撰稿：寒风学长
助理三：DWWL-3
转眼间，时间来到11月，考研的日子越来越近了，大家的复习也进入到最后的回顾、冲刺阶段，这个阶段大家的主要任务有两个：一是巩固知识，二是调整状态，两者同等地重要。心态好、状态好，才能更好地发挥出自己的知识能力，反过来，扎实的基础也是良好心态的来源。今天我们从量子力学复习的角度来和各位研友伙伴们聊聊，最后冲刺阶段有哪些方面是需要注意的，以及如何利用好这段时间完成整体的复习工作。
量子力学的知识框架来自于大王物理教学内容，所以这里再次提醒大家，遇到不会的或者遗忘的知识点，一点要多回顾课堂上所做的笔记。大家可以结合高校的出题风格和往年真题，以题型为主的思路进行复习，辅以梳理概念和公式，重点把握常考知识点。
波函数总的来说主要就是两点性质：1.叠加性；2.归一化（概率诠释）。从归一化这一条件应用在不同的情况就可能呈现出不同的形式，例如波函数单值性等等。如果只是简答题我们就可以如此回答，例如2023年的西安交大的简答题。
但大多数情况我们面对的不是简答题，而是一个具体模型的归一化问题。除了典型的一维无限深势阱模型，要求大家详细掌握归一化系数的推导（涉及三角函数积分知识）以外，题目经常会出现的归一化的另一类问题就是涉及“高斯型积分”的归一化问题，例如2023年南开大学的考题。
对于各类高斯型积分问题，希望同学们在前期学习中就能够自己整理好总结公式，并且一定要会推导。
一维薛定谔方程基本上是每个考研院校必考题，且往往爱出一维无限深势阱之类的比较简单，但又能很好考察大家基础的问题。所以一旦考试出现这道题一定要争取拿到满分！
一般来说，一维薛定谔方程问题有三种考法：1.一维薛定谔方程的性质；2.束缚态问题；3.散射态问题。
对于第一点，考法非常直接，例如2022年华东师范大学的考题。
第二点往往是考察的最多的，例如2023年哈工大的考题。
这类题型往往就是无限深势阱的考察，求解过程仿照课堂上讲解解答即可。
最后，是第三类考察方式，这也是近些年不少顶尖院校偏向的考察方式。例如2021年中科院的考题。
我曾在课堂上说过，一维散射态问题本质上和束缚态问题一样，就是求解薛定谔方程，只不过边界条件变了，我们需要先设入射波函数和出射波函数，且对于散射态我们更关心的是反射率和透射率，所以最后的结果我们需要将它们用我们求解得到的波函数表达出来即可。
厄米算符问题本质上属于算符问题，而算符问题作为一个很大的知识点与考点，它本身所包含的内容是很多的，而且解答方式比较偏数学的代数运算，所以数学难度也比较大，比较考察大家的数学推导能力。
其中一类常考题型就是厄米算符的考察，其中涉及到了厄米算符具有的性质。例如本征值为实数，平均值为实数，共同完备本征态等等。以下面两题举例：
上面的题目很显然，我们仅需验证四个选项中哪些构成了厄米算符即可；而下面的问题则我们需要验证哪些算符对易即可。所以，对于基本概念与性质的掌握是求解这类问题的关键。
我们再来看看第二类考法，这类考法也是大多数院校特别常考的问题——平均值计算问题。这类考题我们在课堂上也解析过，无谓就是求坐标、动量以及它们平方的平均值，最后再验证一下不确定性关系。
我曾说过很多次，这类问题我们仅需先计算坐标平均值，而对于动量平均值我们应该先看看所求的态是否为定态，如果是的话我们往往可以利用埃伦费斯特定理来证明束缚定态的动量平均值为零这一性质，这样就可以省去很多求解的麻烦，而对于坐标平方的平均值，我们也抱着与其计算一个算符平方的平均值，不如利用算符的厄米性质直接拆解为单个算符作用在态上的模方。
谐振子专题本身作为一个很大的考点，考察的方式有很多，但大多都是基于薛定谔方程给出后的求解。这类问题我们首先一定要记好谐振子本征函数具有的递推公式，这不仅在计算平均值之类的问题中需要，在后面的量子跃迁问题也提供了相应的选择定则。其次是对于“谐振子+电场”模型，我们也多次强调它只不过起到了平移平衡点的作用，可以进行严格求解，也可以进行微扰求解，两种方法都需要大家掌握。
角动量问题作为量子力学承上启下的章节，它即和后续自旋章节联系紧密，例如自旋-轨道耦合问题，本身也是表象问题、算符问题最典型的一类考题。以下题为例：
我们需要大家掌握三类解法：1.直接从角动量定义解出角动量的解析表达式与矩阵表示；2.从角动量对易关系便捷求解lx、ly的矩阵形式；3.利用升降阶算符方法求解出lx、ly的矩阵形式。这三类方法在我们真题班不止一次的提及了，所以在此再次要求同学们一定要牢牢掌握这三种解法。
以上就是冲刺阶段量子力学复习的第一篇章内容。
最后，希望大家在最后的阶段能够有始有终，坚持到底，能拿到分的部分一定要滚瓜烂熟。量子力学虽然也有特别难的知识点、章节，但总的来说其定位不难，主要考大家的基本能力，所以要重点复习典型题目、常规考法。
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