2002 年 3、4 月之间，根据陈省身教授的嘱咐，我在天津作了微积分的系统讲演，共 16 学时。2003 年 4 月，我在丘成桐教授创办的浙江大学数学科学研究中心工作期间，又作了微积分的系统讲演，共10 学时。这两次系统讲演，听众是大学生和一些大学教师，这本小书就是根据这两次系统讲演的讲稿及录像整理而成的。
（本文摘自龚昇教授的《微积分五讲》）
算术与代数
人类有数的概念，与人类开始用火一样古老，大约在 30 万年前就有了，但是有文学记载的数字到公元前 3400 年左右才出现，至于数字的四则运算则更晚，在我国，《九章算术》是古代数学最重要的著作，是从先秦到西汉中叶的众多学者不断修改、补充而成一部数学著作，成书年代至迟在公元一世纪。这是一本问题集形式的书，全书共 246个题，分成九章，包含十分丰富的内容，在这本书中有分数的四则运算法则、比例算法、盈不足术、解三元线性代数方程组、正负数、开方以及一些计算几何图形的面积与体积等。在西方，也或迟或早地出现了这些内容，而这些内容包括了我们从小学一直到中学所学习“算术”课程的全部内容。也就是说，人类经过了几千年才逐渐弄明白的“算术”的内容，现在每个人的童年时代花几年就全部学会了。
对于“算术”来讲，“真正的进展”是由于“更有力的工具和更简单的方法的发现”，这个工具与方法是“数字符号化”，从而产生了另一门数学“代数”，即现在中学中的“代数”课程的内容。在我国，这已是宋元时代 (约 13 世纪五六十年代)，当时的著作中，有“天元术”和“四元术”，也就是让未知数记作“天”元，后来将两个、三个及四个未知数记作“天”、“地”、“人”、“物”等四元，也就是相当于现在用x，y，z，w 来表达4 个未知数。有了这些“元”，也就可以解一些代数方程与联立代数方程组了。在西方，彻底完成数学符号化是在16 世纪。现在中学中学习的“代数”课程的内容，包括有一元二次方程的解，多元(一般为二元、三元至多四元) 联立方程的解等。当然，在“数学符号化”之前，一元二次方程的解，多元联立方程的解已经出现，例如我国古代已有一些解一般数字系数的代数方程的“算法程序”，但这些都是用文字表达的，直到“数字符号化”之后，才出现了现在中学代数内容的形式。
由“数字符号化”而产生的中学“代数”的内容，的的确确是“数学中真正的进展”。“代数”的确是“更有力的工具和更简单的方法”。“算术”顾名思义，可以理解为“计算的技术与方法”，课程名称取为“算术”也许是从我国古代的《九章算术》而来。而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数字符号化”。人类从“算术”走向“代数”经历了千年，但在中学的课程中，却只花短短的几年就可以全部学会这些内容。
在这里，我要重复说一遍，尽管中学的“代数”比小学的“算术”来的“高级”，是“更有力的工具和更简单的方法”，但并不意味着小学的“算术”就可以不必学了。这是因为：(1)“算术”中的一些内容不能完全被“代数”所替代，如四则运算等；(2) 即使是能被替代的内容，适当地学习一此，有利于对“代数”内容的认识与理解；(3) 从教育学的角度考虑，这里有循序渐进的问题，有学生不同年龄段的接受能力的问题等等。
作为中学“代数”中的一个重要内容是解多元一次方程组，在中学“代数”的教材中，一般着重讲二元或三元一次联立方程组，所用的方法是消元法，但是，如果变元为四个或更多时，就得另想办法来建立起多元一次联立方程组的理论。经过很多年的努力，向量空间即线性空间、线性变换即矩阵的概念产生了，这不但给出了多元一次联立代数方程组的一般理论，而且由此建立起一门新的学科“线性代数”。这是又一次“数学中真正的进展”。由于“更有力的工具和更简单的方法”，即向量空间即线性空间，线性变换即矩阵的概念与方法的建立，不仅对多元一次联立代数方程组的理解更为清楚，更为深刻，且由于有了统一处理的方法，可以把个别地处理方程组的方法“抛到一边”。当然“线性代数”的产生还有些其他的因素，但解多元一次联立代数方程组是“线性代数”最重要，最生动的模型，而“线性代数”的产生的确再次印证了 Hilbert 所说的那段话。
在中学“代数”中另一重要内容是解一元二次方程。在古代，例如《九章算术》中已有解一般一元二次方程的算法，后来有很多的发展，直到花拉子米 (M.al-Khowarizmi，约 783~850) 给出了相当于般形式的一元二次方程
的一般的求根公式为
1545 年由卡尔丹(G.Cardano，1501~1576) 公布了塔塔利亚(N.Fontana，1499? ~1557)发现的解一元三次方程的解，而一元四次方程的解由费拉里(L.Ferrari,1522~ 1556) 所解决。于是当时大批的数学家致力于更高次方程的求根式解，即企图只对方程的系数作加、减、乘、除和正整数次方根等运算来表达方程的解。经过了两个世纪的努力，大批数学家都失败了，直到 1770 年，拉格朗日 (J.L. Lagrange，1736~1813) 看到了五次及高次方程不可能做到这点。又过了半个世纪，1824 年阿贝尔(N.H.Abel，1802~1829) 解决了这个问题，即对于一般的五次和五次以上的方程求根式解是不可能的。但什么样的代数方程能根式可解，这个问题被伽罗瓦 (E.Galois，1811-1832) 所解决。他证明了:方程根式可解当且仅当它的 Galois 群可解，当然在这里不解释什么是 Galois 群，什么叫可解。Abel 与 Galois 不仅解决了300 年来无法解决的著名难题，更重要的是: 为了解决这个问题，他们建立起了“域”与“群”的概念。这就意味着现代代数理论的产生。这是又一次“数学中真正的进展”。它是由于“更有力的工具和更简单的方法”，即“域”与“群”的发现而造成的。有了“域”，尤其是“群”以及后来发展起来的现代代数理论，可以更清楚，更深刻地理解以往高次代数方程求根式解的问题，而的确可以把以往那些“陈旧的复杂的东西抛到一边”。从此翻开了数学崭新的一页。
以“群”、“环”、“域”为基本内容与出发点的现代代数理论，在大学的课程中的“近世代数”就是介绍这些内容的，这已成为现代数学中的基本内容与语言之一，它们在历史上及现代数学中都有不可估量的作用。例如：1872 年由 Klein 提出的著名 Erlangen program，即认为各种几何学所研究的实际上就是在各种变换群下的不变量这个数学思想，是企图将以往看来关系不大的各种几何学用统一的观点来认识与研究，不仅对几何学的发展，而且对整个数学的发展起了巨大的作用。又例如：讨论了几千年的尺规作图问题，由于域论的出现而彻底解决。所谓尺规作图问题，就是用无刻度直尺和圆规作出平面或立体图形，最为著名的如古希腊三大几何作图问题。(1) 三等分角，即分任意角为三等分。(2) 倍立方体，即作一个立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。(3) 化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形。这些问题的提出是公元前 5 世纪以来逐渐形成的，也不知有多少人为之努力过而徒劳无功，而这些问题的彻底解决不过是域论中一个基本而简单的结论的推论。
近世代数的来源与发展当然还有其他的因素，但 Abel，Galois 的贡献无疑是奠基性的。线性代数与近世代数之间有着深刻的联系。例如：线性代数所讨论的一个线性变换作用在一个向量空间上成为近世代数中“模”的最基本的一个模型。
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（书名：微积分五讲
作者：龚昇
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