整理一点曾经地铁上用纸巾写的东西。
沃利斯乘积
这一切的一切，要从一个出现于微积分还没有得到充分发展的年代的美妙灵感说起...
这么一个等式横空出世：
顺便写个看起来更直观的展开式，防止小孩误食...
作为身处现代的人，我们都知道 的无穷乘积公式
后人发现了（而非欧拉本人），上式当 时，代入可得
好一个巧合！但我并不觉得利用现代人看来显而易见的结论带入有意思，所以还是稍微完整地证明一下好了。
正好我手里有一张带点手汗的纸巾，我觉得我可以靠回忆去证明一下它，为了不手写那个写出来有点像 pi 的阶乘号，我将它写成带!的形式
来个较为严谨的证明，这并不难，思路就是刚学高数都会的分部积分法，令 ，然后
于是我们有了
由最初的 的定义，我们可以算得 和 ，我们可以得到
我们知道正弦函数是周期函数，在 中 是单调递增的，所以
显而易见地
所以
证毕。
虽然沃利斯乘积本身不是直接关于阶乘的，但它为研究阶乘函数及其扩展提供了新的思路（这是事实）。沃利斯乘积的无穷乘积形式提示人们考虑如何将阶乘函数扩展到非整数值。
斯特林公式
在斯特林公式之前，先提一嘴更早的·棣莫弗所发现的公式，其中 是常数
后面斯特林证出了这个常数 ，于是有了斯特林公式
对于足够大的整数 ，这两个数互为近似值，所以更精确地我们将其写成极限形式。由于我们关注的是那个常数 ，所以写成这样就好
沃利斯乘积之所以重要，是因为它引入了这个关键的 ，斯特林利用了沃利斯乘积推导出了这个公式的常数 。
这个证明如果用伽玛函数+高斯积分完成会更简单
斯特林公式的推导方法很多，各种优雅的答案在网上不难找到，我大概写一写我印象中不少主流教材的思路，是用到 的，我们知道这些梯形的面积的和为
利用积分 ，我们定义一个伯努利数项 ，代入并解方程
我们容易发现 是误差，它单调递增并且有界，会收敛于某个常数 ，所以我们理所当然地考虑 并且取极限 。上面的结论就变成了
我们简单改写一下沃利斯乘积
兄弟你好香，嘿嘿嘿嘿嘿嘿...（obscenely adv. 猥琐地; xx地
得到结论
代回去得到 ，证毕。
斯特林公式妙的地方在于当 足够大时，它的相对误差会很小。并且它的推导基于对 积分形式的渐进分析，具有普适性（见下一节）也是数值分析的常客。有基础的小伙伴也容易在其他领域，例如统计学和物理见到它的身影。
Gamma 函数
我们知道阶乘函数仅适用于离散点，但是人们需要而在寻求一种能够在整个数轴上定义的阶乘函数（即阶乘在实数集上的延拓），然后欧拉发现了伽玛函数，简单地说是一种阶乘函数的推广，严谨地说是阶乘函数到整个复平面的延拓。
伽玛函数的一般定义为：
伽玛函数是整个复平面上的解析函数，很显然函数在实部为负整数时有奇点，出于解析延拓的要求，我们限定 的实部为正。
我们要求 的实部大于0也是为了确保积分收敛。有人托梦给我，当 时，如果不满足 ，我们则无法确保 能收敛，显而易见的是若 是负数，则 在 时会趋向于无穷大。
一些 非常 重要的性质
伽玛函数满足这样的递推关系（这是它很常用的基本性质，给我记好了）
关注到伽玛函数取整数的行为。考虑正整数 ，伽玛函数在非正整数 处有一阶极点，其留数为
伽玛函数的 Weierstrass 形式如下（其中 是欧拉-马斯刻若尼常数）
余元公式
推导如下（我17日晚上写JP题留下的Latex代码）
勒让德关系（或者 Legendre duplication formula，我不知道怎么翻译，硬翻成“勒让德重复公式”？）
这里引用 Stack Exchange 一个很简单的推导（没啥奇技淫巧）：https://math.stackexchange.com/questions/846626/duplication-formula-for-gamma-function
伽玛函数的斯特林公式
考虑 和 （注： 是复数 的模）， 对应的近似值可以由斯特林公式得出
注意，伽玛函数对于除了负整数外的所有复数都有定义，但是因为斯特林公式对于阶乘 本身描述的是 时的渐进估计，它所描述的渐进行为在复数域上同样成立，所以一定条件下的斯特林公式对伽玛函数仍然适用。
（End）
广州地铁的六号线，能写成这样不错了
不学数学的小朋友是要被 Mr. Ouyang 猫猫抓走的
（仅此整理记录我珍贵的上学时光）
