数学原则
作者：波特兰·罗素
译者：贾可
第二版序言
《数学原则》出版于1903年，其中的大部分内容完稿于1900年。在随后的几年中，这本书中涉及的主题得到了广泛的讨论，数理逻辑的技术同样得到了极大的提高；虽然出现了一些新问题，但一些老问题已经得到了解决，至于其它的问题，虽仍有争议，却已然呈现出全新的形式。在这种情况下，试图修正本书中的这里或那里似乎是徒劳的（useless），因为这本书不再代表我当前的观点。本书持有的这些兴趣是历史性的，且体现于它所代表的主题发展的某个阶段。因此，我并未（对上述的问题）做出修正，而是努力在这篇导言中指出，在哪些方面我坚持原书中陈述的观点，以及在其它哪些方面，后续的研究（在我看来）已经表明它们是错误的。
下文中的基本论点——即数学与逻辑是相同的（identical）——是一个我从未发现任何修正理由的观点。起初，这种观点并不受欢迎，因为逻辑在传统意义上与哲学以及亚里士多德（Aristotle）联系在一起，因此数学家觉得（逻辑）不关他们的事，而那些自诩为逻辑学家的人则厌恶被要求掌握一门全新且非常困难的技术（指数学，译者注）。然而，如果这种感觉无法在更严重的质疑理由中获得支持，它们将无法具有持续的影响力（lasting influence）。从广义上讲，这些理由具有两种相反的类型：其一，数理逻辑（mathematical logic）中存在某些悬而未决的难题，这些难题使得数理逻辑不像数学（被认为的）那样确定；其二，如果数学的逻辑基础得到承认，那么这证明（或倾向于证明）许多工作，比如乔治·康托的工作（由于它与逻辑共持的未解决的悖论，许多数学家对其持怀疑态度。）这两条截然相反的批评路线是由希尔伯特（Hilbert）所领导的形式主义者与布劳威尔（Brouwer）所领导的直觉主义者代表的。
数学的形式主义解释绝不是什么新玩意儿，但为了我们的目的，可以忽略它的旧形式。如希尔伯特所提出的，例如在数域中（sphere of number），形式主义在于不去定义整数，而主张关于它们的公理使得通常的算术命题的演绎成为可能。换句话说，除去它们在被列举的公理中的某些性质外，我们并不赋予符号0、1、2……任何含义。因此，这些符号被视为变元。当0被给定时，其后的整数可被定义，但0只是具有指定特性的某种东西。相应地，符号0、1、2……并不代表一个确定的序列（definite series），而是任意序级（progression）。形式主义者忘记了数不仅在求和（sum）中需要，在计数（counting）时同样需要。像“有12个使徒（Apostles）”或者“伦敦有6000000个居民”这样的命题无法在他们的体系中得到解释。因为符号“0”可以用来表示任何有穷整数（finite integer），而不会因此使希尔伯特的任何公理为假；由此，任何数字符号（number-symbol）都将变得无限模糊。形式主义者就像一位陶醉于使自己的手表看起来漂亮的表匠，以至于忘记报时才是它们的目的，因而未能赋予手表任何功能。
形式主义立场中还有另一处困难，即关于存在的。希尔伯特假定，如果一组公理不会招致矛盾，那么一定有某组对象满足这组公理；相应地，他并没有通过提供实例来寻求建立存在性定理，而是致力于证明该公理的自洽（self-consistency）。对他来说，通常所理解的“存在（existence）”是一个不必要的形而上学概念（unnecessarily metaphysical concept），应被不矛盾的精确概念所取代。在此，他再次忘记了算术具有实际的用途（practical uses）。能够制造的不矛盾的公理系统是不受限的。我们对于造成了普通算术的公理的特殊兴趣的原因在算术之外，且与数之于经验材料（empirical material）的应用有关。这种应用自身并不构成逻辑或算术的一部分；然而，一种使其先天不可能（a priori impossible）的理论是没有正确可能的。数的逻辑定义使得它们与可数对象的实际世界的联系可以理解（intelligible）；形式主义的理论则不然。
直觉主义理论则是一个更严肃的话题。该理论最初由布劳威尔提出，后期的代表是威尔（Weyl）。有一种与该理论相关的哲学，出于我们的目的在此忽略；我们只关心它与逻辑与数学的关系。此处的要点在于：除非存在某种决定替代物的方案，否则（直觉主义）拒绝将一个命题视为非真即假的。例如，这破坏了实数多于有理数的证明，以及（在实数序列中）每个序级都有极限的证明。因此，几个世纪以来都被视为十分可靠的大部分分析都变得值得怀疑。
与这种理论相关的是所谓有限主义（finitism）的学说，该学说质疑涉及无穷集合（infinite collections）或无穷序列（infinite series）的命题；理由是这些命题不可验证。该学说是彻底经验论（thorough-going empiricism）的一个方面；如果被认真加以对待，其后果势必要比其倡导者所认识的更具破坏性。例如，尽管众人（men）构成一个有穷类（finite class），但从实际与经验上看，人类的个数是无法穷举的，就像他们的个数是无穷的一样。如果有限主义者的原则被承认，我们就无法对一个这样的集合做出任何——像是“所有人都是会死的（All men are mortal）”——的陈述；这样的集合是根据其性质定义的，而不是通过实际提及所有成员定义的。这将彻底清除所有科学以及数学，而不仅限于直觉主义者认为有问题的部分。然而，灾难性的后果不能被视为一种学说错误的证明；如需对于有限主义学说证伪，只能通过一种完整的知识理论。我不认为它是正确的，但我也不认为能够简单明了地反驳它（short and easy refutation）。
约根森（Jörgensen）在其《形式逻辑论文》第三卷第57-200页中，对于数学与逻辑是否相同（identical）的问题进行了精彩而全面的论述。读者将会发现，对于反驳这种观点的说法，他进行了冷静的检查，其结论大体上与我本人的相同——即尽管近年来对于拒绝将数学简化为逻辑给出了诸多新的理由，然而，这些理由中没有一条在任何程度上具有决定性。
这使我想起了构成《原则》开篇第一句话的数学定义。在该定义中，各种变化都是必要的。首先，“
接下来，我要讨论一个更为严肃的话题，即“与都不包含除逻辑常项以外的任何常项”的说法。我将暂且推迟讨论何谓逻辑常项（logical constants）。假定这点为已知，我目前的观点是，不含非逻辑常项虽然是一个命题的数学特征的必要条件，但并不是一个充分条件。其中最好的例子可能是关于世界上事物个数的陈述。以“世界上至少存在三个事物”为例。这相当于：“存在对象、、以及性质、、，使得而非具有性质，而非具有性质，且并非具有性质。”这种说法可以通过纯粹逻辑术语加以陈述（enunciated），并且可以从逻辑上证明它适用于三阶类（classes of classes of classes，即由类构成的类构成的类，译者注）：事实上，（这个类）中至少存在4个（对象），即使宇宙不存在。因为在这种情况下存在一个类，即空类；两个二阶类（classes of classes），即没有类的类（class of no classes）以及唯一成员是空类的类（class whose only member is the null class）；以及四个三阶类（four classes of classes of classes），即空的三阶类，唯一成员是空的二阶类的类，唯一成员是唯一成员是空类的类，以及作为后两个类之和的类。然而，在较低的类型中（in the lower types），即个体的类型（that of individuals），类的类型（that of classes），以及二阶类的类型中（that of classes of classes），我们无法从逻辑上证明至少存在三个成员。从逻辑的本质上来说，这种情况是可预料的；因为逻辑的目的旨在独立于经验事实（independence of empirical fact），而宇宙的存在是一个经验事实。诚然，如果世界不存在，逻辑著作（logic-books）也不存在；但逻辑著作的存在既不是（存在）逻辑的前提之一，其本身也无法从任何有权出现在逻辑著作的命题中推出（be inferred from）。
在实践中，绝大部分的数学（a great deal of mathematics）在无需假定存在任何事物的前提下都是可能的。所有有穷整数与有理分数（rational fractions）的初等算术都可以被构造；不过，任何涉及无穷整数类（infinite
classes of integers）的问题都将变得不可能。这将实数（rea numbers）与整个分析（whole of analysis）排除在外。为了将它们包含在内，我们需要“无穷公理（axiom
of infinity）”，该公理强调如果
上述论证有赖于类型学说（doctrine of types），虽然其在《原则》中以粗略的形式出现，但尚未达到表明无穷类在逻辑上无法被证明为存在的阶段。《原则》最后一章（第497-498页）中提到的存在定义在我看来不再有效：现在应该说，除去某些例外，这些定理是可以通过逻辑术语来阐明的命题的示例，但只能根据经验证据加以证明或推翻。
另一个例子是乘法公理（multiplicative axiom）。这条公理断言，给定一组互斥类（set of mutually exclusive classes），其中没有一个为空，则至少存在一个类是由该组中的每个类的代表（one representative from each class of the set）组成的。这条公理的真伪无人知晓。很容易想象使之为真的宇宙，而无法证明存在使之为假的宇宙；然而，同样无法证明（至少我是这样认为的）不存在有可能使之为假的宇宙。直到《原则》出版一年后，我才意识到这条公理的必要性。因此，这本书中包含一些错误，例如在第119小节（第124页）中断言，无穷的两种定义是等价的，这点只有在假定乘法公理的情况下才能证明。
这样的例子——有可能会无限增加——表明一个命题有可能满足《原则》开篇给出的定义，却仍可能无法进行逻辑或数学的证明或证伪（proof or disproof）。所有数学命题都包含在上述定义中（在一些小的修正下），但并非所有包含其中的（命题）都是数学命题。为了使一个命题隶属数学的范畴，它必须具有进一步的性质：根据一些人（指维特根斯坦）的观点，它必须是“重言式的（tautological）”，根据卡尔纳普（Carnap）的观点，它必须是“分析的”。给出该特性的精确定义绝非易事；此外，卡尔纳普还证明了有必要区分“分析的（analytic）”与“可证明的（demonstrable）”，后者是一个略显狭窄的概念。一个命题究竟是“分析的”还是“可证明的”取决于我们赖以开始的前提装置（apparatus of premisses）。因此，除非我们对于可接受的逻辑前提给出某种标准，否则关于何谓逻辑命题的整个问题在相当大程度上就是任意的。这是一个非常不让人满意的结论，且我不认为这就是最终的结论。然而，在进一步讨论这个问题之前，有必要讨论“逻辑常项”的问题，这个问题在《原则》首句的数学定义中起着至关重要的作用。
关于逻辑常项有三个问题：第一，存在这样的东西吗？第二，它们是如何定义的？第三，它们出现在逻辑命题中吗？在这些问题中，第一与第三个问题是非常含糊的，但稍加讨论就可以使它们的各种含义变得清晰起来。
第一，存在逻辑常项吗？在这个问题的一种意义上，我们可以给出完全肯定的答案：在逻辑命题的语言或符号表达式中，存在具有恒常作用的词语（words）或符号（symbols），即无论其出现在哪里，对于命题的含义都提供相同的贡献。例如，“或（or）”、和（and）”、非（not）”、“如果-那么（if-then）”、空类（null-class）”、“0”、“1”、“2”……困难在于，当我们分析这些符号的表达式出现于其中的命题时，我们会发现它们与所讨论的表达式没有对应的成分。在某些情况下，这是显而易见的：即便最为狂热的柏拉图主义者（Platonist）也不会假定完美的“或（or）”存在于天堂，而地球上的“诸或（or’s）”是其天堂原型的不完美例示（imperfect copies）。然而，在数的情况中，这点就远没有那么明显。始于算术神秘主义（arithmetical mysticism）的毕达哥拉斯学说，对于所有后世哲学与数学的影响远比人们普遍意识到的更为深远。数是不变（immutable）且永恒的（eternal），就像天体一样；数是可以理解的（intelligible）：数的科学是（理解）宇宙的钥匙。上述最后一条信念至今依然误导着数学家与教育委员会（Board of Education）。因此，说数字是没有任何意义的符号似乎成了无神论的一种可怕的形式。在我写作《原则》时，我与弗雷格（Frege）仍然相信数的柏拉图式的实在（Platonic reality of numbers），在我的想象中，这样的实在位于永恒的存在域中（timeless realm of Being）。这是一种令人欣慰的信念，令人遗憾的是，后来我放弃了这种看法。现在，必须来说一说我是如何抛弃它的。
在《原则》的第四章中，我写到“出现在一个句子中的每个词语都一定有某种含义”；并且，“凡是可能的思想对象，或可能出现在任何或真或假的命题中，或可被计数为一（的东西），我都称之为一项（term）……一个人、一个时刻、一个属、一个类、一个关系、一个臆想中的怪兽、或者任何可被提及的事物，都一定是一项；否认某某事物是一项必然是错误的。”事实上，这种理解语言的方式是错误的。一个词语“一定有某种含义”——当然了，这个词不是昏话（gibberish），而是具有可供理解的用途——如果被孤立地应用于该词，则并非始终正确。真实的情况是，一个词语对于它所在的句子贡献含义：不过这是一个完全不同的问题。
这一过程的第一步是摹状词理论（theory of description）。根据这一理论，在命题“斯科特是瓦弗利的作者（Scott is the author of Waverley）”中，没有对应于“瓦弗利的作者”的成分（constituent）：对于命题的分析大致是：“斯科特写了瓦弗利，任何写了瓦弗利的人就是斯科特”；或者，更准确地说：“命题函项‘
下一步是废除类（abolition of classes）。这一步是在《数学原理》中实践的，其中写到“在我们的体系中，类的符号与那些描述性的符号一样都是不完整的（incomplete symbols）；它们的用途是被定义的，但它们本身并不意味任何东西……因此，就我们所介绍的来说，类只是符号或语言上的便宜（convenience），而并非真正的对象”（第一卷，第71-72页）。看到基数已被定义为二阶类（classes of classes），它们同样变成了“仅仅是符号或语言上的便宜”。因此，例如，命题“”，稍微简化后变成了这样：“从命题函项‘不是，以及无论是什么中，是一个始终等价于是或是’；同时，从命题函项‘是一个，无论是什么中，是一个但不是始终等价于是’。那么，无论为何值，上述命题函项之一不总是为假（对于与的不同值）的断言等价于另一个始终为假的断言。”这样，数字1与2就完全消失了，类似的分析可被应用于任何算术命题。
在这一阶段，怀特海德博士曾劝说我放弃空间的诸点（points of space），时间的诸瞬间（instants of time），以及物质的诸粒子（particulars of matter），代之以诸事件构成的逻辑结构（logical constructions composed of events）。最终，结论似乎是世界中没有一种原始材料具有平滑的逻辑性质（smooth logical properties），任何看似具有这样性质的东西都是为了具有（这些性质）而人为制造的。我并不是说明确关乎点或瞬间或数字或奥卡姆剃刀废除的其它任何实体的陈述都是错误的，而只是说它们需要解释，这种解释表明它们的语言形式是具有误导性的，所说的伪实体（pseudo entities）被发现未被于其中提及。例如，“时间是由诸瞬间组成的”可能是也可能不是一个正确的陈述，但在任何一种情况下，它都既未提及时间也未提及诸瞬间。大体上说，它可被解释如下：给定任何事件
因此，逻辑常项是否出现在逻辑命题中的问题变得比乍看之下更加复杂。事实上，就目前的情形而言，这是一个无法给出确切答案的问题，因为“出现在”一个命题中缺乏确切的定义。不过还是有些话可说。首先，没有逻辑命题能够提及任何特殊的对象。“如果苏格拉底是一个人，且所有人都是会死的，那么苏格拉底是会死的”这样的陈述不是一个逻辑命题（proposition of logic）；以上述命题作为一个特例的逻辑命题是：“如果
因此，如果我们能够对逻辑常项给出任何确切的陈述，就必须将它们视为语言的一部分，而不是语言所表达内容的一部分。这样一来，逻辑变得比我写作《原则》时所认为的更加语言化（more linguistic）。在逻辑命题的口语或符号表达中，除逻辑常项之外不含任何常项（的说法）依然是正确的，但这些常项是对象的专名（如“苏格拉底”所设想的那样）是不正确的。
因此，要定义逻辑或数学绝非易事，除非是与某组给定的前提（some given set of premisses）相关。一个逻辑前提必须具有某些可定义的特性（characteristics）：它必须具有完全的一般性（complete generality），在这个意义上，它不提及任何特殊的事物或属性（thing or quality）；同时，它必须就其形式而言为真。给定一组确定的逻辑前提，我们便可以根据它们来定义逻辑，即它们使得我们可以证明的一切。然而，（1）很难说什么使一个命题据其形式为真；（2）从我们希望包含于逻辑命题中的一切意义上来说，很难找出任何方式来证明由一组给定前提产生的系统是完整的。关于第二点，人们习惯于接受将当前的逻辑与数学作为基准（datum），同时寻求能够重建该基准的最少的前提。然而，当对于数学某些部分的有效性产生怀疑时，这种方式会令我们陷入困境。
似乎很清楚的是，除了与特定的逻辑语言有关外，一定存在某种方式来定义逻辑。显然，逻辑的基本特性（fundamental characteristic）是当我们说逻辑命题是根据其形式而为真时所显示出的特性，可证明性的问题（the question of demonstrability）不能进入其中，因为在一个系统中由前提推出的每一个命题，在另一个系统中本身可能就是一个前提。如果命题很复杂，这点是不方便的，但并非是不能做到的。在任何允许的逻辑系统中可证明的所有命题都必须与诸前提共持据其形式而为真的特性；同时，所有据其形式而为真的命题都应包含在任何适当的逻辑中。一些哲学家，比如卡尔纳普在他的《语言的逻辑句法》中认为，整个问题与其说是语言选择的问题，倒不如说是我所认为的那样。在上述工作中，卡尔纳普有两种逻辑语言，其中一种承认乘法公理与无穷公理，另一种则不承认。我本人并不认为这样的问题是由我们的任意选择决定的。在我看来，这些公理要么具有，要么没有描述逻辑的形式真理的特性（characteristic of formal truth which characterizes logic），在前一种情况下，每一种逻辑都必须包括它们，而在后一种情况下，每一种逻辑都将它们排除在外。然而，我承认我没法说清“据其形式而为真”的确切含义。不过，这个短语（phrase）虽不充分，但我认为（它）指出了一个问题，如果需要找到逻辑的适当的定义，就必须解决这个问题。
最后，我要来谈罗素悖论与类型学说（doctrine of types）。亨利·庞加莱（Henri Poincaré）认为数理逻辑（mathematical logic）对于发现（discovery）毫无帮助，因此不会有什么结果，他对于（罗素悖论）感到高兴：“La logistique n’est plus stérile; elle engendre la contradiction!（逻辑不再是无用的；它们制造矛盾）”然而，数理逻辑所做的一切都旨在表明，矛盾（指罗素悖论）源于所有逻辑学家先前接受的前提，不论他们对于数学多么无知。悖论也不是新的东西；有的可以追溯至希腊时期。
《原则》中只提到了三条悖论：布拉利·福蒂（Burali Forti）关于最大序数（the greatest ordinal）的悖论、关于最大基数的悖论以及我的关于不属于自身的类的悖论（第323、366与101页）。除了附录B中关于类型论的内容外，关于可能解决方案的内容可以忽略；而这本身只是一个大略的梗概。关于悖论的文献浩如烟海，且这个问题仍存在争议。据我所知，对于该问题最完整的论述见于卡尔纳普的《语言的逻辑句法》（Kegan Paul, 1937）。在我看来，他关于该问题的说法要么是正确的，要么是难以反驳的，因而不可能在短时间内加以驳斥。因此，我将只谈几点一般性的意见。
乍看之下，悖论似乎有三种类型（be of three sorts）：数学上的悖论、逻辑的悖论以及可被怀疑是由于某种或多或少微不足道的语言技巧造成的悖论。在明确的数学悖论中，关于最大序数与最大基数的悖论可以作为典型。
其中的第一个——布拉利·福蒂悖论——如下：让我们将所有序数按照量值（magnitude）排列；其中的最后一个我们称为
第二条关于最大基数的悖论具有使得类型学说明显成为必要的特性。从初等算术（elementary
arithmetic）中我们得知，任意数n
在明显的逻辑悖论中，其中的一个在第十章中讨论过：在语言的悖论中，最著名的说谎者悖论是由希腊人发明的。其内容如下：假定一个人说“我在说谎”。如果他在说谎，即他的陈述为真，据此他不在说谎；如果他没有说谎，当他说他说谎时，他确实说谎了。因此，任何一种假设都意味着这是一条悖论。
正如我们所料，逻辑悖论与数学悖论并不容易区分：不过根据拉姆塞[1]（Ramsey）的说法，语言悖论可以通过所谓广义上的语言考虑加以解决。它们与逻辑组别的区别在于它们引入了经验概念，比如某人的主张或含义；由于这些概念并非逻辑的，因而有可能找到不依赖于逻辑考虑的解决方案。这使得对于类型论的极大简化成为可能，正如拉姆塞的讨论所表明的那样，这种理论不再完全表现得不合理或不自然，也不再只是一种旨在避免悖论的临时性假设（as hoc hypothesis）。
类型论的技术本质（technical essence）不过是这样的：给定一个命题函项“
数理逻辑中依然存在着许多充满争议的问题，我在上文中并未试图解决这些问题。我仅仅提到了那些在我看来自《原则》成书以来已有相当明确进展的问题。总的来说，我依然认为这本书在与先前观点不一致的地方是正确的，不过在其与旧理论一致的地方有可能是错误的。在我看来，哲学变革的部分原因是这三四十年间数理逻辑的技术进步（technical advances of mathematical logic），这种进步简化了原始的思想与命题的装置，并且扫除了许多明显的实体，比如类、点以及瞬间。总的来说，其结果是一种没有那么柏拉图式的见解，或者说没有那么中世纪意义上的实在论。在我看来，在唯名论（nominalism）的方向上能够走多远仍是一个悬而未决的问题，但无论能否完全解决，这个问题都只能通过数理逻辑进行充分的研究。
[1] Foundations of Mathematics, Kegan Paul, 1931, p. 20 ff.
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