数学是语言的语法吗？
如果数学的表面内容仅仅是一种虚假的外观，那么就必须可以在不利用这种“伪内容”的情况下令人满意地构建数学。然而，主张 II 的错误更加清楚地体现在以下论证中：
关于符号使用的约定仅在相对意义上才是无内容的，即它们只在不为理论增加任何超出其可接受性要求的内容时才是无内容的。例如，如果基于某些物理操作的关联性（如某些操作的结合律）的经验已知事实，引入了关于省略括号的约定，那么从这一约定可以得出这一操作的关联性，即一个经验命题。如果基于一致性引入某个数学符号的约定，情况也类似。通常，这样的约定虽然不暗含自身的一致性，但仍然包含某些仅稍弱的命题，即实质上与支持其引入的事实相同的一些事实。一般而言，自然规律可以被解释为其可接受性来源于该自然规律的约定。可以反驳说，为了推导与符号处理相关的经验可验证的一致性事实，数学公理本身不足以支持，因此也不足以支持相关的约定 X。然而，回答是，没有人会认为自然规律（如静电学的基本定律）是无内容的，因为它只有在与其他独立已知的规律（如关于物理空间和力学的规律）结合时才有可验证的后果。此外，还可以反驳说，一致性陈述因此是无内容的，因为，与自然规律不同，所有关于单个证明形式的实例（即所有可观察的内容）可以在约定 X 被提出之前直接从公理中推导出来。对此的回答是，理论中的形式推导过程本身就是一种观察。因此，这一反对意见与其说一致性无内容，不如说它指出了一种自然规律可以在不依赖其帮助的情况下通过直接观察确定的单个实例。 语法方案得以实现（如上文主张 I 的意义）仅基于以下两个条件：(i) 真实的数学命题来源于相对少量的原始命题；(ii) 它们在某种意义上可与其他命题分离，因为没有综合（经验性）命题从中推导出来。因此，如果我们有一种物理感知，其对象具有类似的规律性，并且与其他感知的对象类似地分离，我们也可以将基于这种感知的命题解释为无内容的语法约定，并不将任何事实或对象与它们或它们的组成部分相关联。数学直觉与物理感知之间的相似性非常显著。将“这是红色”视为直接数据是任意的，而将表达推理规则（如完全归纳法或可能从中推导出的更简单命题）的命题视为非直接数据却并非如此。这一区别在此处相关的范围内，仅仅在于第一种情况涉及概念与特定对象之间的关系，而第二种情况涉及概念之间的关系。此外，还有大量独立的数学直觉印象，尽管对于现阶段的科学来说，少量就足够了。可以说，与其他科学不同，数学经验并不是其断言所涉及的对象。然而，实际上，经验也不是大多数其他科学的对象。例如，在幻觉中看到的动物不是动物学的对象。另一方面，一个一般的数学定理在某种意义上具有与特殊情况相关的数学经验作为其对象。因此，再次表明数学与其他科学之间并没有本质区别。 即使数学被解释为语法性的，这也不会使其在“约定性”（即“任意性”）上比其他科学多一点。根据语法观，符号使用规则就是其意义的定义，因此不同的规则仅仅引入不同的概念。但概念的选择在其他科学中同样是任意的。然而，除此之外，一切基于定义可以断言的内容在数学中与其他科学中一样是客观决定的。从这一角度看，数学的内容体现在定义隐含地断言了被定义对象的存在上。特别是，如果通过规则引入一个符号，这些规则规定包含该符号的句子是真实的，那么从这些规则可以得出与假设存在满足这些规则的对象同样的结论。只有在特殊情况下，如显式定义中，这种假设的一致性才是微不足道的。 如果有人主张数学命题没有内容，因为它们本身并未暗含关于经验的任何信息，那么回答是，自然规律也是如此。没有数学或逻辑的自然规律同样几乎不暗含任何关于经验的信息，而没有自然规律的数学也是如此。数学至少在大多数应用中确实为自然规律的内容增加了某些内容，这一点从以下例子中可以看出：有些非常简单的规律涉及某些元素（例如电子管反应的规律）。这里，数学显然增加了有关如何连接某种方式的电子管系统的普遍规律。后者规律并不包含在前者中，从以下事实中可以看出：
即使不考虑数学公理可能因其与经过良好验证的自然法则结合而导致的错误经验后果被证伪的可能性，其仍然可以通过由其推导出的矛盾被证伪。如果矛盾未被视为证伪，而仅被视为该“约定”不合时宜的证明，同样的处理方式也适用于自然法则。这些法则也可以被解释为约定，一旦遇到反例便变得“不合时宜”。
请注意，不一致的数学公理也会导致错误的经验性命题，因此，在发现矛盾之前，它在应用中会像错误的自然法则一样发挥作用。如果经常忽视数学公理被证伪的可能性，这完全是由于数学直觉的说服力。然而，语法观的起点恰恰是拒绝数学直觉。从数学公理的可证伪性可以推断出，如果从实证主义的观点出发，在没有偏见的情况下研究数学，那么正确数学对象的一些内在存在应当被承认，与不一致的数学对象形成对比，就像正确物理学中的对象一样。
这些对象，例如，无穷集或属性的属性，具有特定的性质，即不同于其他科学的对象。需要注意的是，这些数学对象和事实无法被消除（例如，几何中的无穷点可以被消除），因为始终存在关于它们的原始数学术语和公理，无论是在科学语言中还是在元语言中。“公理”在这里指的是基于其直观证据或其在应用中的成功假设的命题。最不可能的是，实证主义者会将数学对象视为仅具有某种“伪存在”，因为两者之间的主要区别在于它们不同的直观特性，而它们在科学形式主义中扮演的角色非常相似（至少与更抽象的物理对象，例如力场、原子等相比）。因此，实证主义者基于他们的观点应当采取的态度是，将数学对象和公理视为科学中不可约的假设，正如场的假设及其治理法则一样。
任何逻辑真命题都不存在被排除的可能状态，而命题的内容似乎恰恰在于其排除某些可能性的事实。 在经验命题中，逻辑概念的使用似乎不属于命题的主题，而是表达的手段。然而，如果一个命题已经因表达手段的属性而为真，它既不能说明主题，也不能说明表达手段，否则它们就不是表达手段，而是主题。 句子的意义由语义规则定义，这些规则决定在什么情况下一个句子可以被断言。在某些极限情况下，这些规则可能导致句子在所有情况下都可以被断言（例如，“明天会下雨或不会下雨”）。这样的句子是真实的，但没有内容。这类句子的否定已经因其结构而被排除为不正确，与其意义无关，正如不符合语法规则的句子被排除一样，因此逻辑可以被视为语法的一部分。
