数学直觉

8.1 数学中的证据

我们是如何知道数学真理的？虽然对这种知识施加因果性要求可能不太合理，但我们仍希望能对这一问题得到一个具有启发性的回答（参见第1.5节和第7.1节）。

一个答案是，数学知识在广泛意义上是经验性的（参见第6章）。但这一回答在解释实际的数学实践时显得力不从心。关于数学经验主义最复杂的形式是奎因（Quine）的观点，他将数学的认识论地位与理论物理学进行了比较。

然而，这种比较是有问题的。初等数学似乎享有一种比理论物理更为强大且更直接的证据形式，而理论物理常常依赖于脆弱且间接的证据。

我们现在将更仔细地审视一些关于数学知识的观点，这些观点并不将其强烈地归类为经验性知识。在我们讨论康德（Kant）、希尔伯特（Hilbert）和布劳威尔（Brouwer）时提到的一种选择是，某种形式的数学直觉（mathematical intuition）为某些数学真理提供了证据。这一思想将成为本章的主要讨论焦点。

当然，还有其他选择，这将在后续章节中讨论。这里简要概述可能会有所帮助。根据弗雷格（Frege）及其追随者的观点，逻辑——或者至少广义的概念性考虑——为数学中的证据提供了来源（参见第9章）。数学认识论中的另一个重要问题是外推（extrapolation）。这一问题在集合论推理中扮演了重要角色，其中一些关于收集对象的非常自然的想法从其最可靠的应用领域（有限集合的应用）被抽取出来，并扩展到巨大的无限领域（参见第10章）。最后，罗素（Russell）和哥德尔（Gödel）从自然科学中寻找灵感，在自然科学中，理论假设可以通过其组织、解释和预测更基本的观察能力来得到支持。这两位思想家主张，类似的考虑可以在数学中提供证据，包括针对数学更高层次的内容（参见第12章）。

在讨论数学中证据的各种可能来源时，需要记住两个要点。

首先，一种形式的证据的存在并不排除其他形式证据的可能性。正如我们将看到的，哥德尔是一位关于数学证据的多元论者，他捍卫了数学直觉、概念分析和间接解释性证据在数学中的作用。

其次，证据可以存在不同的程度。虽然初等数学可能享有一种特别强大且直接的证据形式，但对于高级数学的某些部分，可能只有更为微弱的证据形式。例如，帕森斯（Parsons）认为确实存在直觉证据这一概念，但这种证据并未超越有限数学的某些部分。

简而言之，我们应该认真考虑一种对数学证据的概念，它既是多元的（pluralist），又是渐进的（gradualist）。

8.2 数学直觉的概念

直觉是一个多义的术语。它经常被用来表示一种直接的、无需理论支持的观点。哲学家有时会以这种意义诉诸直觉。在语言学中，这种直觉更加普遍且争议较少，例如对于语法性句子的即时反应。请看以下两句著名的例子（不符合语法的句子以“*”标注）：

1. I wish/hope that John will leave.
   我希望/盼望约翰会离开。
2. *I wish/hope John to leave.
   *我希望/盼望约翰离开。

另一种直觉的概念是直接的理性洞察。这种概念在理性主义者中占有重要地位，例如笛卡尔提到的“理性之光”，这被认为是可信的并作为知识的来源。本章不涉及这两种直觉的概念。

相反，我们将重点关注康德和受他启发的其他思想家使用的一种直觉概念。特别是，希尔伯特提出我们对他所谓的“希尔伯特笔画”具有直觉（参见第4.4节）。由于这些笔画被理解为类型而非实例，它们是抽象的，因此不能严格意义上被感知。尽管如此，希尔伯特仍然认为我们通过一种数学直觉的方式，可以广泛地以感知方式接触到这些类型。本章还将讨论近期为这一观点辩护的尝试。

注释说明

1. Mathematical Intuition（数学直觉）：指对数学对象或真理的直接认识能力，通常用于支持数学柏拉图主义或直觉主义的观点。
2. Empiricism（经验主义）：在哲学中，指通过经验（观察和实验）获得知识的理论。这里的数学经验主义与奎因的自然主义联系紧密。
3. Extrapolation（外推）：一种从有限情况推断出一般性结论的过程，在数学集合论中尤为常见。

8.3 关于数学直觉的怀疑

数学直觉为数学提供证据的观点在近期哲学中遇到了相当大的怀疑。

一个原因是，这种证据可能显得无关紧要。诚然，数学家过去经常诉诸直觉证据。例如，中值定理曾被认为是直观显然的：任何连续函数，其值在某点低于某一数值，在另一点高于该数值，那么必然在某点取该数值（参见第2.1节）。但波尔扎诺表明可以用更好的证明方法取代直觉，将其替换为严格的分析性论证。这种发展在整个19世纪的分析学严谨化中持续存在。对直觉的诉求逐渐被分析性论证，最终被集合论论证所取代。

然而，这种发展最终只是将认识论问题转移到了集合论层面。直觉是否可能在集合论中发挥作用？哥德尔曾有著名的观点：

“尽管它们远离感官经验，我们确实拥有某种类似感知的能力，这种能力也适用于集合论对象的感知。如同集合公理本身被迫使我们承认它们是真实的那样，我看不出为什么我们对这种感知的信心会低于对感官知觉的信心。”（1964年，第483-484页）

然而，我们是否真的拥有一种感知能力，能够接触到现代集合论所假定的那些巨大的无限集合？集合论的公理是否真的“迫使我们接受它们”？许多思想家将此类主张视为不可置信。因此，对数学直觉的怀疑的第二个理由是，这种能力似乎神秘难解。

不能否认的是，某些诉诸直觉的观点可能仅仅是“看起来如此”的故事，缺乏解释能力。例如，罗素关于“与共相的接触”（acquaintance with universals）的说法就是一个例子。在某一阶段，罗素认为数学命题关注的是抽象的共相。例如，“2+2=4”这个命题陈述了“2”这一共相与“4”这一共相之间的关系（1912年，第103页）。这引出了一个问题：我们如何获得对这些共相及其相互关系的知识？罗素的回答是，我们通过“与共相的熟识”（knowledge by acquaintance）获得这种知识，不仅包括“感官性质”的熟识，还包括“空间、时间、相似性以及某些抽象逻辑共相的关系”。他总结道，“我们对真理的所有知识都依赖于我们的直觉知识”。

但罗素并未详细说明这种熟识如何运作。与感官性质不同，罗素认为抽象的逻辑共相并未在感官数据中得以体现。那么，我们如何接触到它们？这是某种特殊心智能力的工作吗？罗素没有给出恰当的答案，而是简单地假定了某种与共相的熟识形式，却未提供实际解释。

总之，为了具有说服力，数学直觉的解释必须说明为什么这种直觉既不无关紧要，也不神秘难解。

以下是您提供的几页内容翻译，按照顺序进行：

8.4 数学直觉的近期辩护

佩内洛普·玛迪（Penelope Maddy）认为，我们能够感知不纯的集合，例如一盒鸡蛋中十二个鸡蛋的集合。她的论点显然对集合论的认识论具有潜在的相关性。她非常谨慎地确保她描述的感知形式具有科学上的可接受性。核心思想是，我们具有一种能力，可以将许多对象表示为一种统一的形式。这种统一性（或集合）位于其组成部分（或元素）所在的地方，从而确保具体对象的集合本身也是具体的。玛迪甚至提出了一些关于支持这种具体集合感知的神经机制的假设。

正如所指出的，哥德尔对一种形式的集合感知抱有很高的期望。相比之下，玛迪关于集合感知的解释范围要有限得多。由于被视为一个整体的对象需要通过感知被赋予，在她的解释下，不纯集合无法被感知，因为它们不包含可感知的对象。同样，也不清楚对具体对象集合的集合的感知将如何运作。（例如，感知所提到集合的幂集会是什么样子？）玛迪也未声称我们可以感知无限集合，即使当这些集合是“不纯的”（因此是具体的）。

与玛迪的自然主义方法相反，查尔斯·帕森斯（Charles Parsons）提出了一种更广义的康德式数学直觉概念。他主张，这种直觉向我们呈现了一种可感知的类型，其方式“与具体对象在感知中的呈现方式极为相似”；因此，他称这种直觉为准感知（quasi-perceptual）（帕森斯，1980，第162页）。如果正确的话，帕森斯的主张对于有限数学的认识论意义重大。正如希尔伯特所认识到的，有限数学可以被理解为涉及诸如希尔伯特笔画之类的语法类型及其基本语法性质（参见第4.4节）。一种直观的接近这些对象的方式因此可以为初等数学的这一部分提供一种特别强大且直接的证据形式——这与可用于集合论的更微弱的证据形式形成鲜明对比，而有限数学可能会被化约到集合论。

需要注意的是，帕森斯通过捍卫一种非具体对象的直觉形式超越了玛迪。然而，正如我们将看到的，他的理论强调了语法类型至少需要是“准具体的”（quasi-concrete），即它们在时空中有典范的实例化。

为什么认为我们拥有类型直觉，而不仅仅是对应实例的感知？帕森斯的论证试图表明，类型在我们的感官经验中起着重要作用。我们对类型的识别往往比对对应实例的识别更清晰、更明确。例如，考虑感知“狗”这个单词的情景。通常，我们不会注意到该单词被发音时的语音重音、字体、书写形式，或者区分同一个单词实例的其他属性。最清楚、最明确地印在我们脑海中的只是一个音位或拼写类型。在这种情况下，我们的经验似乎指向的是一种类型，而不是一个具体实例。

这是对主观感知方式的一个合理描述。然而，人们可能仍然担忧，这种形式的直觉会显得神秘。这是否需要一种完全新的现实接近方式，而不仅仅是我们熟悉的感觉？帕森斯的回应试图“消除广泛存在的印象，即数学直觉是一种‘特殊的’能力，可能仅在做纯数学时发挥作用”（1980，第154-155页）。借用胡塞尔的一个想法，他提出，直觉总是“基于”普通的感觉或想象。也就是说，我们感知或想象某种具体的事物，这构成了我们直觉的更抽象对象。通过将直觉与我们明确拥有的能力联系起来，没有必要引入任何神秘的“特殊能力”。

数学直觉与普通感知之间的一个区别在于，前者是“有根基的”（founded）。这种区别对于数学直觉可能涉及的对象具有重要意义。为了实现这种“根基”，直觉的对象必须是准具体的（quasi-concrete）。正是这一点允许直觉“建立在”对对应实例的感知或想象之上。因此，通过要求数学直觉是“有根基的”，帕森斯也限制了其范围。我们无法拥有对不具有时空中的实例（tokens）的抽象对象的直觉，例如数字或纯集合，这些对象并非准具体的，而是纯粹抽象的。

另一个区别是，数学直觉比普通感知更依赖概念化。正如帕森斯所观察到的，“[我们所直觉到的]取决于主体带到情境中的概念”（1980，第162页）。例如，没有至少对类型和实例之间的区别以及相关类型如何被个体化的暗示性掌握，我们无法直觉到语言类型。因此，数学直觉需要比普通感知更高的复杂性和训练。这一观察在一定程度上解释了为什么我们的数学直觉能力远不如我们普通感知能力那样显而易见。如果缺乏获得相关概念所需的训练，我们就无法享受这种直觉的益处。

帕森斯从康德和希尔伯特中汲取灵感，而达格芬·福勒斯达尔（Dagfinn Føllesdal）则试图从胡塞尔出发，发展一种现象学的数学直觉概念。福勒斯达尔首先让我们思考贾斯特罗（Jastrow）著名的“鸭兔图”，这张图可以被看成是一只鸭，也可以被看成是一只兔子，取决于我们聚焦于什么。这幅图表明，“在特定感官情境中，我们可以体验到多个不同的对象：一只鸭、一只兔子，但也可能是兔子的一只耳朵、一只眼睛，甚至是某个对象的前侧面”（Føllesdal，1995，第429页）。我们的感知是一个积极的过程，我们选择将注意力集中在什么上，并积极地解释传入的信息。这种感知的主动特性表明，我们同样可以选择关注一个对象更抽象的特性，例如它的形状。当我们站在一棵树前，树形状优美，我们可以选择专注于其三角形状，从而获得关于三角性的直觉。

福勒斯达尔的直觉解释与帕森斯的理论有许多共同点。两者都强调这种直觉是“建立在”对某些实例的感知或想象之上的；两者的理论都与类型和实例之间的区分密切相关；两者也都承认直觉对概念和概念化的依赖性。

但福勒斯达尔比帕森斯更强调我们对所感知或直觉到的事物进行结构化的贡献。这一区别在我们考虑比三角性更抽象的概念时尤为明显。例如，考虑拓扑属（topological genus）的概念，它可以被看作一个对象拥有的孔的数量。一个例子可以帮助传达这一想法。有把手的杯子表面上比甜甜圈更类似于玻璃杯：杯子和玻璃杯都是作为饮用器皿设计的。但我们可以运用想象力，探索如何以连续的方式（如通过压缩、拉伸和扭曲，而不撕裂）将一个对象转换为另一个对象。由于杯子和甜甜圈共享单一孔洞的特性，我们可以想象将前者连续转换为后者。相反，玻璃杯不能连续转换为杯子，因为玻璃必须在某个点被撕开以形成把手。通过一定的训练，我们可以逐渐感知到一个高度抽象的属性：杯子与甜甜圈的共享特性，而不仅是杯子在表面上更类似于玻璃杯的事实。

让我们总结一下。我们发现了一个合理的论点，即关于数学对象（无论是玛迪认为的不纯集合，还是帕森斯的准具体类型）的广义感知来源是存在的。如果可以接受，这种证据来源将在初等数学的认识论中起重要作用。然而，我们也发现了理由质疑这种广义感知证据是否能为希尔伯特所谓的“无限数学”提供有力支持。为了为高级数学找到证据，我们似乎需要在其他地方寻找。

在第8.1节中提到了两个选项。我们可以分析数学概念，例如集合的概念；或者我们可以通过数学公理的间接证据来寻找支持，例如这些公理组织、解释和预测更基本观察的能力。这些选项将在第10章和第12章中分别展开讨论。

8.5 数学直觉与同一性标准

帕森斯（Parsons）和福勒斯达尔（Føllesdal）提出的数学直觉理论从感知主体的角度来看似乎非常合理。但仍然存在一个悬而未决的问题：这些理论是否能够以一种满足“整合性挑战”（integration challenge，参见第1.5节）的方式解释我们对抽象对象的接触？

让我们假定我们能够感知到一个球是圆形的，以及一些弹珠的数量是五个。这意味着特性和简单的结构特征可以在我们的感知中出现。但这并不能说明我们可以感知到抽象对象。在上述例子中，感知的适当对象是球和弹珠，圆形和“五”只是这些对象的属性，并不是感知的适当对象。数学直觉的概念提出了一种可能性，即存在一种准感知行为（quasi-perceptual acts），其中这些属性和结构特征作为感知的适当对象，并因此也成为其他命题的主语。例如，一个圆形与立方体形状的区分就可以被视为这样的直觉。

将属性（predicates）转化为感知的适当对象所需的转变，是哲学家们称之为“物化”（reification）的一个实例，即将一个元素视为一个对象。在有对象存在的任何地方，提出关于同一性和区别性的问题是有意义的：这个对象与那个对象是否相同？（正如奎因著名的表述，“没有同一性就没有实体。”）这是一个重要的转变。在属性被物化之前，关于属性的同一性和区别性的问题并不是必需的，它们只是用于描述用途。例如，我们可以感知到一个球是圆形的，而不去判断这个圆形是否与我们感知的另一个对象的某些其他属性相同（比如一个好的但并不完美的球体近似）。一旦圆形被视为一个对象，这种中立性就不再适用。

关于属性的同一性和区别性的问题依赖于什么？世界需要以怎样的方式存在才能使相关的同一性陈述成立？同一性标准（Criteria of identity）旨在系统化我们对这些问题的回答。基数属性，例如“四”的属性，提供了一个很好的例子。这些事物的基数是否与那些事物的基数相同？一个合理的回答是：只有当前者的事物与后者的事物之间可以建立一一对应时，答案才是“是”。也就是说，休谟原则（Hume’s Principle）可以被合理地视为基数属性的同一性标准（参见第2.4节）。

现在，我们可以将上述讨论与本书中另一个突出的主题联系起来，即抽象化（abstraction，参见第2.4节）。我们首先注意到，我们感知和想象对象具有各种属性，并处于各种关系之中。接着，我们提出了一个问题：这些属性如何被视为自身权利中的对象？普遍认为，为了确定何时两个属性的实例可以被视为同一属性的实例，我们需要一个同一性标准。但是，确定两个对象何时被视为实例化相同的属性，本质上只是为对象之间提供了一个等价关系——一种反射性、对称性和传递性的关系。本章的讨论表明，我们对这种等价关系的把握可以是隐性的和感知性的，而非明确的和概念性的。

在我们依赖感知来判断两个对象是否处于等价关系的情况下，谈论一种准感知模式（quasi-perceptual mode）来接触由此产生的属性是合理的。但在其他情况下，感知几乎没有作用。在下一章中，我们将广泛探讨等价关系如何作为同一性的标准，支持我们对抽象对象的理解。

补充阅读建议

本章讨论的数学直觉方法清晰地呈现在以下文献中：

• 玛迪（Maddy, 1990，第2章）；
• 哥德尔（Gödel, 1964）；
• 帕森斯（Parsons, 1980）；
• 福勒斯达尔（Føllesdal, 1995）。

帕森斯（2008，第5章）对其方法进行了更完整的阐述；蒂森（Tieszen, 1989）对胡塞尔方法的发展作出了更全面的解释。

注释

1. 参见 Maddy（1990，第2章）。当一个集合的传递闭包中包含非集合时，该集合被称为不纯集合。
2. 他还引用了哥德尔的观点，哥德尔的数学直觉观点显示受到胡塞尔的影响。
3. 如果您无法想象这个过程，可以通过搜索“animation, cup, donut”来感知这种转换。