撰稿：Vincent
助理三：DWWL-3
转眼间，时间来到11月，考研的日子越来越近了，大家的复习也进入到最后的回顾、冲刺阶段，这个阶段大家的主要任务有两个：一是巩固知识，二是调整状态，两者同等地重要。心态好、状态好，才能更好地发挥出自己的知识能力，反过来，扎实的基础也是良好心态的来源。今天Vincent从量子力学复习的角度来和各位研友伙伴们聊聊，最后冲刺阶段有哪些方面是需要注意的，以及如何利用好这段时间完成整体的复习工作。
量子力学的复习上篇，请点击图片查看，今天学长来说一下量子力学复习的下篇内容。
氢原子问题属于一类复合型的难题，其中包含了对三维薛定谔方程基本概念、角动量、自旋、总角动量、涉及三角函数和e指数的三维积分等等问题。我们以下题为例：
我们可以简单分析一下这题（以前两小问为例），首先波函数的形式就告诉了我们这个波函数分别是l=1;.m=+1,-1的本征态构成，这里考察的是氢原子的量子数的性质，本质上是我们在三维薛定谔方程求解时给出的结论，如此一来我们前两问就很容易解决了；假如题目第五问采用的方式是求粒子出现在r～r+dr的概率，那么我们就要小心了，这时候我们需要对波函数的全立体角进行积分，里面就会涉及三角函数的积分问题。
总的来说，虽然氢原子问题难度比较大，但实际上它的难度也仅仅在于一道题目考察的知识点较多而已，如果同学们能够把基础打牢，面对每一个单独的考点能够做到熟悉的应对，那么氢原子问题本身也没什么困难的。
不确定关系除了之前说过的，利用“标准差”的计算来验证它以外，还有一种考法就是利用不确定关系来计算体系基态能以及查考它的证明。前者以2022年人大的题目为例：
这类题目实际非常简单，大家不需要太过拘泥于求得的答案是否和严格解一致，因为你本身用的就是一个“近似方法”。换句话说，“你都偷懒了还渴望得到的和别人一样多”，这是不现实的。所以，对于这类问题，我们只需把体系的线宽（在这里是a）带入公式计算，就可以求出大致的动量，然后套入能量-动量关系就可以求出基态能。第二种考察方式以2023北师大的题为例：
这题其实纯考的结论，但我这里想提醒同学们的是，一定要掌握利用Schwartz不等式证明不确定性关系的方法！因为这个问题已经被许多学校考过了。
微扰问题属于和一维薛定谔方程一样，是一类每个考研院校的必考题。而且其可以变形已经综合其他考点的方式实在是太多了，导致微扰问题难度区间其实非常大。我们以2018年南开大学考研题为例：
这道题目首先我们应该做小角度近似使这题变形为一道谐振子问题（这与经典力学处理方法类似）。然后我需要提醒大家的是，一旦题目遇到了关于谐振子微扰的问题，十有八九最后套微扰公式时都会碰见需要利用谐振子升降阶公式的问题，所以这里再次提醒大家，一定要牢记谐振子的递推关系。
其次，很多微扰问题需要我们人为拆选出适合作为微扰哈密顿量的部分，大部分题目我们基本可以一眼就挑选出这样的微扰哈密顿量，但是也有例外！以2022年南京大学的题目为例：
想必做了这道题的同学们应该会对这道题印象深刻吧！这道题也是属于微扰问题的天花板类型的题目了，像这类题我们就没那么好一下就拆解出微扰部分，所以我们就需要根据题目信息来一步步的找到正确答案（具体如何根据题给信息找到微扰部分我已经在课程中讲解了）；最后，就是提醒大家一定要小心你现在处理的能级是否简并！这决定了你是应该用非简并微扰公式还是简并微扰公式。
自旋与磁场耦合问题也是近些年特别爱考的问题，特别是中科大和中科院。但遇到这类题也不要慌，我们首先要求大家一定要记住的是带电粒子与磁场耦合的哈密顿量形式——磁矩与外磁场的点乘。而磁矩中蕴含着带电粒子的郎德-g因子，我们尤其需要记住的是电子自旋磁矩的郎德-g因子的大小与轨道磁矩的二倍关系，以及要记得电子自旋磁矩的公式。以2020中科大的题目为例：
大部分这类问题的考察中，磁场正好就是沿着z-方向，由此我们就可以选择自旋Sz表象，从而得知我们的本征函数形式。这样一来，这道题目的两个问题实际上难度就不大了。第一问涉及自旋微扰问题，实际上我们老老实实算就好了（自旋矩阵就2维，题目给的形式再怎么恶心也难不到哪去～）；第二问就是概率问题，这是非常简单的考点了，再次也不赘述。
最后给大家讲解的重点考点就是全同粒子问题，特别是里面牵涉到了自旋部分的问题。我们以2023年浙江大学题目为例：
首先大家应该先审好题，这题究竟考察的是非全同粒子呢？还是全同粒子呢？如果对于有自旋非全同粒子是非常好办的，因为我们就不需要考虑什么杂七杂八的对称性了，只需要将两粒子空间波函数与自旋空间波函数直积即可；但对于全同粒子而言就没那么简单了，如果是无自旋的全同粒子，我们仅需要构造一个空间反对称的波函数即可，但对于存在自旋的粒子，我们还需要考虑空间部分组合与自旋部分组合后的对称情况，这时候对于自旋空间我们采用耦合表象的基就十分方便了，因为它们本身就显然体现了对称性。
除此之外，我们需要提及一下耦合表象与非耦合表象的问题。大多数情况我们对于这两个表象的变换处理都停留在自旋1/2粒子耦合的体系，那这个时候我们利用我们春季班的知识总是能捣鼓出它们之间的关系的。但是对于出现了高自旋粒子耦合问题，我们很大几率是需要利用C-G系数进行拆解的，所以提醒同学们可以在考试最后之际稍微看一下C-G系数表，并参考几道考察了C-G系数的题目以熟悉这类题型的解法。
以上就是冲刺阶段量子力学复习的第二篇章内容。
最后，希望大家在最后的阶段能够有始有终，坚持到底，能拿到分的部分一定要滚瓜烂熟。量子力学虽然也有特别难的知识点、章节，但总的来说其定位不难，主要考大家的基本能力，所以要重点复习典型题目、常规考法。
扫描二维码，
关注免费公开课👇
移步b站关注呦👇
把握真题，快人一步
关注最全物理考研信息
