引言
在数学分析中，我们常常讨论的函数空间是指具有某些特定性质的函数的集合，而函数空间的定义依赖于这些函数之间的“距离”或者“大小”如何测量。而在 空间中，这种“大小”会通过 次幂的积分来定义。
到了应用的领域，许多物理和工程中的偏微分方程需要使用 空间来描述解的存在性和唯一性问题，以及某些经典的解理论依赖于 空间的性质。反正很重要就对了！
这篇文章我会把 空间的基础、基本性质等概念给过一遍。建议读者预先阅读实分析专栏的第一篇内容，对实分析及泛函分析中的基础概念有基本的认识和理解再阅读本文。
关于范数的一些
距离
所谓“距离”是定义在任意两个点之间的一种测量“远近”的概念，例如我们从小就认识的欧几里德距离，定义上只要满足非负性、对称性、三角不等式和自反性即可为距离。
来个典例——闵氏距离，或闵可夫斯基距离的定义。在 维欧氏空间中的两个点 和 ，考虑任意的实数 ，它们的闵氏距离定义为
闵氏距离在几何上提供了不同形状的等距线。取决于 不同的取值，等距线呈现出不同的几何形状，例如在二维空间中会呈现的，是我们熟知的
当 时，距离等距线是一个菱形（曼哈顿几何）。 当 时，等距线是一个圆（欧几里得几何）。 当 时，等距线是一个正方形（切比雪夫几何）。
-范数
进一步地，我们了解了范数的概念，我们知道了范数应该具有正定性、齐次性，满足三角不等式。有时候为了方便初学者理解，会不严谨地将范数形容成更贴近我们生活习惯用语的距离的概念但这在正式的理论学习中是不应该被混淆的
在赋范向量空间中，我们一般将距离度量定义为其分量的 次幂之和求 次方根来计算，所以称之为 -范数。例如当 时，我们称之为曼哈顿范数（L1，）；当 时，就是我们常说的欧几里德范数（L2，）。
当空间维度有限或可数无限时，考虑在 中的向量 ，非负实数 ，我们将其 -范数 定义为
但是在更一般的函数空间或高维空间中，，我们没法用上面对于有限维或可数维度空间的方法来定义范数。所以这样的情况下，-范数的定义由勒贝格积分给出。
给定测度空间 和广义实值函数 ， 是 上的可测函数，有 ，则称 为 的 -范数。当 有限时，定义为
当 时，我们称之为一致范数，定义：
一般来说，当 时，我们会称 为 的本质上确界（Essential infimum），意思就是测度意义下的上确界：忽略掉测度为零的集合后，函数在剩余集合上的上确界。
需要提醒的是，尽管我们经常说 -范数，但是当 时，-范数 就不是符合定义的范数。当 时，范数的齐次性不被满足，因为 未必成立。而当 时，范数的三角不等式不被满足。考虑两个非零向量 和 ，我们有：
显然，这种情况时，，因此三角不等式不被满足。
而特殊地，如果 取了0，通常情况下，它被定义为一个向量中非零元素的个数
空间及其性质
空间
空间是特殊的赋范线性空间，由在某一域上的所有满足 -范数有限的函数所组成的集合。 空间是定义在勒贝格测度上的可测函数的集合，因此，有时候 空间 也被称为勒贝格空间。 空间也是一种典型的巴拿赫空间，特别地，当 时，它还是傅里叶分析中常用的希尔伯特空间 。这个咱暂时不多谈
定义上来说， 空间有分实复两种，为了方便定义，此处定义域 为 或 。给定测度空间 ，对于 ， 空间定义如下：
在本文将被用来统称满足此定义的一类空间
空间是一个向量空间，通常通过函数之间的加法和标量与函数的乘法来定义。，有：
在关于勒贝格测度的实践中，我们经常使用的是 ，这也是在实分析中重要最典型最常见的例子。而有时我们还会把空间限制在某个区间，形如 。
相关的不等式
Hölder 不等式
回顾柯西-施瓦茨不等式，对于实数或复数（即 ）的内积空间 中的两个向量 和 ，有
Hölder 不等式是我们常用的柯西-施瓦茨不等式的推广。考虑测度空间 ， 实数 ，函数 ，满足 ，Hölder 不等式为
容易发现，当我们将柯西-施瓦茨不等式应用于 空间中的函数时，即取 ，Holder不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。
证明
嗯...看定义，很眼熟吧！你大概有端联想到杨氏不等式，这会让我们的证明变得非常简单。
杨氏不等式考虑正实数 ，且 ，则有 。等号成立当且仅当
考虑测度空间 ，函数 ，其中 ， 均不为0，应用杨氏不等式我们有
于是我们有
证毕。
取等条件
Hölder 不等式取等的条件有两个情况：
或 时， 和 存在几乎处处相同的支集 时，存在一个常数 ，使得几乎处处有
Minkowski 不等式
Minkowski 不等式有几个等价形式。
先说范数形式，考虑有限正实数 ，函数 ，则有
而当 时，我们知道三角不等式并不成立，所以我们会考虑 两个正测度集 ，其中 ，并且使得 是示性函数，则有 。
不难发现，当 时，也就是在内积的形式下，Minkowski 不等式退化为欧几里得空间中的三角不等式。
然后是积分形式。考虑实数 ， 在 上可积，则有
同样当 时，另外 非负，则上式的不等号相反。
亦或者写成离散的形式
证明
一种最常见的 Minkowski 不等式证明方法会用到 Hölder 不等式，若 ，或者 ，，则不等式的成立是显然的，否则，我们要先做一些简单的展开
公式一大坨的很不雅观，反正只要简单地约掉公因式
证毕。
基本性质
空间是线性空间。
由不等式 可知，对于函数 ，对于任意的实数 ， 也在 内。
当 时， 是可分的 当 时，对于拓扑空间 和其上的Radon 测度 ， ，这些集合是稠密的：
简单可积函数是取有限多个值的函数，每个函数值对应于一个测度有限的可测集 有界的 次可积函数，它们在整个定义域上有界并属于 ，构成了 中的一个稠密子集 有紧支撑集的连续函数集合
嵌入性质
对于 ， 空间是 空间的一个嵌入，即 。
这个嵌入关系是连续的。考虑一个 收敛于 的范数，并且在 范数下收敛到 。从 中提取一个几乎处处收敛于 的子序列，它在 范数下仍然收敛于 ，从这个子序列中再提取一个子序列，使其也在几乎处处收敛于 。由于极限的一致性， 几乎处处成立。再注意到 和 d都是巴拿赫空间，可知这个嵌入映射是连续的。
闭图像定理考虑巴拿赫空间 和线性算子 ，定义 的图像为
它在 中是闭算子，若它的定义域是闭集，则它是连续的。
对偶空间
给定一个 空间，我们可以定义其对偶空间 。对偶空间由所有的连续线性泛函组成，这些泛函作用在 上。
当 时，考虑 满足 的 （即共轭指数）， 空间的对偶空间，由 给出。
当 或者 且 是 -有限测度空间时， 的对偶空间 等距同构于 。即给定 中的一个有界线性泛函
它可以唯一地表示为 并保持范数
而当 时，根据 Riesz 表示定理， 的对偶空间与 同构。
我觉得更重要的是 时的情况，我们已知 ，并且在弱*拓扑 中，闭单位球是紧的。
完备性（Riesz/Fischer 定理）
Riesz/Fischer 定理，简单的说就是，当 时， 是完备空间。
证明
考虑 ，一个柯西列 ，我们可以选择其子序列使得
然后我们证明 在 收敛。定义 ，于是我们有
于是 在 中逐点几乎处处收敛到函数 ，因此这个子序列的极限存在
每一个柯西序列都会收敛，由此， 时 是完备的得证。
再证 的情况。如果 在 中是柯西列，那么对于每个 ，存在一个 ，使得
我们定义一个几乎处处唯一的可测函数 ，满足
时，对于每个 ，存在 ，使得
所以 本质上有界，且当 时， 在 中。
证毕。
