来源：《中国电力》2024年第10期
引文：穆怀天, 廉洪亮, 刘娟, 等. 基于数据物理融合驱动配电网三相线性化潮流及线损分析应用[J]. 中国电力, 2024, 57(10): 46-56.
理论线损是根据电网设备参数、运行数据以及潮流和负荷分布理论计算的线损，通过准确地了解电网中损耗的构成，可以为挖掘电网企业的降损潜力提供可靠依据。《中国电力》2024年第10期刊发了穆怀天等撰写的《基于数据物理融合驱动配电网三相线性化潮流及线损分析应用》一文。文章提出一种基于三相数据物理融合驱动线性化的配电网理论线损快速计算方法，贡献总结如下：1）传统物理线性化模型在系统重载时精度不高，本文提出在传统物理线性化的基础上，利用偏最小二乘数据驱动补偿线性化误差，模型可极大地提高潮流收敛性，并具有较高的求解效率；2）由于分布式光伏规模化并网，引入了大量分段非光滑下垂控制约束，传统基于混合整数规划的处理方法会引入0/1整数变量，不利于求解，本文引入ln光滑化函数实现光滑化建模，在保证求解精度的前提下，可极大提高潮流收敛性；3）针对分布式电源规模化并网条件下，传统等值电阻法、压降法不再适用的问题，本文提出基于三相线性化潮流的理论线损快速计算方法，在保证理论线损计算精度的前提下，极大地提高计算效率。
分布式电源规模化并网引入了下垂控制等非光滑本地控制约束，易导致传统基于前推回代法的潮流计算方法收敛失败，且由于分布式电源并网改变系统潮流方向，导致传统等值电阻法、压降法等理论线损计算方法不再适用。为解决上述问题，提出计及有载调压变压器调压、分布式光伏下垂控制的光滑化模型，构建了基于数据物理融合驱动的三相配电网线性化理论线损快速计算模型。在传统基于稳态运行特性线性化、一阶泰勒展开线性化的基础上，利用偏最小二乘法补偿线性化误差。相比纯物理驱动线性化，在负荷重载条件下仍具有较高精度；相比于纯数据驱动线性化，能够保留支路拓扑信息，适用于开关状态变化场景。所提模型仅对线性化误差进行拟合补偿，在保证线性化精度的前提下，极大地提高了潮流模型的收敛性与计算效率，且能够适应不同负荷水平实现精确误差补偿。基于实际42节点三相配电网系统仿真，验证了所提模型具有较高精度，且能够实现配电网理论线损鲁棒、快速计算。计及相间阻抗耦合特性，配电网三相线路等效模型如图1所示。图中：Yij为节点i,j之间的三相导纳矩阵。
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Fig.1 Equivalent model of three-phase circuit
式中：φ∈{a,b,c}，为三相相序；PGi−φ、QGi−φ分别为节点i处发电机φ相有功功率和无功功率；PDi−φ、QDi−φ分别为节点i处φ相有功、无功负荷；Pi−φ、Qi−φ分别为与节点i相连所有支路φ相有功功率和无功功率之和；Ω(i)为与节点i相连接的节点集合；Ui−φ为节点i的φ相电压幅值；![]()
表示节点i的φ相电压相角与节点j的β相电压相角差；Gij−φβ、Bij−φβ分别为节点i的φ相与节点j的β相之间的互电导和互电纳；yi−φ为节点i的φ相对地电纳。有载调压变压器（on-load tap changer， OLTC）包括变压器和调压器2个部分，与传统无载调压变压器不同的是，有载调压变压器能够带负荷调节变比，控制二次侧电压幅值满足一定范围，通过调节变比，最终使得末端负荷电压维持在设定水平，提高用户侧电能质量。OLTC稳态模型如图2所示。
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Fig.2 Equivalent model of on-load tap changer
定义节点支路关联矩阵的列名表示节点i−a、i−b、i−c、j−a、j−b、j−c；行名对应表示为i−a所连支路、j−a所连支路、i−b所连支路、j−b所连支路、i−c所连支路、j−c所连支路，节支关联矩阵为
式中：1、–1表示支路与节点关联，且其方向分别为流出和流入节点。以A相为例，根据变压器一二次侧能量守恒定律，绕组上的电压、电流满足式中：![]()
为流经i−a所连支路的支路电流；ya=1/Ra+jXa，Ra、Xa分别为变压器的A相等效电阻和电抗；ta表示A相变比。同理，推导得到B、C相的支路电流与节点电压关系，最终得到三相原始导纳矩阵为结合原始导纳矩阵与节支关联矩阵，得到节点导纳矩阵Ybus为OLTC可用来调整二次侧电压，须满足如下不等式约束。式中：tij为节点i、j之间支路的调压器变比；U0为电压控制水平；ΔU为电压带宽；tmax、tmin分别为变比的上下限；Umax、Umin分别为电压幅值上下限。引入松驰因子U+、U−，t+、t−，用互补约束对（10）中的电压Uj、变比tij的不等式约束进行处理，即传统牛顿法（Newton method）无法处理互补约束这类非光滑约束，针对OLTC包含的互补约束，本文引入 Fischer-Burmeister（FB）函数，即式中：μ是松弛因子，通常取10−6。引入μ能够避免FB函数在点(0,0)处不可微的问题。式中：![]()
为调压器二次侧电压；![]()
分别为表示调压器二次侧电压幅值最大值和最小值。
在使用潮流法计算理论线损时，由于潮流模型中含有大量的非线性约束，导致模型求解低效。且传统潮流计算方法，如前推回代法，其计算性能严重依赖初值，劣初值易造成收敛困难，严重时甚至导致潮流计算失败。而线性化方法可将非线性约束转成高效、易求解的线性约束，能够实现模型的快速求解，避免非线性约束带来的收敛性问题。故研究采用线性化潮流模型实现理论线损的快速计算意义重大。传统基于物理特性的线性化模型在配电网重载时，线性化精度较低。本文采用数据物理融合线性化的方法对非线性约束进行松弛处理，方法共分为2层：第1层基于物理驱动进行线性化，第2层在物理驱动的基础上基于数据驱动补偿误差，补偿误差由偏最小二乘法基于大数据训练拟合得到，整体流程如图4所示。采用数据物理融合驱动的优点是：物理驱动层保留了网络拓扑信息，数据驱动层极大地提高了线性化的精度；同时，由于模型线性，更易求解，避免了求解复杂的非线性非凸问题。综合下来，数据物理融合驱动线性化方法可在保证精度与解的最优性的前提下，极大地提高模型计算效率。
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图4 基于数据物理融合驱动线性化的配电网三相快速线损计算方法
Fig.4 Three-phase fast line loss calculation method for distribution network driven by data and physics fusion linearization
根据Q/GDW 114—2017《电网电压质量技术规范》，配电网的电压合格率是指配电网在一定时间内电压合格的时长与总时长的比值，一般规定在95%以上。可以认为，在配电网正常运行状态下，电网各节点的电压幅值接近于额定电压，基于此，定义节点电压幅值Ui−φ近似为1.0 p.u.。
交流潮流系统中存在大量的非线性正弦、余弦项，对求解效率与收敛性带来了较大影响。本文采用如下方法将三角函数中正弦、余弦项进行处理，即
式中：θij−φβ,0表示相角差θij−φβ初值，在配电网正常运行状态下，θi−φ−θj−β−θij−φβ,0≈0。结合式（17），对潮流方程中的4类非线性项进行线性化处理，即式中：ξii−φβ、χii−φβ、ξij−φβ、χij−φβ分别表示潮流方程中的4类非线性项，以便于推导后续的理论线损计算式。对于FB函数与VSC下垂控制函数，采用一阶泰勒展开的方式进行物理线性化。式中：∇f(x0)表示函数f(x)在初值x0处的一阶偏导数。将式（18）~（21）（23）代入式（2）可得到基于物理特性线性化后的支路功率与节点注入功率表达式。此外，将系统中存在的下垂控制非光滑约束依据式（16）光滑化拟合，保证物理线性化模型收敛性。当配电网末端负荷较大，即线路重载时，配电网线路上的电压损失较大，此时末端节点的电压幅值相对于额定电压将有较大偏移，采用传统基于物理特性的线性化方法误差较大，具有一定的局限性。因此，本文在基于物理特性线性化的基础上，叠加基于数据驱动的补偿误差进而修正线性化潮流功率方程，得到数据物理融合驱动后的线性化表达式。式中：、ΔP、ΔQ分别为基于数据驱动得到的所有节点有功功率和无功功率的补偿误差组成的向量；Δf(x)为基于数据驱动得到的OLTC的FB等式约束、VSC的下垂控制约束的补偿误差组成的向量；ζ为拟合系数矩阵；η为常数矩阵，均由偏最小二乘回归（partial least squares regression， PLSR）分析拟合得到；y′是负荷组成的自变量矩阵；Pd、Qd分别表示系统a、b、c相有功、无功负荷组成的向量。PLSR分析是一种基于多元线性回归分析方法的数据降维处理技术，它可以在保留原始数据的基础上，将多个自变量进行降维，找出主成分，进而建立线性关系模型。其基本思想是通过将自变量和因变量进行降维处理，找到能最大化自变量与因变量之间的协方差的主成分，然后将其作为新的自变量进行回归分析。自变量集、因变量集可以由AMI、SCADA等量测体系中的历史数据获取，也可以通过潮流计算结果获取。在得到自变量集R和因变量集Z后，将数据集标准化为式中：R∗、Z∗分别为标准化后的自变量集和因变量集；![]()
分别为自变量R的均值和标准差；![]()
分别为因变量集Z的均值和标准差。对于标准化之后的自变量、因变量集，采用最小二乘回归分析方法计算拟合系数，即式中：D表示通过PLSR求得的回归系数矩阵；PLS为偏最小二乘回归函数。首先，根据上述线性化原理，得到三相线路模型的节点功率平衡方程精确线性化表达式为式中：![]()
分别为数据物理融合驱动线性化后节点i的φ相有功、无功注入功率。ΔPi−φ、ΔQi−φ分别表示节点i基于数据驱动得到的φ相有功功率和无功功率的补偿误差。OLTC互补约束、VSC下垂控制约束的精确线性化表达式为式中：f′(x)为有载调压变压器的FB函数、VSC的下垂控制等式约束；Δf(x)为基于数据驱动得到的OLTC的FB等式约束、VSC的下垂控制约束的补偿误差。考虑线性约束，构建基于数据物理融合驱动线性化的理论线损快速计算模型为其中：θslack、Uslack分别为平衡节点电压相角、幅值；Ploss−φ为线路中φ相有功功率损耗；Wloss−φ为φ相有功损耗电量；Δt为时间间隔；n为与节点i相连的负荷数量。
为验证本文提出的基于三相数据物理融合驱动线性化的配电网理论线损快速计算方法的可行性和有效性，以图5所示实际42节点配电网系统为测试系统，基于Matlab平台开发算法程序，Matlab版本为R2018b。
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Fig.5 42-node test system
仿真平台的硬件环境为Intel(R) Xeon(R) Bronze 3106CPU 1.70 GHz（8 CPUs），测试系统的硬件环境为英特尔 i7-8550U CPU 1.80 GHz，16.0 GB内存，操作系统为Win10 64 bit专业版。测试系统在进行计算时，均以平启动的方式运行。算例系统均采用标幺值进行计算，其中基准容量和基准电压分别为100 kV·A和10 kV。42节点典型中压配电网系统中，节点1是系统平衡节点，节点1、2之间是有载调压变压器，节点42处有分布式光伏并网，光伏出口经换流器接入并网点。换流器采用计及限幅、死区的下垂控制，并采用本文所提的光滑化方法对非光滑控制函数进行处理。在考虑分布式光伏下垂控制的前提下，分别采用传统非线性潮流计算方法–牛顿法、本文所提线性化潮流计算方法进行测试，对比潮流方程失配量变化情况如图6所示。
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Fig.6 Power flow convergence considering droop control
由图6可以看出，在考虑分布式光伏下垂控制的条件下，传统非线性潮流计算方法在迭代2次后失配量发生振荡，潮流收敛失败；而线性化潮流计算模型在迭代1次后即满足收敛精度，完成潮流计算。在4.1节算例基础上，不考虑分布式光伏换流器的下垂控制约束，分别采用非线性潮流模型与线性化潮流模型进行计算，对比理论线损的计算精度。首先，利用非线性潮流计算模型生成数据驱动的训练样本，样本负荷等于额定负荷乘以随机系数α，α为[0.95,1.05]，为保证模型训练的精度，训练样本数须大于自变量数，该算例中自变量含109个因子，设置训练样本数为150。设置如下3组测试。M1：非线性潮流模型；M2：物理线性化潮流模型，仅采用3.1小节的物理线性化模型，不采用数据驱动补偿线性化误差；M3：数据物理融合驱动线性化模型，即本文所提的线性化方法。42节点中压配电网系统理论线损率如表1所示。由表1可知，采用数据物理融合驱动线性化模型所得理论线损率精度明显优于物理线性化模型，且与非线性模型一致，证明本文所提方法的正确性。
Table 1 Comparison of theoretical line lossrates of different methods![]()
采用偏最小二乘模型训练误差补偿模型，计算耗时如表2所示。由表2可知，150组训练样本，仅需2.59 s即可完成模型训练。
Table 2 Training time of error compensation model![]()
不同支路段的理论线损如图7所示。
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Fig.7 Comparison of theoretical line loss calculation results of different conductor sections
选取均方根误差（root mean squared error， RMSE）ERMS和最大绝对误差（maximum absolute error， MAE）EMA2个数学指标，计算式为式中：![]()
为变量xi的真值。Table 3 Theoretical line loss calculation error statistics of different methods![]()
由图7、表3可得，采用数据物理融合驱动线性化潮流模型所得的各支路段理论线损计算结果相较于纯物理线性化模型精度更高，且与非线性潮流模型所得结果基本一致。在实际工程应用中，可通过该方法定位线损异常导线段，支撑线损异常溯源。非线性潮流模型、线性化潮流模型计算效率如表4所示。由表4可知，采用线性化模型仅须迭代1次即可收敛，并且计算耗时仅为0.165 s，相较于传统非线性潮流模型，42节点三相配电网理论线损计算效率可提升约50倍。
Table 4 Number of iterations and calculation time of different methods![]()
4.3 不同负荷水平下线性化精度分析
4.3.1 算例介绍
在实际配电网系统中，系统一年中的负荷会随着季节、天气、市场等因素发生变化，对于不同负荷水平，若采用同一数据驱动误差补偿模型，则训练样本需要包含不同负荷水平下的所有负荷样本，此时样本的负荷波动区间较大，不利于数据驱动的精度提升。本文提出自适应不同负荷水平的数据物理融合驱动线性化方法，即对于不同负荷水平，选取对应时期的历史数据构造训练样本，以此来降低样本数据集中的负荷波动范围，进而提升数据驱动的误差补偿精度。同样对42节点三相配电网系统进行测试，不考虑分布式光伏的下垂控制特性。设置如下2组测试组。M1：将所有负荷构造成样本集，样本负荷等于额定负荷乘以随机系数α，α为[0.55,1.05]，训练数据驱动误差补偿模型；M2：只选取低负荷水平下的负荷构造成样本集，样本负荷等于额定负荷乘以随机系数α，α为[0.95,1.05]，训练数据驱动误差补偿模型。训练样本数均为150。待数据驱动误差补偿模型训练完成后，随机选取低负荷水平下的一组负荷进行理论线损计算测试，对比不同数据驱动误差补偿模型下的理论线损计算结果，如表5所示。
Table 5 Calculation accuracy of theoretical line loss under different data-driven models![]()
由表5可知，采用更精确的负荷训练样本，更加有利于数据驱动精度提升。该结论在实际工程中有重要意义，对于春、夏、秋、冬不同负荷水平下，分别选取各自负荷水平下的历史数据作为训练样本，得到不同数据驱动误差补偿模型。相比于仅采用一年所有的负荷数据训练得到一个补偿模型，分区间训练最终所得到的线性化模型精度更高，理论线损计算结果更加精确，对于指导配电网降损工作更加有利。且所提模型对于分布式电源规模化并网后的配电网仍然适用，只需要在构造训练样本时，将不同光伏出力下的历史数据作为输入，重新训练误差补偿模型即可。
为实现配电网理论线损快速、精确计算，本文提出一种基于数据物理融合驱动的配电网三相线性化潮流计算方法，基于此实现理论线损的快速计算。首先，基于互补约束实现有载调压变压器的调压环节建模，引入FB函数实现互补约束的光滑化；其次，针对分布式光伏的分段非光滑下垂控制函数，引入ln函数实现光滑化拟合；最后，根据稳态近似特性与一阶泰勒展开实现潮流约束的物理线性化，并利用偏最小二乘数据驱动实现误差补偿，构建基于数据物理融合驱动的理论线损快速计算方法。模型能够满足不同负荷水平下的理论线损计算需求，在保证求解精度与收敛性的前提下，具有较高的求解效率。但值得注意的是，相较于纯数据驱动模型，所提的融合驱动模型削弱了对数据样本的依赖，物理模型可保证10−3的基础线性化精度，但数据驱动部分仍然依赖较高的样本质量，当样本质量不足时，会降低线性化精度提升效果，下一步工作将重点研究样本质量不足的条件下，如何进一步提升线性化精度。
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