1938 年 3 月，美国工程师和物理学家弗兰克·本福特（Frank Benford）发表了《反常数定律》（“The Law of Anomalous Numbers”）一文，他在这篇文章中分析了来自两万多个不同观察源的数字数据。
在他的列表中，我们可以看到世界各地河流的长度、美国不同城市的人口、已知原子质量的测定值、新闻报纸上随机获取的数字，甚至还有数学常数。对于所有这些数据，本福特每次得到的观察结果都和我们的一样：首位数字分布不均衡。这条定律的影响之大，能让我们在毫无意识的情况下不断地复现它。
走进弗兰克·本福特刚刚为我们打开的世界游逛一圈，等你从中出来的时候不可能还是原来的样子。本福特定律改变了你。一旦你理解了它，你就再也不会以同样的方式思考了。
本福特定律
数学之旅有时始于平凡无奇的场所。
至于我们这段旅程的起点，我建议就定在街角的超市。你肯定知道某个离你家不远的超市。你在那里养成了自己的购物习惯。无论是大型购物中心还是乡间小卖部，都无关紧要，只要是能够找到满足日用之需的基础产品的超市就好。
你对超市里的氛围早已司空见惯。你已经来过这里上百次，甚至上千次。顺序排列的货架、金属台架、收银台扫描条形码时发出的规律声响，还有四处走动、无意识地抓起一瓶牛奶或几瓶罐头的顾客。但是今天，我们不是来购物的，而是来执行观察任务的。
这个地方隐藏着最引人入胜的数学宝藏之一。这么多年来，它一直都在你的眼前。它甚至没有丝毫的遮掩，你在此刻就能看到它。它是一个小小的反常之处。它是那些在你眼皮底下毫不起眼的细节之一，看似一无所用，却可能引得暗中窥探的观察者心生疑惑。拿出你的小本子或智能手机准备好做记录吧，我们的调查开始了。
看看货架上依次排列的价格标签。2.30 €、1.08 €、12.49 €、3.53 €……在我们一个接一个地快速扫过价格标签的时候，所有这些数似乎都是完全随机的。1.81 €、22.90 €、0.64 €……价格范围从几分到几十欧元。但我们要关注的不是细节。忘记小数点和小数吧。只看每个价格的首位有效数字，这是最重要的数字，它给出了近似值。
你看到一瓶标价为 1.54 €的 530 克水果罐头，在你的本子上记为 1。再走几步，一瓶标价为 3.53 €的 24 小时除臭剂，记为 3。一块标价为 1.81 €的 250 克奶酪，记为 1。一口标价为 45.90 €的不粘锅，这个价格有两位数，但不要紧，我们只关注首位数字，记为 4。一包标价为 0.74 €的烤花生米，这个价格的首位有效数字是 7。
我们就这样在超市里随意地走动了几分钟，记录的数字也越积越多。1 3 1 4 7 9 2 2 1 7 9 8 1 1 3 1 1 1 8 1 1 2 1 2 1 1 9 1 4 7 1 6 1 5 9 2 2 1 3 2 2 2 1 2 2 6……但随着记录的继续，一个小小的疑问出现了。你不觉得这串数字有什么不对头的地方吗？就好像其中存在着某种不平衡。这串数字主要由数字 1 和 2 组成，间或出现了几个 3、4、5、6、7、8 和 9。仿佛我们在无意识的情况下自然而然地被最低价格所吸引。这里有问题。
那我们就向统计学家学习，严谨行事：从现在开始，谨防自己的偏见，采用一种系统性的方法。我们随机挑选几排货架，并把每排货架上所有产品的价格无一例外地记录下来。这是一项费事的工作，但你必须做到心中有数。
一小时后，你的本子上记了整整几页的成串数字。是时候做个小结了。经过计算，结果毋庸置疑，其中呈现的趋势一目了然。你记录了一千多种产品的价格，其中将近三分之一的数是以 1 开头的！超过四分之一的数以 2 开头，数越大，在记录中出现的次数越少。
图 1.1 是整理得到的首位数字的占比图 。
图 1.1
这一次，我们无法再认为这是一种简单的随机效应，或是自己对产品有偏向性的选择了。我们必须承认，这是一个事实：超市里货品价格的首位数字分布不均衡——较小的数字在数量上具有显而易见的优势。
这种不均衡从何而来？这就是我想对你提出的问题。这些价格标签遵循了什么样的超市、商业或经济定律，才会呈现出这种奇怪的结果呢？为什么这些价格的首位数字会分布不均呢？数学难道不应该对所有的数字都一视同仁吗？数学应该是没有偏见、没有青睐，也没有最爱的。然而事实就摆在眼前，而且与我们的预想明显相反。在超市里，数学有它自己的“宠儿”，“宠儿”名叫 1 和 2。
我们已经观察到了，也已经确认过了。现在，我们需要思考、分析和抽丝剥茧。我们的手中握有了事实，是时候展开调查并得出结论了。
1938 年 3 月，美国工程师和物理学家弗兰克·本福特（Frank Benford）发表了《反常数定律》（“The Law of Anomalous Numbers”）一文，他在这篇文章中分析了来自两万多个不同观察源的数字数据。在他的列表中，我们可以看到世界各地河流的长度、美国不同城市的人口、已知原子质量的测定值、新闻报纸上随机获取的数字，甚至还有数学常数。对于所有这些数据，本福特每次得到的观察结果都和我们的一样：首位数字分布不均衡。其中约有 30% 的数以 1 开头，18% 的数以 2 开头，这一百分比持续下降，直到数字 9，以 9 开头的数仅占 5%（图 1.2）。
图 1.2
本福特没有想到通过超市的价格标签去验证自己的统计结果。但我们不得不承认，他得到的结果与我们的结果出奇地相似——当然，在百分比上会有些微的变化，但就整体趋势而言，相似度高得令人惊讶。
本福特的研究表明，我们收集到的数据并非孤例。它们并非超市的运作方式所特有的，而是植根在一种更为广泛的趋势之中。1938 年以后，很多科学家在越来越极端且越来越多样化的情况中观察到了相同的分布态势。
以人口学为例：在调查统计到的地球上的 203 个国家 / 地区中，有 62 个国家 / 地区（即 30.5%）的人口的首位数字是 1。首先是中国，拥有约 14 亿人口。我们还会发现，在这 62 个国家 / 地区中，墨西哥拥有约 1.22 亿人口，塞内加尔拥有约 1300 万人口，图瓦卢群岛拥有约 10 800 人口。相反，只有 14 个国家 / 地区（即 6.9%）的人口数量是以数字 9 开头的。
你更喜欢天文学吗？在绕太阳公转的八大行星中，有四颗行星的赤道直径是以 1 开头的。木星直径约为 142 984 千米，土星直径约为 120 536 千米，地球直径约为 12 756 千米，金星直径约为 12 104 千米。太阳本身的直径约为 1 392 000 千米。如果用这九个天体的样本数据还不足以得出一种可靠的趋势，那么就再加上矮星、卫星、小行星和彗星，你将总是得到同一个观察结果：数字 1 占据绝对优势。
一旦我们开始对此加以关注，实例就会接踵而来。取一张来自任意情境的数字列表，分析这些数的首位数字，你一定会发现：本福特的数字分布总是一而再，再而三地出现。这一统计定律远非一种例外，它看起来完全是浑然天成、无处不在的。矛盾的是，我们在直觉上认为本该更为合理的均衡分布，在世界上似乎根本不存在。
在这个层面上，超市里的观察结果就完全谈不上有什么奇异之处了。我们刚刚揭晓的是一条名副其实的定律，这条定律不仅支配着人类活动的很多领域，而且还在自然最为隐秘的结构中支配着自然本身。理解这条定律，就是理解关于我们的世界及其运转方式的某些深层的东西。
这条定律的影响之大，能让我们在毫无意识的情况下不断地复现它。给超市货品定价的人不一定会互相商量，他们中的大多数人也从未听说过弗兰克·本福特。但是，他们却仿佛在某种超越了他们的力量的支配下，不知不觉地遵从了本福特定律。各国人口、河流长度和行星直径的数值也是一样。
1938 年，弗兰克·本福特把这种分布命名为“反常数定律”。但是，这条定律无处不在，以“反常”命名听来并不适合。“反常”只是主观的判断，它只在那些对此感到讶异的人眼中才存在。相反，大自然似乎觉得这条定律实在是再普通不过。定律只有在不为我们所了解时才会是“反常”的。而我们正打算去了解它。
那么，该朝哪个方向出发呢？我们的思路该沿着哪条轨迹去揭开反常的面纱，并让奥秘变成显而易见之事呢？
本福特定律理解起来并不复杂，但解释起来几句话说不清楚。这条定律背后的数学原理简单而深刻。我们面对的不是一道忽然间顿悟并惊呼“啊，原来如此，我明白了！”就能得出答案的谜题。需要改变的是我们对数字的理解和计数方式。如果说本福特定律在我们看来并非一目了然，那是因为我们的思维方式不对头。我们必须学会从不同的角度去看待自以为已经很了解的事物，我们必须审视自己。
走进弗兰克·本福特刚刚为我们打开的世界游逛一圈，等你从中出来的时候不可能还是原来的样子。本福特定律改变了你。一旦你理解了它，你就再也不会以同样的方式思考了。
乘法思维
日常生活总在低声告诉我们，我们在数字方面不大行……有什么东西不大对劲。
关于这一点，我想跟你讲一件趣事。
几年前的一天晚上，我跟朋友们在一起玩游戏，一位朋友提议玩一个科学知识问答的游戏。我们分成两个小组，两组人马必须回答一系列关于数学、地质学，还有生物学或计算机科学的问题。两个小组必须对每个问题给出一个答案，最接近正确答案的小组得一分。游戏规则看起来既简单又明确。然而，经过几轮之后，一个天文学问题引发了意想不到的争议。
这个问题是地球和月球之间的距离。
我们这组没人知道确切的答案，但经过商讨之后，我们给出的答案是 80 万千米。另一组的讨论似乎更加激烈，但过了一会儿，他们也给出了答案：10 千米！
显然，他们对天文学的了解比我们还要少。世界最高峰珠穆朗玛峰的高度接近 9 千米。如果月球距离地球只有 10 千米的话，那么爬上珠穆朗玛峰就差不多可以够得到我们的卫星了。这个答案很荒谬。我们这组似乎已经胜券在握。
但是，对照正确答案的结果却让人感到困惑不已。月球和地球之间的距离实际上是 384 000 千米。因此，只需做个简单的减法就可以知道，我们的答案和正确答案差了 416 000 千米，而另一组的答案则只差了 383 990 千米（图 1.3）。
我眨了眨眼睛，在脑中又算了一次。没错。我甚至还在一张餐巾纸上演算了一下，好让自己相信这个结果。
图 1.3
毫无疑问：他们的答案比我们的答案更接近现实。他们赢了。在几分钟里，我忍不住在脑中算了又算，但无话可说。数学已经一锤定音。
但是，你不觉得这种情况有些不公平吗？说我是个糟糕的玩家也就罢了，尽管减法已经给出了最后的判定，但是你不觉得我们的答案更合理、更审慎，而且以某种方式来说，没有另一队错得那么离谱吗？
但在这个情况中，为什么数学似乎告诉我们的是相反的答案呢？为什么计算会斩钉截铁地偏向那个显然更离谱的答案呢？
或者，我们换种方式提问，更谦逊一点：我们是否真的了解自己正在使用的数学呢？数学不会犯错，但人类有时会以不恰当的方式去使用它。
如果我们花点儿心思再深入探究一下，可能就会想到很多类似的情况。猫的平均身高是 25 厘米，拉布拉多犬的平均身高是 60 厘米。一些细菌的高度是千分之一毫米。因此，我们可能会说，就高度而言，与拉布拉多犬相比，猫更接近细菌。猫和细菌的高度差了大约 25 厘米，但猫和狗的高度差了大约 35 厘米（图 1.4）。
图 1.4
但同样地，这个结果与我们对现实的固有感知背道而驰。猫和狗同属一个世界。它们可以一起玩耍，至少能互动。它们相互看得到，相互感觉得到，相互知道彼此的存在。相反，如果猫没有学过科学知识，它就根本不会知道细菌的存在。细菌不是它们的世界的一分子，这些细菌如此之小，以至于对于猫来说既是不可见的，也是不可想象的。
通过类似的推理，我们可以给出大量的例子，所有这些例子都有违直觉，但在数学上却是确切无误的。太阳表面的温度比起 15 000℃ 要更接近 5℃。比起纽约人口，巴黎人口要更接近一个仅有 12 个居民的村庄。如果给火星称重，你会发现比起地球的质量，火星的质量要更接近一个乒乓球的质量。
就像本福特定律，如果这些情况与我们的理解相冲突，那是因为我们想歪了。因为我们在并不适用的情境中使用了自己并不那么了解的数学工具。
那么，如何才能把这些直觉性的思考纳入数学的范畴呢？答案就在数量级这个微妙的概念之中。
基本的思路很简单，但功能非常强大。按数量级去思考，就是采取乘法思维，而不是加法思维。
如果想要比较数字 2 和 10，你可以使用两种不同的方法。加法：2 加几才能得到 10？答案会是 8。乘法：2 乘以几才能得到 10？答案会是 5。与 2 相加得到 10 的数可以通过减法得到：10-2=8。与 2 相乘得到 10 的数可以通过除法得到：10÷2= 5。
说两个量是同一数量级，就是说它们从乘法的角度来看是接近的。
尽管这种思路乍看起来有些牵强，但任何开始以乘法思维去思考的人都会很快意识到，这种方法在很多常见的情况中都更符合我们的直觉。
让我们回到之前的那个科学问答题上。如果当时想清楚了的话，我会这样去质疑另一组的得分。月球距离地球 384 000 千米，我们这组的答案是 800 000 千米，大了大约 1 倍（图 1.5）。如果做除法，你会发现我们的答案比正确答案大了 1.08 倍。我们对手回答的是 10 千米，也就是说，只有正确答案的 1/38 400（图 1.6）！从这个角度来看，应该是我们这组胜出，而且远远领先。这个结果更加符合我们对这个问题的本能感知。
图 1.5
之前的所有例子都一样。做乘法，猫的大小比起细菌来与狗的大小更加接近，火星的质量比起乒乓球来与地球的质量更加接近，巴黎的人口比起村庄来与纽约的人口更加接近，依此类推。
在我们比较两个数时，无论比较的背景为何，大多数时候，我们会本能地以乘法思维去思考。如果在你常去的超市里，一件价格为 200 欧元的产品涨了 8 欧元，这或许会让你感到有些不快，但如果是 2 欧元的产品涨了 8 欧元，你就会感到大为不快了。因为在后一种情况中，价格变成了 10 欧元，相当于原来的 5 倍！这就不止是让人感到不快了，而是让人觉得上当受骗。但是，二者的增量却是一样的。
图 1.6
这种比较方式不只是智力上的。它并非思维所独有的，它还占据了我们的身体，并与我们和这个世界可能形成的大多数互动相一致。我们用来感知身边环境的感官似乎也受到乘法思维的支配。
如果我蒙上你的眼睛，然后在你的一只手里放一个重 10 克的物体，在你的另一只手里放一个重 20 克的物体，你马上就能说出哪个物体更重。但如果是两个分别重 10 千克和 10 千克零 10 克的物体，你就会很难说出哪个更重。然而，这两组物体的重量之差却是一样的：10 克。或更确切地说，需要加上的差值是一样的。但从乘法的角度来看，重量的变化一目了然：第一种情况从 10 克到 20 克，相当于从单倍变成了双倍；但在第二种情况下，两个物体的重量只差了 0.1%。
我们的视觉也一样。你是否曾试过在大白天开灯？如果太阳光已经洒满房间，那么开灯几乎不会造成任何的改变。无论有没有开灯，房间内的亮度看起来都分毫未差。相反，如果你在晚上打开同一盏灯，这一次，灯光会穿透黑暗，而且看起来洒满了整个房间。这灯光让我们清楚地看到了片刻之前在昏暗之中无法看到的东西。
但是，天花板上的灯在白天发出的光并不比晚上少。无论是白天还是夜晚，这盏灯都发出同样多的光。也就是说，从加法的角度来说，两种情况下的亮度之差是一样的。但这不是我们双眼所感知到的“加法的差距”。我们看到的是相对之差，也就是“乘法的差距”。在白天，灯光的亮度与太阳光的亮度相比微乎其微。在夜晚，掌控一切的是占据优势的灯光。
回过头来想想你所有的感觉：触觉、视觉、味觉、听觉、嗅觉。甚至还可以想想你对逝去的时间、通过的距离的感知，并以更为主观的方式想想你情绪的强烈程度。一旦开始以乘法而非加法的思维去思考这些事物，你就会更好地适应所有这些朝你扑面而来的感知了。
作者：[法] 米卡埃尔•洛奈（Mickaël Launay）
译者：欧瑜
惊讶！是思考的起点；
数学，是理解世界本质与万物关联的工具！
以数学为起点，以思考为快乐！
法国数学学会“达朗贝尔奖”得主科普名作。
数学，是理解世界本质与万物关联的工具，它能制造两个指南针：一个叫“实用”，一个叫“优雅”。不懂得数学的意义，就无法真正学习和理解数学。
科学家为什么那么聪明？因为他们有非凡的思考方法。
以数学为工具，以思考为快乐；培养自己的思考力、观察力，成为真正的思考者。
《基础数学讲义：走向真正的数学》
作者：(英) 伊恩·斯 图尔特 (Ian Stewart) 、(英) 戴维·托尔
译者：姜喆
数学畅销书作家伊恩•斯图尔特 X 数学思维发展和教育家戴维·托尔合力打造高等数学入门经典巨作；
在数学学习的道路上走向“成熟”；弥合中学与大学数学学习的差距；
一本被美国大学广泛采用的参考书启发思维，有效引导，知识与方法深度结合。
