友好的 复分析导读 II

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  复分析导读 II ，继续补全基础的复变函数论基础部分。本文内容有关复积分和留数理论的基础，以及常用定理。

复积分

  为了方便，我们事先约定，本文中的定向曲线在没有特别声明的情况下：

• 都是指光滑或分段光滑，也就是可求长或分段可求长的曲线。
• 对于开口弧线，一般情况下我们指出其起始点和终点即可。
• 对于闭曲线，默认逆时针为正向。特别强调正向时记做 ；反之顺时针为逆向，记做

概念及定义

  将复变函数沿着曲线或者曲面进行的积分，我们称之为复积分。之所以如此定义，是因为复变函数不同于实函数在横轴上正反方向各种动，而是在复平面上动的，因此复积分类似于实函数中的曲线积分，定义是基于曲线路径的。

  还是一如既往的取样分割。设平面上的曲线 起始点为 ，终点为 ，函数 在 上有定义，我们考虑将曲线分成 段弧，每段对应的 ，并且 。我们在每段弧 任选一点 ，就有了和式：

  然后考虑使每个取样分割的宽度趋近于0。令 ，当 时，函数 沿 从 到 的复积分为：

反过来， 沿 从 到 的复积分则表示为：

我们还会将闭曲线的积分称作环路积分。若 是一个闭曲线，则 沿 的环路积分表示为：

应该注意到的是复积分是与曲线路径有关的，因此我们不能单纯像定积分那样用区间来定义。

  与实函数的曲线积分类似，复曲线积分的结果通常取决于路径上的函数值以及路径的长度和形状，我们积的无非就是函数与曲线之间的曲面面积，用物理的说法就是求曲线的质量。

  我们知道被积函数 在曲线 上连续，意味着它在 上可积。在这样的前提下，如果我们将复变量的实部和虚部分开，可以推导：

由于 ，所以有 ，因此我们有：

很眼熟是吧，实质上就是，我们把这玩意拆成了两个实变中的第二类曲线积分。

基本性质

  类似于曲线积分，这里是复积分一些显而易见的性质。

此外，积分沿曲线的方向会影响到积分正负：

以及复积分的控制不等式。考虑 的弧长 和常数 ，弧微分 ，若 ，则

拓扑学概念补充

  先了解点拓扑学基础知识，以便解释后面的定义。

  平面上的闭曲线关于某个点的卷绕数，表示了曲线绕过该点的次数。但与曲线方向相关，如果是逆方向绕点，则此处的卷绕数会计负数。当然这也是可通过幅角变化计算的：

  考虑拓扑空间 和两个连续函数 ，存在一个连续映射 ，其中 ， ，对于所有的 满足：

此时我们称 与 同伦，记作 。意义上来说，可以想象两个空间中的连续映射可以连续地进行形变而相互转化，也因此两条路径如果它们同伦，那么它们的卷绕数必须相同。本文仅粗略理解即可

  若一个拓扑空间中不存在分离的非空开集，意味着空间中的任意两点都能以连续路径相连，并且空间内的任意两个闭合的路径（后续称闭曲线）都是同伦的，则我们称这个空间是单连通的。在直观上，单连通空间中所有闭曲线都能连续地收缩到一点。

  Jordan 曲线（若尔当曲线，又称简单闭曲线）是指平面上的非自交封闭曲线。相比 Lars Ahlfors 的教材里老爱用的 x 在 y 内同调于 0，在大部分那种只是强调 “围成区域内部没有洞” 的情况下，我会更优先使用 Jordan 曲线来定义。想到这里，尽管我真的很想写点拓扑学同调论什么的，我还是忍住了。_{原地挖坑也不是不行}

  多嘴一句，仅个人观点，我认为对拓扑学（尤其是代数拓扑）和抽象代数的基本概念，至少有较为全面的概念上的认知，是学数分前应有的基础。这样一来不仅你可以很好地将概念和定义联系在一起，还能更好地应对那些特别喜欢用各种 Topology 相关的名词来描述概念的国外教材_{* 据了解，国外很多课程是会先学些拓扑学的，数学系教材里的描述相比一些国内非数学系的教材会抽象点}。

柯西积分定理

定义与黎曼证明

  先写教科书上常见的定义：一个定义在单连通区域 上的解析函数 沿 中的任意一条封闭可求长的曲线的曲线积分为零。

  黎曼证明的方法是非常简单的，因此在教材中经常被作为典型的证明方法。因为 在 上是解析函数，因此 存在，只是该证明方法额外需要的条件是 在 内连续。

回顾一下格林公式，在闭区域 中的两个二元函数 在 内的一阶偏导数存在且连续，考虑 的边界曲线 ，我们有：

应用之前的变换和格林公式：

还是因为 是解析函数，所以 CRE 成立，我们知道 ，故：

证得：

闭路变形原理

为了将柯西积分定理推广到多连通区域，我们会用如下更一般的定义：

考虑区域 和函数 ，有两点 被两条可求长的曲线 连接，并且 和 同伦，此时：

这样，我们可以不必限制路径的选取，而只需要考虑路径的同伦类。

特别的，如果 是与常值映射同伦的可求长封闭曲线，这条曲线可以通过连续的变形变成一个常值曲线，则：

有部分教材会将同伦这个性质所体现出的，解析函数在区域内沿闭曲线的积分值不因曲线路径在区域内连续变形而变化的事实称作“闭路变形原理”。

复合闭路定理

  复合闭路定理算是柯西积分定理的一个比较重要的推论。考虑多连通域 和其中的闭曲线 ，其中有多条闭曲线 在 内部互不包含互不相交。考虑 内的解析函数 ，定义 ，有：

并且：

柯西积分公式

不要再把柯西积分定理和柯西积分公式搞混了，它们不是一个东西啊 kora！

  考虑单连通的开集 和解析函数 ，在 内的正方向的 Jordan 曲线 ，对于函数 在 内部的点 ，有：

简要证明

  考虑一个去掉了 的函数 ，其余的部分仍然解析。以 为圆心， 为半径作圆 ， 及其内部都在 内，对 和 的围成区域应用柯西积分定理的多连通区域推广得到：

解析函数 与积分变量无关，因此上式的 无论多小都是成立的。我们只需要考虑半径 足够小，当半径趋近于零时，积分路径 逐渐收缩到 。我们只需要证明：

考虑参数化路径 ，其中 ，则有 ，来推：

将结果代回柯西积分公式，等式成立。

最大模原理

  顺带一提，所谓最大模定理，指的是在有界区域内，不是常数的解析函数的模取值不会在内部达到局部最大值，意思是这个最大值只能在边界上取到。

高阶导数公式

  解析函数是无穷可导的。我们将柯西积分公式推广到更一般的情况，便能得到解析函数的高阶导数公式，这样就能用求导的方法来算积分，或者反过来用积分代替求导。公式由曲线积分给出：

柯西不等式与 Liouville 定理

通过应用高阶导数进行推论，我们可以得到更多结论。

  一个函数在一个区域内解析，并且它在该区域的边界上的模有一个上界，那么在这个区域内该函数的模也是有界的，并且模的上界不会超过边界上的模的上界。

考虑在 上解析的函数 ，并且 ，则对于 中的任意 ，我们以 为圆心作圆周 ， 及其内部都在 内，则有：

证明起来很简单，用绝对值不等式套进去代一代就行了。

因此：

证得柯西不等式。

  另外还有个大名鼎鼎的 Liouville 定理，说的是在复平面上解析的函数 有界，则它必是常函数。利用柯西不等式对函数的一阶导数进行放缩即可证。考虑任意的 ，对于任意的 ， 在 内解析，再设 ，由柯西不等式得：

反之，如果一个解析函数在全复平面上不是常数，那么根据 Liouville 定理，它必定是无界的。

留数理论

  留数，即“保留下来的数”，是指复变函数在奇点附近的 Laurent 级数展开式中负幂次项的系数，作为一个复变函数在孤立奇点的一个重要特征。留数理论主要就是以使用洛朗级数对孤立奇点的邻域内的性质进行研究，再进一步用于一些算积分的技巧，是我们走向积佬不可少的技能。

关于解析函数与级数，见我发布的预章 友好的 复分析导读 II - Pre。

孤立奇点

  一个函数 在点 处不解析，但在它的某个去心邻域 内处处解析，则我们称 是 的一个孤立奇点。

  若函数 有孤立奇点 ，则 在 点的某去心邻域 可以展开成洛朗级数：

实际上我们会关注的是洛朗级数的负幂部分 ，因此这个部分又被称作 主部，剩下的非负部分 则被称为 正则部。

可去奇点

  如果我们能够使 ，就能使得整个邻域 内的 是解析的，因此符合这个条件的奇点我们称之为可去奇点。这种情况最典型的解决方法就是对奇点进行定义。

   在可去奇点 的邻域 内的洛朗展开没有主部。若孤立奇点 为可去奇点，则 。

  可去奇点说到底都不能算是一个正儿八经的奇点，它的极限存在而留数为0，因此一般而言我们没有必要去求可去奇点处的留数。

极点 

  在 点的某去心邻域 展开成洛朗级数会有有限个 使得 ，那么 是 的极点。

   在极点 的邻域 内的洛朗展开的主部仅有有限项。若孤立奇点 为极点，则 。

本质奇点

  函数在本质奇点处的洛朗展开具有无穷个负数幂次的项（天啊多么糟糕你说是吧）定义就是， 在 点的某去心邻域 展开成洛朗级数会有无限个 使得 ，那么 是 的本质奇点。

若 是函数 的本质奇点，则 不存在，这也是一个充要条件。

留数

  定义 在 Jordan 曲线 及其内部解析时，由柯西积分定理我们知道 ，这样简单粗暴。但是如果这样的函数在 内部存在孤立奇点，则不能这么套定理，我们不得不寻求另一种方法来算积分。

  考虑一个唯一的值 ，使得 的某个去心邻域 内具有解析函数，即为 在 处的留数，这个条件确保了在 的邻域内不存在奇点。留数表示为 ，无歧义时亦可以表示为

  考虑 是 在的一个孤立奇点，则 在 处的留数是函数在此处的洛朗级数展开式为：

而为了计算留数，我们一般会取洛朗展开式中作为系数的负幂次项 ，因为简单，在预章我们知道洛朗级数的系数定义（实际就是柯西积分公式的推广）为：

代入可得：

  注意，根据定义可知，我们不应该尝试去求非孤立奇点的留数，就例如在某处的无数个奇点不是孤立的，你没法对其进行洛朗展开，何谈求？

留数定理

  先写较为一般的定义。考虑单连通开集 ，函数 在 内除了有限个孤立奇点外处处解析。闭合曲线 在 内部包围了这些奇点，并且 本身不经过任何奇点，设 关于 的卷绕数为 ，则有：

但是如果 是 Jordan 曲线，则意味着 都为 1，则有：

有限点的留数

• 函数在可去奇点处的留数为零
• 函数在本质奇点处的留数需要将函数展开成洛朗级数求其系数 ，定义在前面已有。

极点除了用洛朗级数展开硬算，还有一种较为常用的特殊方法：

I

  此处再给出一个判断孤立奇点是否为极点的充要条件，考虑一个函数 也在 及其邻域 内解析，则 是 的 阶极点：

则根据定义，我们有：

显然，若 ，则上式退化成：

II 

 还有一种很常见的形式为 ，其中 在 及其邻域 内解析， 是 的一阶零点且 ，则有（应用洛必达法则即可得到）：

对数留数

  一个函数 在闭曲线 上解析且非零，在 内部亚纯（注：至今我还没在文内用过这个词，指函数在区域内没有除了可去奇点和极点以外的奇点，是比解析要弱的性质），而有积分形如：

由于 ，因此我们称这个积分为 在 上的对数留数。再设 在 内零点个数为 ，极点的个数为 ，并且重零点和重极点应按其阶数重复计数，有：

这很酷！对数留数可以反映闭曲线内部函数的零点和极点个数的关系，这在之后将会被进一步推广。

辐角原理

  一样的定义，函数 在闭曲线 上解析且非零，在 内部亚纯， 沿 正向绕一圈的辐角的变化量我们记作 ，有：

特殊地，若 在 内没有奇点，即 在 内解析，则上式变成了：

儒歇定理

  再设 在 Jordan 曲线 及其内部解析，且在 上 满足 ，则在 内 和 的零点数相等。

  之前看过一个关于儒歇定理很有意思的讨论，就是说主人用狗绳牵着狗，绕一棵树转（树被视为一点，而人不会接触到树），只要狗绳的长度总是小于主人与树的距离，狗再怎么跑也不会自己绕着树转多余的圈，故狗绕树转的圈数等于主人绕树转的圈数。

我们还能推广一下，如果函数仅在 及其内部亚纯，其他条件同上，则：

Next

  嗯，先这样吧。如 I 所写的，之后复分析导读也会这么慢慢推主线，泛函分析也可以开始挖坑了。

  关于用留数计算实积分的部分，因为很重要（严格来说算是留数应用的重点），我会在有空时专门开个短文来写，啊，就这样。

祝中高考的小伙伴们一切顺利，取得理想的成绩，你们是最棒的！

引用资料

1. Lars V. Ahlfors. Complex ANALYSIS
2. 李红，谢松法 《复变函数与积分变换》
3. Sébastien Boisgérault. Cauchy’s Integral Theorem
4. Jeremy Orlof. 18.04 S18 Topic 8: Residue Theorem