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知行老师, 知乎:@一以知行, 清华大学机械工程硕士, 曾在大疆, 华为担任资深控制算法工程师, 具有强大的理论背景和丰富的工程落地经验.
本文将介绍自动驾驶车辆横向控制中常用的LQR控制+前馈控制方法。LQR是线性二次最优控制，该控制器设计依赖于被控对象的模型方程，在之前的文章中（见如下链接），我们已经建立了车辆的动力学模型在道路坐标系的方程，LQR控制器也将基于该模型进行设计。
我们再次把车辆动力学模型写出来:
该方程简写为：
其中， 为控制系统的状态量 和 分别为车辆横向控制的横向位移误差和航向角误差， 为前轮转角 (和方向盘转角成比例关系)， 为参考轨迹线的期望横摆角速度，在纵向速度确定的情况下，该项和参考轨迹的曲率 成正比，即 。观察上式可以发现，系统模型为两输入模型，且状态变量为 4 维。
1. 横向控制的LQR控制
我们的实际控制量为前轮转角 ，因此在进行控制器设计时，我们需要首先确定系统是否是可控的，即判断 是否满秩，若满秩可控，则状态反馈控制律可写为：
这也是LQR控制器的反馈形式。基于此，闭环系统的特征矩阵为 ，原则上可以实现极点的任意配置。而 LQR控制器则以一种 "最优" 的方式，完成状态反馈矩阵 的确定。
在实际控制器实现时，我们首先需要对上述连续域的方程进行离散化，关于离散化的方式我们后面会写文章进行具体介绍，这里不再展开。假设 和 分别是 和 的离散化结果，则前轮转角控制律表示为:
其中:
其中 满足如下Riccati方程：
且 和 分别为LQR控制器设计中，目标函数中的状态权重矩阵和控制量权重矩阵，目标函数为:
关于LQR控制器的设计分析我们将在其他文章中进行详细介绍，在此不做详细展开。
2. 横向控制的前馈项
当前轮转角的控制律如上述所示时，整个闭环系统的方程变为：
从上式可以看到，即便闭环系统 是渐进稳定的，但是由于 的存在，系统的状态量 ，即横向误差和航向角误差都无法保证收敛到 0 。因此考虑在前轮反馈控制律的基础上，加一前馈项，以保证横向误差 可以收敛到0 (而后续我们可以发现航向角误差 无法实现收敛到0)，则前轮控制律变为:
其中， 即为控制前馈项。则闭环系统变为:
对其进行Laplace变换（假设为零初始状态），得到:
其中 和 分别为 和 的Laplace变换，即 和 。利用终值定理（Final Value Theorem），可以得到系统状态量的稳态值：
具体计算可以得到：
从上式第一行可以看到，通过选取合适的前馈项 可以实现横向稳态误差 为 0 ，但是从第三行可以看到，不管我们的前馈项 如何选取，都不会对航向角误差产生影响，所以航向角误差即便在加了前馈部分也没有办法保证稳态值为 0 。
整理一下可以得到，稳态的航向角误差值为：
而当前馈项为如下值时，可以实现闭环系统的横向误差稳态值为0：
对其进行改写为：
其中：
且 为横向加速度。对比前馈项和航向角稳态误差值的表达式，可以得到前馈项也可写成:
最后我们再看一下稳态时前轮转角值 是多少，有:
3. 总结
至此我们完成了自动驾驶横向控制的LQR控制+前馈控制的设计分析，从上文可以看到，前馈项 并不是独立于反馈控制的，因为前馈项中包含反馈增益矩阵中的 。而且，基于该控制器，我们可以实现理论上横向误差 收敛到0，但航向角误差 却无法保证在稳态时能够收敛到 0 。当然，在实际系统中，横向误差收敛到 0需要要求前馈项中的模型参数和实车参数完全一致，这在现实中是难以实现的（这也是所有前馈控制的通病），为此我们需要通过状态估计和参数辨识的方法，尽可能保证我们的模型参数的准确性。关于自动驾驶车辆控制中的状态估计和参数辨识内容，也会在后续的文章中进行介绍。
