现在是6月7日深夜，没心情，吃老本写点什么好了。
近期在比较系统地复习+查缺补漏高数，本文随记一些之前也有读者提到想看的吧。
插值多项式
先来个轻松简单有趣的开胃菜。
插值法常用于利用已知的离散的点建立合适的插值函数，以求得其它未知点。多项式是简单的函数形式，我们都爱它，爱它胜过一些奇形怪状的复杂函数，可以用来近似各种复杂的曲线。
线性插值
幼儿园时我们就知道两点能确定一条直线。最简单的插值法是线性插值，来作为插值函数 ，仅此而已。
考虑两个点 ，作为线性插值多项式，我们要求它满足 。根据它们确定的直线 可以写作：
或者写作：
根据两点式我们容易看出，这个插值函数 是两个线性函数的线性组合，它们分别是：
它们被称作线性插值基函数，并且它们自身也是线性插值多项式。可知两个插值基函数的线性组合可以构造出一个满足插值条件的一次插值多项式。
当 时， ，因此我们带入上面的点斜式方程就能得到：
抛物插值
初中时我们又知道了，三点确定一条抛物线。考虑三个点 ，我们只要构造出一个满足二次插值条件的 即可。
解方程什么的大可不必...麻烦死了，我们可以推广线性插值的结论，用三个插值基函数的线性组合构造我们的二次多项式，形如：
我们可以用待定系数+插值基函数，满足 的条件，很简单地得到三个插值基函数的表达式，此部分非本文重点且比较若至，故略，反正最后得到的是：
牛顿插值
牛顿插值的多项式形式具有递归性质，每增加一个数据点，多项式的次数增加一次，仅此而已。考虑到初次学习的读者，我们先引入均差的概念再对其进行定义。
均差指的是在给定数据点上计算的差商，表示为 。它的计算可以以递归的方式进行，举个例子，这是一阶均差和二阶均差，可见二阶均差实际就是“一阶均差的均差”（其中要求数据点互异）：
以此类推，对于点 ，我们可得均差的一般公式：
利用差商，可以构造出一个多项式，该多项式通过所有给定的数据点，就是我们所需要的牛顿插值多项式。定义：
整合得：
对于每个点，我们只需要算均差即可。
泰勒公式
牛顿插值法基于插值节点和差商，而泰勒对用多项式接近函数这个做法进行了一些改变，用各阶导数来构造多项式，作为局部逼近的方法。
基本形式
我们知道，零阶导数给出函数在该点的值，一阶导数给出函数的线性变化，二阶导数给出函数的二次变化，依此类推， 导数信息可以累加起来逐步逼近函数的实际值。这些信息所反应的是，如果函数在某处是光滑的（这意味着它在那具有连续的导数），我们就可以用函数在该点的导数来构建一个多项式近似。
回顾一下拉格朗日中值定理。函数 在区间 上连续，且在 内可导，则至少存在一个 使得：
很眼熟吧？不就是均差嘛！那我们再改写变成：
这是有限增量公式，描述了函数在两个点之间的增量，是泰勒展开式的一阶近似，记住它，后面要考。
考虑 是在某点 处有 阶导数的函数，则 在 点的泰勒多项式可以表示为：
之后无歧义时也会简记为：
其中， 是泰勒多项式的余项，用来表示截断误差。若 趋于零，当 趋于无穷大时，该泰勒多项式就可以完全表达 。
当 时，展开式也被称为麦克劳林展开式。
不难发现，从定义上来说，牛顿插值多项式就是泰勒公式更一般的形式。牛顿插值适用于任意分布的离散数据点，尤其是当数据点不均匀分布时，而泰勒公式要求点之间等距。泰勒公式说到底无非就是，考虑函数从某处到某处的变化（即导数）以预测，变化的变化、变化的变化的变化...以此类推，而对这样的“变化”考虑的越多，则对函数的逼近越精确。
余项
我们只是将函数展开到 阶的话，则会存在作为误差的后面剩余的部分，因此我们将表示泰勒多项式与实际函数的误差的项称作余项，函数 的 阶泰勒级数的余项可以记为：
具体的余项有多种定义方式，这里写三种经典的。
皮亚诺余项
根据有限增量公式，我们设一个一阶可导的函数 在区间 上连续，且在 内可导，并且 ，并定义误差为 ，则有：
此时的 就是一次泰勒多项式的皮亚诺余项。但是在泰勒多项式的情况下这不够，所以我们会将误差项推广到更高次，变成：
拉格朗日余项
设一个在区间 到 阶可导的函数 ，且在 上 阶可导，则对于 ，在 中存在 ，拉格朗日余项表示为：
我们可以用上式的拉格朗日余项来确定误差的上界，确定的情况下我们可以找到 在区间 上的最大值：
那么我们有拉格朗日误差的上界：
这被称作拉格朗日余项定理。另外，若 并且 ，则意味着函数 可以完全用其泰勒级数来表示，而且 是在 上的解析函数。
另外，注意到当 时，带拉格朗日余项的泰勒展开式就是我们前面提到的拉格朗日中值定理形式的：
积分型余项
设一个在区间 的某邻域内 阶可导的函数 ，考虑 ，函数的泰勒多项式的积分型余项表示为：
我们知道微积分基本定理已经阐明了积分和微分的关系，故积分型余项其实就是来自微积分基本定理的推导。先引理，我们推广分部积分公式至高阶，若在 上的 函数 阶可导，则：
就能轻而易举地注意到：
再代回去就可以得到：
典型的用法
I. 计算有限项的泰勒多项式
计算 带皮亚诺余项的泰勒多项式，展开到四阶的余项。
出自我一个应试学生刻入DNA的习惯，这种长得就很常见的函数的泰勒级数展开，是应该熟背并经常练习的，本例涉及的两个函数：
所以只要套进去就能得到：
II. 证收敛
证明 在 处的泰勒级数对于每个 都收敛到 。
我们知道 是无穷可微的，考虑一个 套泰勒公式可得：
根据函数的性质，我们知道 ，根据拉格朗日余项定理可知：
因为对于所有的 都满足 ，所以 在 处的泰勒级数对于每个 都收敛到 。
III. 型不定式
来算个长得就很可爱，很讨人喜欢的极限：
其实这是一个简单的 型不定式。除了出题老师以外的人都更喜欢 ，因为这麦克劳林公式是我们更容易使用的，一般我们所谓的 不定式指的极限形如：
这种问题经常也能先考虑洛必达，但是有些题洛起来很麻烦，计算量大，就能用泰勒展开来算。这样的形式使得我们可以分别将 写成 处展开的局部泰勒多项式，只需找到它的最低次的非零项即可。无他，唯手熟尔。
IV. 再来一个 III
来个长得像 Mr. Ouyang 那样不可爱的例子，意思就是可爱但不多。也是 型不定式：
先示范一下洛必达，我们对分子和分母分别求导：
还是 型不定式，我们再洛：
再试试泰勒展开的解法，我们代入，这里为了直观点就不写求和符了：
于是我们带回去得到：
当 时，高次项趋于 ，因此我们得到：
V. 多练习，妖魔鬼怪见多就不怕了。
困了，晚安。
Ouyang Anqiao 02:02 08/06/2024
gzanqiao@hotmail.com
