大开脑洞：完美的棋盘是什么样的？
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2025-01-03 18:07
北京
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本文作者萱博是自动化控制专业博士，现任职于新加坡某高校。“完美棋盘”是她五年前就曾开过的脑洞。今天奇略研究所有幸，能在此与各位读者分享萱博非凡的想象。
从AIphaGo到超现实数，围棋始终是工程师们的沙盘，数学宝宝们的游乐场，不过这些科学家研究的对象都是下棋的策略。今天就让我们来返璞归真一下，站在巨人的肩上，从数学的角度来解读一下承载这种美丽游戏的背景——棋盘吧。围棋的棋盘是一个19x19的正方形，我们叫它十九路棋盘，古代的时候也有用十七路棋盘的，小朋友在刚学棋的时候也会用到十三路和九路的棋盘。我们日常用到的围棋盘都是这些正方形的。而有些人创造性地使用地图形状的棋盘。但是在我看来，这些都不是最完美的棋盘。完美的棋盘，首先应该没有“特殊”的交叉点——每个交叉点都应该恰好与另外四个交叉点相邻，不多不少。下面这张同心圆的棋盘就可以满足此要求：上面那张同心圆的棋盘，虽然每个点确实只有四个邻点，而且没有了“角”，但还有里、外两条“边”，仍不够“均匀”。更完美的棋盘，在没有棋子的时候，应该是混沌一片，处处都是对称的。想要这样的棋盘其实很容易，只需要把这个正方形的棋盘卷一卷，卷成一个圆柱型，然后再折一折，折成一个甜甜圈就可以了。这里我们定义1=19， A=T，这样一个19路的普通棋盘就变成了18路的甜甜圈棋盘。当然，已经有会玩的棋友想在我前面了，在【LittleGolem】这个网站上，就有一场正在进行的甜甜圈围棋锦标赛，有几十位棋友参加。上图的这张棋谱是两位高水平的爱好者在甜甜圈棋谱上的实战。请读者注意，这张棋盘实际上只有中间橙色的11路，周边灰色的部分只是辅助对弈者直观理解甜甜圈棋盘的。可以看到，如果棋子下在了某一个角上，棋盘的灰色部分也对应地放上三枚棋子。假设棋子下在了边上，我们要同时在对面的边上也放上一样颜色的棋子。当然还有计算边上和角上的棋子的气的时候，要把对面的那一气也算进去。在网络围棋的时代，要实现这样一个棋盘太容易了，只需要用上面的定义，就可以把一个看上去方方正正的棋盘卷成一个甜甜圈棋盘。当然，这样还有很多不足，比如很多人会习惯性的忽略对手从棋盘的另一面搞突袭。这都是棋子间的距离不够直观导致的。也许正是因为这样的不足，所以这种理论上完美的棋盘只有少数人在玩。有一位不愿意透露姓名的西方围棋爱好者，兼能工巧匠，就做出了一个真正的甜甜圈棋盘。三十八条交叉的圆形铁丝，组成了纵横十九道的甜甜圈棋盘。这里的棋子也是特制的，在棋子中心划出十字槽，可以嵌在交叉点上。在这个甜甜圈棋盘上，里圈的格子特别小，而棋盘的纵线也会比横线短很多，因此每个格子都不再是正方形的了。棋盘格子大小不相等，给棋手直观理解棋局带来了困难。比如离某颗棋子最远的地方在哪里，这种简单的策略也需要额外的思考时间。数学上已经有前辈把我们所遇到的这些难题通通解决了，这个人就是约翰·纳什（John Nash）。你可能在经济学领域或者是在他对博弈论的贡献里听说过他的名字。你也可能看过以他的传记拍成的电影《美丽心灵》。电影里有他和好基友在校园里下围棋的场景：纳什就是这样，润物细无声地帮我们解决了上文提到的所有问题，但是却没有向大家透露，他解决的这些问题与围棋有什么关系。不过我想，懂一点围棋和数学的人看到他的嵌入理论（Nash Embedding Theorems）的时候，不难联想到围棋的棋盘。纳什的嵌入理论就是做了两件事(为了不引入更多术语，我们只讨论甜甜圈棋盘这一种情况。无需赘言，嵌入理论可以应用在更广泛的领域上)。第一件事，嵌入理论可以把平面的正方形棋盘‘折’成一个类似甜甜圈的形状，使得棋盘上的每一个格子仍然保持相等的大小。像这样保持原有图形距离关系的折叠，数学术语叫做等距映射（isometry）。这一步用到的具体定理又叫Nash-Kuiper定理，它保证了这种折叠的存在。而近年，一个名为Heava的法国数学家团队完成了这种折叠的具体构造，像是一个带有螺纹装饰的甜甜圈，见下图。实现螺纹甜甜圈的技术挺难的，需要在普通甜甜圈的基础上做数次名为“起皱”的迭代，相当于一层层地给甜甜圈刻上螺纹。甜甜圈上螺纹的作用是，使得甜甜圈棋盘上每一格的长宽都相等。下图给出了折叠前的正方形棋盘，与折叠后螺纹甜甜圈棋盘上曲线的对应关系。正方形棋盘上原本的纵线（下图左方黑色纵线），在折叠后变成了螺纹甜甜圈上的一个截面的边缘（下图右方黑色的“雪花形”曲线）。熟悉数学的读者可能已经看出来，这条雪花形曲线是一种分形（fractal）。
我们历经艰险做出了螺纹甜甜圈形棋盘，但它仍有一个明显的缺陷：不够光滑。光滑在数学上的含义是，这个曲面上每个点的切面都是可以算出来的。但是螺纹甜甜圈棋盘，首先它视觉上皱皱巴巴的我们人类不太可能用它下棋。其次，它数学上也不完美，虽然它每个点的切面都能算出来，但是某些局部的弯曲程度却是不连续的。当然，得到之前的结果已经很厉害了，手残党如我折出的棋盘有棱有角，切面都不能保证存在的呀。第二步，把甜甜圈上任意多的点放到一个高维度的欧几里得空间，并且保留了原有的甜甜圈上每个点之间的距离关系。在这个新的高维的棋盘上，棋盘的面确实是平滑的，你可以对每个点算导数算到地老天荒。而且视觉上，我们上一步被折的皱皱巴巴的棋盘，在这一步重新得以平展开了。纳什证明了对于甜甜圈这样的m=2曲面来说，寻找嵌入所需要的维度数不会超过 m^2+5m+3=17维。不要被这么高的维度吓到，这只是一个上限。可以作用于任何形状的甜甜圈上任意的点。而我们的棋盘可能更特殊，所以幸运的话可能不需要那么多维度就可以解决问题了。光说不练假把式。下面就让我们从4路开始，来体验一下这个高(维度)大(脑洞)上(档次)的甜甜圈棋盘吧。那我们先从5x5的正方形棋盘开始，给每个点都标上坐标。注意边和角的坐标都是重复的。一共有16个坐标。然后，我们算一下每两个点之间的距离，从白色方块开始我们有可能走出并，尖，单关跳，小飞和象步。但是大飞和拆二就不行了。然后，我们拿出一个四维的立方体。把立方体的 16个顶点依次标上原来的坐标。一个闪闪发光的四维甜甜圈棋盘就做好了。验证一下，在四维立方体上，同样任意两点之间的距离，同样起于白色方块我们可以得到和平面上一样的结果。额…… 这个问题，我也遇到困难了。刚才我示范的是四路棋盘，但更高路数的棋盘，我也不知道答案。如果4路棋盘需要4维空间实现嵌入，那么5路棋盘需要几维空间呢？17路，19路棋盘，是不是就需要用到最高的17维才能嵌入了呢？我在这里抛砖引玉，希望读者中有大牛能完美地解答这个开放性问题。不过，无论是这个完美的棋盘是需要嵌入四维空间，还是十七维空间，想在这个棋盘上下棋，首先我们得进入高维空间呢。读者朋友们，如果做出了这张完美棋盘，那我们就在高维空间见面下棋吧！
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