估计裂缝大小是岩石工程的一个基本方面。然而，在科学界，从裂缝的表面痕迹中确定最可能的直径 （MPD） 仍然具有挑战性。流行的方法通常推断裂缝大小的统计分布，而不是具体值。本研究提出了一种推断 MPD 和每个裂缝的真实空间分布模式的新方法。挑战在于将推理过程与每条裂缝的轨迹长度和整个露头的统计特征联系起来。此外，还需要解决非唯一逆问题。该方法包括几个关键步骤。首先，通过考虑所包含的跟踪的长度来解决删失偏差的问题。其次，使用矢量方法校正方向偏差，估计并推导真实平均迹线长度和标准差;第三，假设断裂大小呈对数正态分布，直径的平均值和标准差是通过痕量长度和直径之间的高阶矩关系得出的，并由 Crofton 定理验证。最后，通过使用立体学技术将 MPD 与痕量长度和直径的标准差相关联来确定所有痕量样品的 MPD。此外，真正的裂缝空间模式是基于空间几何关系进行反演的。所提出的方法通过严格的蒙特卡洛模拟进行了验证，并应用于实际工程案例研究，展示了其在岩石工程应用中的潜力。
图 2.关于直径分布参数的不同轨迹长度的拟合概率密度表面μD和 σD（a） 痕量长度为 1 m 的裂缝;（b） 痕量长度为 3 m 的裂缝;（c） 痕量长度为 5 m 的裂缝;（d） 痕量长度为 7 m 的裂缝。
图 3.关于直径分布参数的 1 m 轨迹长度的拟合概率密度表面 μD和 σD：（a） 指数分布的裂缝大小;（b） 具有 γ 分布的裂缝大小。
图 4.与矩形采样窗口相交的断裂轨迹和多扫描线方法的布局。
图 5.g（l） 的平均值、标准差和 COV 关于采样窗口面积的变化
图 6.在矩形采样窗口内推导出裂缝 MPD 解的渐进框架示意图。
图 7.岩体空间中裂隙集的蒙特卡洛模拟和采样窗口：（a） 裂隙的采样域。（b–d） 3D 采样窗口和裂缝空间模式模型（Y = 25 m、10 m 和 40 m）。（例如）在 2D 剖切面（Y = 25 m、10 m 和 40 m）上包含迹线分布。
图 8.来自三个切割面的迹线样本数据的直方图和最佳拟合 PDF 曲线：（a） Y = 25 m 的切割面;（b） Y = 10 m 的切割面;（c） Y = 40 m 的切割面。
图 9.基于不同 MPD 与迹线长度 l 的经验关系 l σD从三个切割平面开始：（a） Y = 25 m 的切割平面;（b） Y = 10 m 的切割面;（c） Y = 40 m 的切割面。
图 10.MPD 与三个切割面的真实直径之间的数值比较：（a） Y = 25 m 的切割面;（b） Y = 10 m 的切割面;（c） Y = 40 m 的切割面。
图 11.MPD 与真实直径之间分布的直方图和 PDF 曲线的比较：（a） Y = 25 m 的切割面;（b） Y = 10 m 的切割面;（c） Y = 40 m 的切割面。
图 12.使用反演方法恢复的三个 3D 采样窗口内裂缝的空间分布模式：（a） Y = 25 m 的切割面;（b） Y = 10 m 的切割面;（c） Y = 40 m 的切割面。
图 13.蒙特卡洛模拟案例的其他采样窗口：（a） 窗口的布局;（B-D）裂缝的真实空间模式;以及 （e–g） 窗口内包含的痕迹。
图 14.矩形采样窗口的坡度位置和布局。（a） 位置图;（b） 边坡的三维岩体表面模型;（c） 采样窗口和裂缝;（d） 采样窗口和痕量样本的笛卡尔坐标表示。
图 15.（a） 迹线长度 l 与露头 MPD 之间的经验关系;（b） 47 个 MPD 的直方图和最佳拟合 PDF 曲线。
图 16.使用反演方法获得的采样窗口的裂缝空间分布模式。
图 17.包含裂缝空间模式的边坡点云模型：（a） 前视图;以及 （b） 垂直视图。
图 18.三个 3D 采样窗口内裂缝的真实和反演空间分布模式。（a-c）真实模式;和 （d-f） 反转模式。
图 19.直径 D 和三个切割面的轨迹长度 l 之间的经验关系：（a） Y = 25 m 的切割面;（b） Y = 10 m 的切割面;（c） Y = 40 m 的切割面。
7. 结论
开发了一种渐进框架和反演方法，从矩形采样窗口内包含的痕量样本中推断裂缝的 MPD 和空间分布模式。该框架包括四个步骤：数据准备、f（l） 估计、σ估计D和 MPD 解决方案。应用了几个复杂的理论。首先，使用 ISOAP 算法获得窗口内一组的断裂，确保将包含的迹线长度用作迹线样本以避免删失偏差。其次，使用矢量方法校正方向偏差，然后将其纳入多扫描线方法以获得可靠的μl.假设 f（l） 和 c（l） 表现出相同的 COV 和分布模型，则 σl源自 μc、σc和 μl.采用 KS 检验确定 f（l） 的最佳分布模型。第三，通过假设 g（D） 服从对数正态分布，μD和 σD源自轨迹长度和直径之间的高阶矩关系。利用 Crofton 定理解决 g（D） 的非唯一逆问题，并通过计算 RE 值来检查该假设的有效性。最终，使用迹线长度和 σ 拟合概率密度表面D，允许推导出每个裂缝的唯一 MPD。
通过利用痕量样品的方向、MPD、端点和模量，通过空间几何关系确定岩体内的真实裂缝位置。此后，真正的裂缝空间模式从其位置、方向和 MPD 上反转。
采用蒙特卡洛仿真生成和分析跟踪数据，说明和验证框架和方法。结果表明，MPD 表现出令人满意的预测性能，裂缝空间模式被有效地反转。为了演示该方法的实际应用，提出了一个案例研究，其中使用了来自斜坡上矩形采样窗口的数据。结果表明，原位裂缝的空间分布模式可以通过推断的 MPD 进行反转。此外，发现截断偏差会影响 MPD 的预测性能，建议在实际工程应用中使用 0.5 m 的截断偏差。
