概率学提供了强大而实用的工具，如果使用得当，能够帮助我们认识世界，但如果使用不当，后果会不堪设想。概率学本身不会犯错，犯错的是使用它的人，本期纸老虎将为大家讲述在现代法律体系中真实发生的误用概率的冤案。
发生在美国的冤案
最能展现概率在法律中误用的著名案例是1968年在加州最高法院审理的“公诉人对科林斯”（People v. Collins）案件。
1964年6月18日，大约上午11:30，刚买完东西的胡安妮塔·布鲁克斯夫人正沿着洛杉矶城圣佩德罗区的一条小巷回家。她当时拖着一个柳条筐小车，里面放着买来的东西和钱包。当她弯下腰去捡一个掉落的东西的时候，突然被人推倒在地。她没有看到这个人，只是在摔倒时感到一阵眩晕和疼痛，但她还是看到一名年轻女子从现场跑走。
根据布鲁克斯夫人的陈述，这名年轻女子大约重145磅，穿着“深色的什么衣服”，有着“介于暗金黄色和亮金黄色之间”的发色，但比被告珍妮特·科林斯上庭时的发色要深。事情发生后，布鲁克斯夫人马上发现她装有几百美元现金的钱包不见了。
与发生抢劫差不多同一时间，居住在小巷当街上的约翰·巴斯正在屋顶前给草坪浇水。他的注意力被小巷中传来的“许多喊声和尖叫声”所吸引。当他朝那个方向看过去时，见到一名女子从巷子里跑出来，并跳上了他的街对面的一辆黄色汽车。他无法给出车辆的牌子和型号，但看到开车的是一名黑人男子，留着短络腮胡子……其他证人则分别描述该车为黄色、黄色带灰白车顶和黄色带蛋壳白顶，该车大小据述为中到大型。
事发几天后，一名洛杉矶警官发现一辆黄色带灰白车顶的林肯车停放在被告家前，并与被告进行了交谈。他注意到疑犯很符合那一对犯下罪行的男女的描述，只是现在这名男子没有大胡子，不过他承认他有时会留大胡子，当天晚上，洛杉矶警方逮捕了两名疑犯——马尔科姆·里卡多·科林斯和他的妻子珍妮特。
指控夫妻俩的证据并不充分，因此，该案在很大程度上依赖于受害者与证人对疑犯的认定。但是，受害人无法认定珍妮特就是罪犯，也根本没有见过那名开车的司机；巴斯没见过抢劫者，而且也不能在警局给出的一系列指认者中确认马尔科姆就是那名开车的司机。因此，案子看来无法再进行下去了。
然后，本案的关键证人登场了。根据加州最高法院判决书中的描述，该证人不过是“一所州立大学中的数学讲师”。据其证词，被告是“一名金发梳马尾辫的高加索女子……（以及）一名留有短的络腮胡子的黑人男子”这一事实，就足以给法庭上的夫妻俩定罪了。为了说明这一点，检方给出了下面的“特征”及其所对应的“独立发生的概率”：
1.部分为黄色的汽车（1/10）；
2.短胡子男性（1/4）；
3.络腮胡子黑人男性（1/10）；
4.梳马尾辫的女孩（1/10）；
5.金发女孩（1/3）；
6.汽车中人种不同的夫妻俩（1/1000）
检方传唤的这名数学讲师，将乘法规则应用在这些数据上，而由乘积得到的结论，是出现一对符合所有这些不同特征的夫妻的概率为1200万分之一。证人据此推理认为，法庭上这对夫妻无辜的概率就是1200万分之一。检方也指出，这些独立的概率都是估计值，也请陪审员用自己的估计值来做这道算术题。
检察官称，他本人相信这些值都是相当保守的估计，如果用他自己的估计值，那得到的概率更接近于10亿分之一。陪审团接受了这一结果，并认定夫妻俩罪名成立。
这个计算错在何处呢？首先，要通过各组成概率相乘来得到复合概率，这些组成概率所对应的范畴应相互独立，而在本案中，所列特征却明显不是相互独立的。例如，看到一名“络腮胡子黑人男性”的可能性是1/10，而看到一名“短胡子男性”的机会是1/4，但大多数络腮胡子男性同样也留短胡子。
因此，如果你看到一名“络腮胡子黑人男性”，那么此人同时也留着短胡子的可能性就不再是1/4，而远比这个值要大了。如果把“络腮胡子黑人男性”这个特征去掉的话，上述问题就能得到纠正，而此时得到的概率乘积约是100万分之一。
法庭分析还有一个错误：真正与案件有关的概率并不是上面所给出的那个——也就是随机选出一对夫妻，他们符合对疑犯描述的概率。真正相关的概率应该是一对符合所有上述特征的夫妻，他们有罪的可能性到底是多少。前面一个概率可能是100万分之一，但对后者而言，由于与案发地相邻的区域中有数百万人口，因此，假定在这一地区内有2~3对夫妻符合上述描述，应该是一个合理的估计。在这种情况下，仅根据前面的证据（这些证据差不多也就是检方所掌握的所有材料了），要判断符合这些描述的夫妻有罪，正确的可能性不过是1/2或1/3。这样的概率根本就不足以对嫌犯提出合理的质疑。由于这些原因，最高法院最终推翻了科林斯的定罪。
发生在英国的冤案
20世纪90年代英国检方做出了一次严重的司法误判，他们所犯的统计错误是想当然的认为几个不同事件之间是彼此独立的（跟抛硬币一样），而忽略了它们之间的联系（某个特定结果的出现会增加类似结果发生的可能性）。但这次事件却是真实的，无辜的人因此蒙受牢狱之灾。
错误源自一种名为婴儿猝死综合症（SIDS）的疾病，具体表现为健康的婴儿无明显病症突然死亡。由于死于其他原因的婴儿数量日趋减少，相比之下死于SIDS的婴儿变得越来越常见，因此SIDS越来越受到关注。
当时的尸检还无法有效地区分自然死亡和疏忽致死，一些不负责任的家长会用SIDS作为挡箭牌，以掩盖他们对孩子的照顾不周和虐待。英国检方和法庭认为，如果一个家庭中先后发生多起婴儿猝死事件，那么就可以认定婴儿是疏忽致死，而非自然死亡。
英国著名的儿科医生罗伊·麦都爵士就经常为这一观点做专家证人。英国《经济学人》杂志写道，“一个婴儿的死亡是悲剧，两个婴儿死亡就很可疑，三个婴儿死亡便可断定为谋杀，这就是大名鼎鼎的‘麦都定律’。其依据是如果某个事件的发生概率本来不高，但在相同的家庭里发生两次甚至多次则不可能是巧合。”
麦都爵士在法庭上常常向法官解释说，一个家庭先后有两个婴儿由于自然原因猝死的概率微乎其微，只有7300万分之一。具体计算过程是：婴儿猝死本身就比较罕见，发生概率为1/8500，那么相同家庭里两个婴儿猝死的概率为（1/8500）2，也就是约7300万分之一。
如果一个家庭有两个婴儿猝死，基本上可以断定孩子的父母是极不负责任的家长，判他们过失致死罪一点儿都不为过。在没有任何医学证据表明存在虐待或过失行为的前提下，法官一般都会采纳麦都爵士的专家意见，家长因此锒铛入狱。甚至有时候在出现过婴儿猝死的家庭，刚出生的婴儿会被强制送往其他地方抚养，以远离其亲生父母的“迫害”。
对统计事件独立性的错误理解，致使麦都爵士的证词的严密性受到挑战，《经济学人》就此写道：“英国皇家统计学会指出，麦都爵士的逻辑存在一个明显的漏洞。概率计算本身没有问题，但前提是必须保证婴儿猝死事件是完全随机的，相互之间不存在任何未知的联系。但由于医学界对婴儿猝死综合症还未完全了解，同一家庭中先后猝死的婴儿之间非常有可能存在某种联系，例如基因等，从而让一个已经遭受婴儿夭折打击的家庭再次遭受打击。但由于那些家长已经被定罪，为了维护司法的严肃性，科学家们的建议是可能存在某种联系，仅此而已。”
2004年，英国政府宣布对258起已经结案的家长谋杀婴儿的案件进行重审。
本文内容改写自《醉汉的脚步》和《赤裸裸的统计学》
文章来源：统计课是纸老虎
编辑 /张志红
审核 / 范瑞强
复核 / 张志红
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