图1是一个正八边形。如图2，在图1的8个顶点中适当连线，可以连出2个正方形。在图2中连接4条线段，可以得到图3中的4个红色的正方形。在图3中的红色正方形的某些顶点向原正八形的某些边引垂线，可以得到图4中4个蓝色的长方形。
求证：在图4中，红色部分的面积 = 蓝色部分的面积。
【方法1】相似（在小学，这是超纲办法）
如图5，虚线是整个正八边形的对称轴。
图5-a和图5-b中，点A和点B都在这条对称轴上。
在图5-c和图5-d中，∠ABC =∠EDC = 半个直角，∠ACB =∠ECD，所以△ACB∽△ECD。由AC:EC=CB:CD，得AC×CD = EC×CB，即图4中1个红色正方形的面积 = 1个蓝色长方形的面积。
【方法2】等积变形
图6中的每个阴影三角形都是形状和大小都相同的等腰直角三角形，它们都是图4中一个红色正方形的一半。
图6-a中的红线相互平行，所以图6-a中的阴影三角形可以等积变形成图6-b中的阴影。
图6-c中的蓝线相互平行，所以图6-b中的阴影三角形可以等积变形成图6-c中的阴影。
图6-c中的阴影恰好是图4中一个蓝色长方形的一半。
【方法3】等积变形（此方法属于季民）
图7既是轴对称图形也是中心对称图形，它有多条对称轴，也有多种旋转对称的方案，是一个具备优美对称性的几何图形。
图7-a中，虚线是整个图形的对称轴，图中的红线（含虚线）相互平行。
图7-a中的红色三角形是红色正方形的一半，经过等积变形后可以变成图7-b中的蓝色三角形。
图7-b中的阴影三角形的面积是图7-c中蓝色矩形面积的一半。
【方法4】等积变形 （提供同一解法的还有“欧拉”）
备注：网民“欧拉”在微信群里提供了这一解法，且提出时间早于我整理本文稿时间。
图8-a中，阴影四边形两组对边分别平行，是平行四边形。
图8-b中，线段AB经过平移可以与线段DC完全重合，四边形ABCD是平行四边形，从而AD和BC平行。
在图8-c蓝色三角形经过等积变形可以变成图8-d中的红色三角形。
【方法5】一半模型 （本解法属于陈绍伦）
（1）图9-a中，红色正方形的面积 = 红色长方形的面积。
（2）图9-b中，阴影部分总和 = 黑色长方形面积的一半。
9-b中黄色三角形的面积 = 图9-a中黄色长方形的面积
又因为图9-b中黄色三角形的面积 = 图9-a中黄色长方形的面积；
所以图9-b中红色三角形的面积 = 图9-a中红色长方形的面积。
（3）图9-c中，四边形ADEF是正方形，四边形ABCD是菱形。
点B、点D关于菱形ABCD的对角线AC对称，△ABH和△ADH关于直线AC对称。因为AB和BG垂直从而AD和DH垂直，所以H、D、E在同一直线上。
（4）在图9-d中，红色阴影的面积 = 蓝色长方形面积的一半。
所以，图9-a中红色正方形的面积 = 图9-d中蓝色长方形的面积。
【方法6】一半模型（本解法属于“欧拉”）
图10-a中，红色直线相互平行，蓝色直线相互平行。
图10-b-1中，黑色线段平行且相等，都是红色正方形的边。
图10-b-2中，黑色线段平行且相等（是阴影平行四边形的一组对边）；
图10-b-3中，黑色线段平行且相等（是阴影平行四边形的一组对边）。
图10-c-1中，三条黑色线段平行且相同。将同一直线上的三个点A、B、C沿着AD方向平移，得到的三个点D、E、F仍旧在一条直线上。
这一段也可以表达成：图10-c-1中的两个阴影平行四边形可以拼成一个更大的平行四边形。
图10-c-2中，点E在平行四边形（图中阴影部分）的对角线上，所以图10-c-3中的两个阴影平行四边形面积相等。
图10-d-1和图10-d-2的面积相同。
图10-d-1中的阴影切成两块，平移其中粉色的一块，得到图10-d-3中的阴影正方形；
图10-d-2中的阴影切成两块，平移其中黄色的一块，得到图10-d-4中的阴影长方形。
【解法7】等距变换
图11-a-1和图11-b-1中，每个图中的阴影面积总和相同，图11-a-1中的两个黄色三角形经过平移可以拼成图11-b-1的黄色长方形，所以图11-a-1中的红色阴影和图11-b-1中的蓝色阴影面积相同。
图11-a-2中，虚线是整个正八边形的对称轴，它穿过了红色平行四边形的中心，将红色平行四边形分成了旋转对称的两块。取其中一块得到图11-a-3中阴影，将其切成两块，平移其中粉色的一块，可以拼成图11-a-4中的阴影正方形。
图11-b-2中，虚线是黑线围成的菱形的对称轴，也是蓝色阴影长方形的对称轴，将蓝色长方形分成了上下对称的两块。取其中一块得到图11-b-3中阴影，将其整体平移，可以得到图11-b-4 中的阴影。
【方法8】弦图
图12-a中，对每个红色正方形作“外弦图”，每个“外弦图”中的4个粉色直角三角形的三边分别标记为红色、蓝色、绿色。
图12-b中，虚线是整个正八边形的对称轴，图中阴影长方形条带的宽度是图12-a中绿色线段的2倍。
图12-c中的3个等腰三角形（阴影部分），每一个都是由2个粉色直角三角形拼成的，它们相互可以经过平移重合。
图12- d中的黑框菱形和黑框长方形的面积是相同的，其中粉色部分的面积相同（都是8个粉色直角三角形），所以图中红色正方形的面积等于蓝色长方形的面积。
【方法9】 拼接 （此方法属于季民）
如果两个矩形的面积相同，一定可以将其中一个矩形切成若干块，将分成的各块经过旋转、对称、平移等操作拼成另一个矩形。
如图13，季民老师将正方形切成了4种形状的7块，拼成了长方形。图中相同长度的线段用相同颜色的粗线标记。
【参与讨论者名单】
0、季民 受聘于国家重点课题
北京大学数学科学院，北京大学GIS工程研究所，硕士学位 。
季民老师和姚健钢博士（第35届国际数学奥林匹克IMO满分金牌得主）、须佶成老师（高思教育总裁）等人是同班同学。上世纪90年代，姚健钢博士受命编写《华罗庚数学学校试题解析》，团结了林昊、季民、须佶成等众多同学共同建设，季民老师由此进入教培行业，是入行较早、资历较深的王牌老师。
曾任人大附中网校副校长，现任简明教育校长。
1、陈绍伦
陈绍伦，中山大学数学与应用数学专业，教龄13年，广州学而思小学集训队教练，《思维创新大通关》编者。
2、“欧拉”
“欧拉”本名不详，其本人以“欧拉”命名激励自己。正如其起名初衷，“欧拉”对数学问题的研究热情很高。
3、成俊锋
北京市海淀区上庄镇菜农，合作者农场发起人之一。
自上世纪80年代提出“先富带动后富”，社会财富逐渐积累已经40多年，蛋糕已经足够大，如何兑现“共同富裕”政治承诺？成俊锋先行尝试，发起合作者农场计划，企图通过高质量的蔬菜来提升中产阶层的生活质量，以增加内需的方式来完成社会财富的再次分配。
农场现在除了传统蔬菜之外，还有玉米、草莓等经济作物可供采摘。
新播种的60亩荠菜（野菜）将于春节前上市。
2025年的种植计划是153个菜品，其中西红柿有60种。
目前已经30多人愿意加入合作者农场计划，农场筹措到的春季启动资金已有90万元，期待更多有农业情结的建设者加入。
【特别声明】
文稿整理人成俊锋与参与讨论的各位数学爱好者既无私交，也没有任何领域、任何形式的合作。他们仅仅只是各自做了这道数学题。
