今天看到一个网友爆料，说隔壁组来了一个清华姚班的OD，听到这个消息，我都愣住了。这种超硬背景的人才，怎么就去了OD呢？
这不禁让我想起了自己当年刚进公司的时候，面对那些学历逆天的同事，心里有种说不出的压力。
你想，清华姚班的学霸，身后那段简历放在大厂HR眼前，基本就是金光闪闪的证书，谁不想要？而且，像这种级别的学员，别说OD了，进大厂也是分分钟的事情呀~想不通！
不过不管是大厂还是od，人家就凭“清华姚班”这几个字，放在简历上，那真的是镶了金边，走啥路都比你我更宽敞
算法题：翻转对
聊一个比较经典的算法题：翻转对。可能有人一听这个名字就皱了皱眉，觉得有点复杂，但其实只要我们从简单的角度入手，就能慢慢理清楚。别急，我来带你捋一捋。
翻转对（Reverse Pairs）是什么呢？说白了，就是给你一个数组，你需要找出其中的所有“翻转对”。什么是翻转对？假设给你一个数组 arr，两个索引 i 和 j 满足条件：i < j 且 arr[i] > 2 * arr[j]，那么这就是一个翻转对。听上去有点抽象，咱们来个例子吧。
假设有个数组 [1, 3, 2, 3, 1]，我们需要找出其中的所有翻转对。
arr[1] > 2 * arr[4]，即3 > 2 * 1，这是一个翻转对。arr[2] > 2 * arr[4]，即2 > 2 * 1，也是一个翻转对。
这样，最终的翻转对总共有两个。简单吧？别看问题看起来简单，实际的实现起来就有点挑战了，特别是当数组变得特别大时，直接暴力求解就不太适用了。
暴力解法
首先，我们可以想到暴力解法，那就是一遍一遍地用双层循环去遍历数组，找出所有满足条件的对。这种方法的时间复杂度是 O(n²)，也就是对于每一对 i 和 j，我们都要判断是否满足条件。代码大概长这样：
def reverse_pairs(nums):
count = 0
n = len(nums)
for i in range(n):
for j in range(i + 1, n):
if nums[i] > 2 * nums[j]:
count += 1
return count
简单来说，就是两层循环，比较每一对元素，时间复杂度 O(n²)，这对于小数据集还行，但一旦数据量大了，性能就会崩。比如数组有一万条数据，那这两层循环要比较接近 10⁸ 次，能不慢吗？😂
优化思路：使用归并排序
既然暴力方法行不通，那我们得想办法优化。这里我们可以借助归并排序的思想来解决。归并排序的时间复杂度是 O(n log n)，所以如果我们利用归并排序的同时，统计在归并过程中的翻转对，我们就能大大提升效率。
具体来说，咱们在归并排序的合并阶段，就可以同时计算翻转对。具体做法是：当我们把两个子数组合并时，如果 left[i] > 2 * right[j]，那么 left[i] 与 right[j] 到 right[end] 之间的所有元素，都会构成一个翻转对。
这个技巧利用了归并排序的“有序”特性，下面是优化版的代码实现：
def merge_count_split_inv(arr, temp_arr, left, right):
if left == right:
return 0
mid = (left + right) // 2
inv_count = merge_count_split_inv(arr, temp_arr, left, mid)
inv_count += merge_count_split_inv(arr, temp_arr, mid + 1, right)
inv_count += merge_and_count(arr, temp_arr, left, mid, right)
return inv_count
def merge_and_count(arr, temp_arr, left, mid, right):
i = left # Starting index for left subarray
j = mid + 1 # Starting index for right subarray
k = left # Starting index to be sorted
inv_count = 0
while i <= mid and j <= right:
if arr[i] <= arr[j]:
temp_arr[k] = arr[i]
i += 1
else:
temp_arr[k] = arr[j]
j += 1
inv_count += (mid-i + 1) # All the remaining elements in left subarray
# Are greater than arr[j] and contribute to inversions
k += 1
while i <= mid:
temp_arr[k] = arr[i]
i += 1
k += 1
while j <= right:
temp_arr[k] = arr[j]
j += 1
k += 1
for i in range(left, right + 1):
arr[i] = temp_arr[i]
return inv_count
def reverse_pairs(nums):
temp_arr = [0] * len(nums)
return merge_count_split_inv(nums, temp_arr, 0, len(nums) - 1)
在这个优化版的代码中，我们在归并的过程中统计了翻转对。对于每次合并，如果左边的元素大于右边的某个元素的两倍，我们就知道，左边的当前元素和右边的所有剩余元素都会构成翻转对。时间复杂度变成了 O(n log n)，这样就可以高效地处理大规模数据。
最终，我们在 reverse_pairs 函数中返回的就是数组中的翻转对数目。
总结
翻转对的计算看似简单，但如果用暴力方法，性能很容易成为瓶颈。我们通过结合归并排序来优化算法，使其时间复杂度降到了 O(n log n)，这样即使面对较大的数据集，程序依然能高效运行。大家在处理这类问题时，不妨也尝试运用归并排序的思想，它的优化效果真的很惊人。
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