，这种同时在其收敛域的两个边界上收敛的级数，我们称之为双边幂级数。

  洛朗级数经常被用于表示圆环上的解析函数，是包含了正负次幂的级数。考虑在圆环域 的解析函数 ，则函数必定在 上有展开式：

洛朗级数 定义为：

也很好理解，指的是此圆环域内以 为中心做的任意简单闭曲线。洛朗级数对我们后续研究奇点很重要，之后会进一步对其性质进行解释。

Next

  作为复分析的 P1，本文内容量并不大，虽然字数差不多但都是一些基础中的基础（亦称皮毛，但是很重要），之后我可能也会类似地 适当在微信平台减少单篇文章的内容（写文章的时间和速度不变）。这是因为之前有不少读者跟我反映单篇文章内容太多，以及从我自身出发，在太长的时间跨度中写同一篇东西的确会多少让我失去兴趣，这是不好的。

  还有，由于我写文章的时间点很离散，经常记忆错乱地 心血来潮地写点不合乎顺序的东西，而为它们写的说明，我经常想在以正式的 PDF 发到 Blog 上时去掉。因此我之后可能会选择以同样的精力投入，在微信减少单篇文章内容，以及在一定的进度后将文章以有目录的 PDF 的形式发到 Blog 上，篇章号不变（例如两篇微信文章 xxx I 和 xxx II 合并，在博客编号则会是 xxx I-II）

简单点说，就是我要把微信当成文章草稿库，爱发多发。把文章整理好，完善，废话说明都去掉，再扔到博客。

  至于复分析基础文章的后续，应该重点就是共形映射、傅里叶变换、复积分这三兄贵，由于理论交叉来交叉去，“说完这又要扯那” 的很麻烦，我还是得斟酌一下后续内容的组织。

月底一模，看看我能不能在这里钓到点中学理科的大佬来给我爆补物化。

引用资料

写完才发现我好像也没参考什么，仅列点曾用的教材（一般概念可以参考 Wiki ）：

1. Lars V. Ahlfors. Complex ANALYSIS
2. 钟玉泉 《复变函数论》

Ouyang Anqiao 01:36 13/04/2024
gzanqiao@hotmail.com

感谢阅读！来放松一下吧。

前几天发的 OC 手书，献个速成鼠绘+PR的丑，感谢海姐的倾情客串。