数学思维能力对孩子来说非常重要，它涉及到逻辑推理、问题解决、抽象思维等方面。培养孩子的数学思维能力不仅有助于他们在学校取得好成绩，还能为他们的未来生活和职业发展打下坚实的基础。那么，作为家长或教育者，我们应该如何有效地培养孩子的数学思维能力呢？
不妨看看英国皇家学会会员、英国沃里克大学数学系荣退教授伊恩•斯图尔特的看法。
《基础数学讲义：走向真正的数学》
作者：(英) 伊恩·斯 图尔特 (Ian Stewart) 、(英) 戴维·托尔
译者：姜喆
数学并非由计算机凭空计算而来，而是一项人类活动，需要人脑基于千百年来的经验，自然也就伴随着人脑的一切优势和不足。你可以说这种思维过程是灵感和奇迹的源泉，也可以把它当作一种亟待纠正的错误，但我们别无选择。
人类当然可以进行逻辑思考，但这取决于如何理解问题。一种是理解形式数学证明每一步背后的逻辑。即便我们可以检查每一步的正确性，却可能还是无法明白各步如何联系到一起，看不懂证明的思路，想不通别人如何得出了这个证明。
而另一种理解是从全局角度而言的——只消一眼便能理解整个论证过程。这就需要我们把想法融入数学的整体规律，再把它们和其他领域的类似想法联系起来。这种全面的掌握可以让我们更好地理解数学这一整体，并不断进步——我们在当前阶段的正确理解很可能会为未来的学习打下良好基础。
反之，如果我们只知道“解”数学题，而不了解数学知识之间的关系，便无法灵活运用它们。
这种全局思维并非只是为了理解数学之美或者启发学生。人类经常会犯错：我们可能会搞错事实，可能做错判断，也可能出现理解偏差。在分步证明中，我们可能无法发现上一步推不出下一步。但从全局来看，如果一个错误推出了和大方向相悖的结论，这一悖论就能提醒我们存在错误。
比如，假设 100 个十位数的和是 137 568 304 452。我们有可能犯计算错误，得到 137 568 804 452 这个结果，也可能在写下结果时错抄成 1 337 568 804 452。
这两个错误可能都不会被发现。要想发现第一个错误，很可能需要一步步地重新计算，而第二个错误却能通过算术的规律轻松地找到。因为 9 999 999 999×100=999 999 999 900，所以 100 个十位数的和最多也只能有 12 位，而我们写下的却是个十三位数。
无论是计算还是其他的人类思维过程，把全局理解和分步理解结合起来是最可能帮助我们发现错误的。学生需要同时掌握这两种思维方式，才能完全理解一门学科并有效地实践所学的知识。要分步理解非常简单，我们只需要把每一步单独拿出来，多做练习，直到充分理解。全局理解就难得多，它需要我们从大量独立信息中找到逻辑规律。
即便你找到了一个适合当前情境的规律，也可能出现和它相悖的新信息。有些时候新信息会出错，但过去的经验也经常不再适用于新的情境。越是前所未有的新信息，就越可能超脱于既存的全面理解之外，导致我们需要更新旧的理解。
01
概念的形成
在思考具体领域的数学之前，可以先了解一下人类如何学习新的思想。因为基础性问题需要我们重新思考自认为了解的思想，所以明白这个学习过程就尤为重要。每当我们发现自己并没有完全了解这些思想，或者找到尚未探明的基本问题时，我们就会感到不安。不过大可不必惊慌，绝大部分人都有过相同的经历。
所有数学家在刚出生时都很稚嫩。这虽然听起来是句空话，却暗示了很重要的一点——即便是最老练的数学家也曾一步步地学习数学概念。遇到问题或者新概念时，数学家需要在脑海中仔细思考，回忆过去是否碰到过类似的问题。这种数学探索、创造的过程可没有一点逻辑。
只有当思绪的齿轮彼此啮合之后，数学家才能“感觉”到问题或者概念的条理。随后便可以形成定义，进行推导，最终把必要的论据打磨成一个简洁精妙的证明。
我们以“颜色”的概念为例，做一个科学类比。颜色的科学定义大概是“单色光线照射眼睛时产生的感觉”。我们可不能这样去教孩子。（“安杰拉，告诉我你的眼睛在接收到这个棒棒糖发出的单色光后产生了什么感觉……”）首先，你可以先教他们“蓝色”的概念。你可以一边给他们展示蓝色的球、门、椅子等物体，一边告诉他们“蓝色”这个词。然后你再用相同的方法教他们“红色”“黄色”和其他颜色。
一段时间之后，孩子们就会慢慢理解颜色的意义。这时如果你给他们一个没见过的物品，他们可能就会告诉你它是“蓝色”的。接着再教授“深蓝”和“浅蓝”的概念就简单多了。
重复这种过程许多次后，为了建立不同颜色的概念，你还需要再重新来一遍。“那扇门是蓝色的，这个盒子是红色的，那朵毛茛是什么颜色的呢？”如果孩子们能回答“黄色”，那就说明他们的脑海中已经形成了“颜色”这一概念。
孩子们不断成长，不断学习新的科学知识，可能有一天他们就会见到光线透过棱镜形成的光谱，然后学习光线的波长。在经过足够的训练，成为成熟的科学家之后，他们就能够精准地说出波长对应的颜色。但对“颜色”概念的精确理解并不能帮助他们向孩子解释“蓝色”是什么。在概念形成的阶段，用波长去清楚明白地定义“蓝色”是无用的。
数学概念也是如此。读者的头脑中已经建立了大量的数学概念：解二次方程、画图像、等比数列求和等。他们也能熟练地进行算术运算。我们的目标就是以这些数学理解为基础，把这些概念完善到更复杂的层面。我们会用读者生活中的例子来介绍新概念。随着这些概念不断建立，读者的经验也就不断丰富，我们就能以此为基础更进一步。
虽然我们完全可以不借助任何外部信息，用公理化的方法从空集开始构建整个数学体系，但这对于尚未理解这一体系的人来说简直就是无字天书。专业人士看到书里的一个逻辑构造之后，可能会说：“我猜这是‘0’，那么这就是‘1’，然后是‘2’……这一堆肯定是‘整数’……这是什么？哦，我明白了，这肯定是‘加法’。”但对于外行来说，这完全就是鬼画符。要想定义新概念，就要用足够的例子来解释它是什么，能用来做什么。当然，专业人士通常都是给出例子的那一方，可能不需要什么理解上的帮助。
02
基模
数学概念就是一组系统的认知——它们源于已经建立的概念的经验，以某种方式互相关联。心理学家把这种系统的认知称作“基模”。例如，孩子可以先学习数数（“一二三四五，上山打老虎”），然后过渡到理解“两块糖”“三条狗”的意思，最后意识到两块糖、两只羊、两头牛这些事物存在一个共通点——也就是“2”。那么在他的脑海中，就建立起了“2”这一概念的基模。
这一基模来源于孩子自身的经验：他的两只手、两只脚，上周在田地里看到的两只羊，学过的顺口溜……你会惊讶地发现，大脑需要把许多信息归并到一起才能形成概念或者基模。
孩子们接着就会学习简单的算术（“假设你有五个苹果，给了别人两个，现在还剩几个”），最终建立起基模，来回答“5 减 2 是多少”这种问题。算术有着非常精确的性质。如果 3 加 2 等于 5，那么 5 减 2 也就等于 3。孩子们在理解算术的过程中就会发现这些性质，之后他们就可以用已知的事实去推导新的事实。
假设他们知道 8 加 2 等于 10，那么 8 加 5 就可以理解为 8 加 2 加 3，那么这个和就是 10 加 3，结果是 13。孩子们就这样慢慢地建立了整数算术这一内容丰富的基模。
如果你这时问他们“5 减 6 得多少”，他们可能会说“不能这么减”，或者心想成年人怎么会问这种傻问题，尴尬地咯咯笑。这是因为这个问题不符合孩子们脑海中减法的基模——如果我只有 5 个苹果，那不可能给别人 6 个。而在学习过负数之后，他们就会回答“ -1”。为什么会有这种变化呢？这是因为孩子们原有的“减法”基模为了处理新的概念产生了变化。
在看到了温度计刻度或是了解了银行业务之后，对于“减法”概念的理解就需要改变。在这个过程中，可能仍会心存困惑（ -1 个苹果是什么样的？），但这些困惑最终都会得到令人满意的解释（苹果数量和温度计读数存在本质区别）。
学习过程有很大一部分时间就是让现有的基模变得更复杂，从而能够应对新概念。就像我们刚刚说的，这个过程确实会伴随着疑惑。要是能毫无困惑地学习数学该有多好。
可是很不幸，人不可能这样学习。据说 2000 多年前，欧几里得对托勒密一世说：“几何学习没有捷径。”除了意识到自己的困惑，了解困惑的成因也很重要。在阅读本书的过程中，读者将会多次感到困惑。这种困惑有时源于作者的疏忽，但一般可能是因为读者需要修正个人的认知才能理解更一般的情形。
这是一种建设性的困惑，它标志着读者取得了进步，读者也应当欣然接受——要是困扰太久那就另当别论了。同样，在困惑得到解决后，一种理解透彻的感觉就会伴随着莫大的喜悦油然而生，就好像完成了一幅拼图。数学确实是一种挑战，但这种达成绝对和谐的感觉让挑战成为了满足我们审美需求的途径。
03
一个例子
发展新观念的过程可以用数学概念的发展史来说明。这段历史本身也是一种学习过程，只不过它牵扯了很多人。负数的引入招致了大量反对声音：“你不可能比一无所有更穷了。”但在如今的金融世界，借记和信贷的概念早就让负数融入了日常生活。
另一个例子是复数的发展。所有数学家都知道，无论是正数还是负数，其平方都一定是正数。戈特弗里德·莱布尼茨当然也不例外。如果 i 是 -1 的平方根，那么，因此 i 既不是正数，也不是负数。莱布尼茨认为它具有一种非常神秘的性质：它是一个非零数，不大于零，也不小于零。人们因此对于复数产生了巨大的困惑和不信任感。这种感觉至今仍然存在于部分人心中。
复数无法轻易地融入大多数人关于“数”的基模，学生们第一次见到它往往也会感到抗拒。现代数学家需要借助一个扩展的基模来让复数的存在变得合理。
假设我们用平常的方式把实数标在一根轴上：
在图 1-1 中，负数位于 0 的左边，正数位于 0 的右边。那 i 在哪？它不能去左边，也不能去右边。那些不接受复数的人就会说：“这就说明它哪也不能去。因为数轴上没有任何地方可以标记 i，所以它不是数。”
然而我们并非毫无办法。我们可以用平面上的点来表示复数。（1758 年，弗朗索瓦·戴维认为把虚数画在和实轴垂直的方向上是毫无意义的。幸好其他数学家和他意见相左。）实数位于实轴上，i 位于原点上方一个单位长度的地方。而从原点出发，沿实轴前进 x 个单位，再向上移动 y 个单位（如果 x 和 y 为负数，就朝相反方向移动），就得到了 x + iy 这个数。因为 i 在实轴上方一个单位的地方，而不在实轴上，所以就不能用“i 不存在于实轴上的任何位置”来反对 i 的存在了（见图 1-2）。这样扩展后的基模就能毫无困难地接纳令人不安的复数。
这种做法在数学中相当常见。当特殊情形被推广为一般情形之后，有些性质依然存在。例如，复数的加法和乘法依然满足交换律。但原基模的某些性质（比如有关实数的顺序的性质）在推广后的基模（这里指复数的基模）中就不存在了。
这种现象非常普遍，并不限于学生身上，古往今来的数学家都曾有所体验。如果你研究的领域业已成熟，概念都得到了解释，并且开发出的方法也足以解决常见问题，那么教学工作就不会很困难。学生只需要理解原理，提高熟练度即可。
但如果像是把负数引入用自然数来计数的世界，或是在解方程时遇到复数那样，需要让数学系统发生根本性的变化时，大家都会感到困惑：“这些新玩意儿是怎么回事？和我想的根本不一样啊！”
这种情况会带来巨大的迷茫。有些人能坚定地、带着创新思维接纳并掌握新知识；有些人就只能深陷焦虑，甚至对新知识产生反感、抗拒的情绪。一个最著名的例子就发生在 19 世纪末期，而它最终也改变了 20 世纪和 21世纪的数学。
04
自然数学与形式数学
数学起源于计数和测量等活动，用于解决现实世界的问题。古希腊人意识到绘图和计数有着更为深奥的性质，于是他们建立了欧氏几何和质数理论。即便这种柏拉图式的数学追求完美的图形和数，这些概念仍然是和现实相关联的。这种状态延续了千年。
艾萨克·牛顿在研究重力和天体运动时，人们把科学称为“自然哲学”。牛顿的微积分建立在古希腊几何和代数之上，而后者正是现实中算术运算的推广。
这种基于“现实中发生的事件”的数学持续到了 19 世纪末。当时数学研究的焦点从对象和运算的性质变成了基于集合论和逻辑证明的形式数学。这种从自然数学到形式数学的历史性过渡包含了视角的彻底改变，也带来了对于数学思维的深刻洞见。它对于从中小学的几何和代数学习向高等教育阶段的形式数学学习的转变有着至关重要的作用。
05
基于人类经验建立形式化概念
随着数学变得越来越复杂，新概念中有一些是旧知识的推广，有一些则是全新的思想。在从中学数学过渡到形式数学的过程中，你可能会觉得从零开始学习形式化的定义以及如何从基本原理进行形式化的推导才符合逻辑。但是过去 50 年的经验告诉我们，这种做法并不明智。
20 世纪 60 年代曾经有人尝试在中小学用全新的方法讲解数学，也就是基于集合论和抽象定义来教授。这种“新式数学”以失败告终。这是因为，虽然专家们能理解抽象的奥妙，但是学生们需要一个连贯的知识基模才能理解定义和证明。
现如今我们对于人类发展数学思维的过程有了更深刻的认识，因此得以从实际研究中汲取教训，来理解为什么学生们对于概念的理解和课本想阐明的意思有细微偏差。我们提到这一点，也是为了鼓励读者仔细思考文字的准确含义，在概念之间建立紧密的数学关联。
你可以仔细阅读证明，养成给自己解释的习惯。你要向自己解释清楚为什么某个概念如此定义，为什么证明中的前一行可以推出下一行。（参见附录中关于自我解释的部分。）最近的研究 [3] 显示，尝试思考、解释定理的学生从长远来看会有所收获。曾经有人使用眼部追踪设备来研究学生阅读本书第 1 版的方式。研究发现花更多时间思考证明的关键步骤和在后续考试中取得更高分数是强相关的。我们强烈推荐读者也这样做，努力把知识联系起来能让你建立更连贯的知识基模，让自己长期受益。
要明智地对待学习过程。在实践中，我们不总是能够为遇到的每个概念给出精确的定义。比如，我们可能会说集合是“明确定义的一组事物”，但这其实是在回避问题，因为“组”和“集合”在此处有相同的意思。
在学习数学基础时，我们要准备好一步一步地学习新概念，而不是一上来就去消化一个严密的定义。在学习过程中，我们对于概念的理解将愈发复杂。有时，我们会用严谨的语言重新阐述之前不明确的定义（比如“黄色是波长为 5500Å的光的颜色”）。新定义看起来会比作为基础的旧定义好得多，也更具吸引力。
那一开始就学习这个更好、更有逻辑的定义不就好了吗？其实未必如此。
本书的第一部分将从中小学学习过的概念开始。我们会思考如何通过标出不同的数一步步建立数轴。这一过程从自然数（1、2、3……）开始，然后是自然数之间的分数，接着我们延伸到原点两侧的正负自然数（整数）和正负分数（有理数），最后扩展到包含有理数和无理数的全体实数。我们还会关注如何自然地进行整数、分数、小数的加减乘除运算，特别是那些将成为不同数系的形式化公理基础的性质。
第二部分将介绍适合数学家所使用的证明概念的集合论和逻辑。我们的讲解将兼顾逻辑的精确性和数学上的洞见。我们要提醒读者，不仅要关注定义的内容，还要小心不要因为过去的经验，就臆断某些性质的存在。比如，学生可能学习过或者
这样能用公式表达的函数。然而函数的一般定义并不需要公式，只要对于（特定集合内的）每一个 x 值，都存在唯一对应的 y 值即可。
这个更一般的定义不仅适用于数，还适用于集合。一个被定义的概念所具有的性质必须基于它的定义，用数学证明的方式推导出来。
第三部分将从自然数的公理和数学归纳法开始，逐步探讨一系列数系的公理化结构。接着，我们将展示如何用集合论的方法，从基本原理构建出整数、有理数和实数等数系。最终，我们将得到一系列公理，它们定义了实数系统，包括两种满足特定算术和顺序性质的运算（加法和乘法），以及“完备性公理”。
该公理规定了任何有上界的递增序列都将趋近于一个极限。这些公理一同定义了一个“完备有序域”，我们将证明实数可以由上述公理唯一确定。实数可以通过已被定义的加法、乘法运算以及顺序来表示为数轴上的点。数轴上也包括和 π 这样的无理数。它们是无限小数，可以被计为任意精度的有限小数。比如，
保留小数点后 3 位就是 1.414 ，而 π 约等于分数
，或者也可以被计为任意精度的小数（例如，保留小数点后 2 位就是 3.14 ，保留小数点后 10 位就是3.141 592 653 6 ）。
06
形式化系统和结构定理
这种从精心挑选的公理构建形式化系统的方法可以进一步推广，从而覆盖更多新的情况。和从日常生活中衍生出的系统相比，这种系统有着巨大优势。
只要一个定理可以通过形式化证明从给定的公理推导出来，它在任何满足这些公理的系统中就都成立。无论系统新旧都是如此。形式化的定理是不会过时的。
这些定理不仅适用于我们熟知的系统，还适用于满足给定公理的任何新系统。
这样就没必要一遇到新系统就重新验证自己的观念了。这是数学思维的一个重要进步。
另一个不那么明显的进步在于，形式化系统推导出的某些定理可以证明，该系统的一些性质使它可以用某种方法图形化，而该系统的另一些性质让它的一些运算可以用符号化方法完成。这样的定理被称为结构定理。比如，任何完备有序域都拥有唯一的可以用数轴上的点或者小数来表示的结构。
这就为形式化证明带来了全新的功能。我们不仅仅是花大量的篇幅来发展一套自洽的形式化证明方法，我们其实发展出了一套融合形式化、图形化和符号化运算的思维方式，把人类的创造力和形式化方法的精确性结合了起来。
07
更灵活地使用形式数学
在第四部分，我们将介绍如何在不同情境下应用这些更灵活的方法。首先我们会讨论群论，然后会讨论从有限到无限的两种扩张。一种是把元素个数的概念从有限集推广到无限集：如果两个集合的元素一一对应，就称它们具有相同的基数。基数和常规的元素个数有很多共通的性质，但它也有一些陌生的性质。
例如，我们可以从一个无限集（比如说自然数集）中拿走一个无限子集（比如说偶数集），剩下的无限子集（奇数集）和原集合有着相同的基数。因此，无限基数的减法和除法无法唯一定义。一个无限基数的倒数并不是基数。
另一种扩张把构成完备有序域的实数扩张到了一个更大、但是不完备的有序域。在这个域中，存在元素 k 满足“对于每个实数 r ，都有 k >r ”的性质。这样k 就是无穷的——根据形式化定义的顺序，它大于所有实数。但是 k 和无限基数有很大的区别，比如它存在倒数，而
小于任何正实数。
那么一个无穷的数在一个系统内有倒数，在另一个系统内却没有。但仔细思考之后，我们就不应该惊讶于这些明显矛盾的事实。我们用来计数的自然数系统本来没有倒数，有理数和实数系统却有倒数。如果我们选择一些性质，推广不同的系统，那么得到不同的推广也不足为奇。
这就得到了一个重要的结论：数学是不断发展的，看起来不可能的概念可能在一个全新的形式框架下，在合适的公理下就能够成立了。
一百多年前，这种形式化的数学方法慢慢地流行了起来。而菲利克斯·克莱因写下了这样一段话：
“我们今天对于数学基础的立场，不同于几十年以前；我们今天可能当作最终原则来叙述的东西，过了一段时间也必然会被超越。”
而在同一页上他还提到：
“许多人认为教一切数学内容都可以或必须从头到尾采用推导方法，从有限的公理出发，借助逻辑推导一切。某些人想依靠欧几里得的权威来竭力维护这个方法，但它当然不符合数学的历史发展情况。实际上，数学的发展是像树一样的，它并不是有了细细的小根就一直往上长，倒是一方面根越扎越深，同时以相同的速度使枝叶向上生发。撇开比喻不说，数学也正是这样，它从对应于人类正常思维水平的某一点开始发展，根据科学本身的要求及当时普遍的兴趣的要求，有时朝着新知识方向发展，有时又通过对基本原则的研究朝着另一方向进展。”
本书也将像这样，从学生在中小学所学知识开始，在第二部分深入挖掘基本思想，在第三部分中用这些思想构建数系的形式结构，在第四部分把这些方法应用到更多形式结构上。而在第五部分，我们对于数学基础的介绍将告一段落，转而深入讨论基本逻辑原理的发展，从而支撑读者未来在数学方面的成长。
新书上市
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作者：(英) 伊恩·斯 图尔特 (Ian Stewart) 、(英) 戴维·托尔
译者：姜喆
数学畅销书作家伊恩•斯图尔特 X 数学思维发展和教育家戴维·托尔
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