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导读：
拉马努金的一生虽然只有短暂的32年，却留下了3900个公式或猜想。可以说，他以一人之力拉动了整个印度的数学水平。
1914年春天，三一学院的紫藤花初绽，一位26岁的印度青年受邀来到英国剑桥。他什么头衔都没有，甚至没有大学学位。一部分人认为他是骗子，靠着一堆没有证明的公式迷惑众人。一部分人却说他是印度千年一遇的数学天才。两年之后，他获得了剑桥大学研究文学学士学位（博士学位的前身）。又过了两年，1918年10月，他当选为剑桥大学三一学院院士，成为历史上第一位获此殊荣的印度人。历史记住了他的名字：拉马努金（Srinivasa Ramanujan），印度最著名的天才数学家，甚至不用加上“之一”。![]()
拉马努金（中）在剑桥大学留影拉马努金的一生虽然只有短暂的32年，却留下了3900个公式或猜想。可以说，他以一人之力拉动了整个印度的数学水平，他的诞辰日也成为了印度的“国家数学日”。在他的传奇故事激励下，一代又一代的印度人克服了对外面世界的恐惧以及宗教禁令，跨越山川海洋，奔赴科学的星辰大海。《知者无涯》（The Man Who Knew Infinity, 2016）是最新一部关于拉马努金的传记片，曾在剑桥大学三一学院实地拍摄1887年12月22日，拉马努金出生于印度埃罗德市。虽然他的家庭属于高种姓婆罗门，但是家境普通，仅凭父亲在纱丽店的差职维持基本生活。幼年时，拉马努金接受的教育分为两部分。在家里，他跟随虔诚的母亲学习宗教传统。在学校，则是受教于殖民者英国人创立的现代教育体系。小学毕业时，他的英语、数学、地理成绩均是全区第一。14岁，他开始研究几何和无穷级数，学会了如何解三次方程。后来，拉马努金发展出了自己独特的四次方程解法，并且尝试解五次方程。16岁，拉马努金独立发现和研究出了伯努利数，并将欧拉-马歇罗尼常数计算到了小数点后 15 位。与此同时，他还开始发展自己的定理了。至1904年中学毕业，他的数学积累已经远超同龄人的理解。校长对他寄予厚望，形容他是一个应当获得比满分还高的分数的优秀学生。不过，由于偏科严重，拉马努金升入大学不久就丢掉了奖学金，努力了几年最终也没能获得大学学位。这导致他的求职经历也不顺利，只能从事一些底层级的会计工作，生活极度贫困。1910年，22岁的拉马努金结识了印度数学学会创始人拉马斯瓦米·艾耶尔（V. Ramaswamy Aiyer）。他的研究成果逐渐被数学圈认可，并被聘为马德拉斯大学的研究员。期间，他在《印度数学学会杂志》上发表过一个问题，像是在试探性寻找——当时印度还有没有比他更聪明的人。![]()
这一时期，拉马努金主要研究椭圆积分、超几何级数和他的发散级数理论。在马德拉斯期间，拉马努金有四本非常重要的笔记本，记录着他不断积累的数学成果。由于没有推导过程，外界传言那些是受神的指引才写出的神秘公式。在古代印度，曾有过辉煌灿烂的数学历史。他们最早使用十进制，最早使用数字0，算术、代数和三角数都尤为先进，甚至早于牛顿和莱布尼茨几个世纪就有了微积分的思想。但随着西方列强的殖民，数学在印度发展式微。直到二十世纪，才有了第一位进入现代数学研究领域的印度数学家。拉马努金已经触及了印度数学的天花板，接下来他需要做的是放眼世界。1913年初，刚过25岁的拉马努金将自己的论文寄给了英国剑桥大学的三位顶尖数学家，迫切希望得到他们的认可。前两位教授亨利·贝克（Henry Baker）和欧内斯特·霍布森（Ernest Hobson）未加评论就将他的论文退回了。原因可能是拉马努金一直靠自学成长，缺乏专业的数学训练，导致他的论文不够严谨、不够专业。唯一回信的是哈代（Godfrey Hardy） 。拉马努金在前两封信中就给出了120个定理，都是他独立总结的。虽然有些是错误的，有些已经被发现，但是余下的大多数都有新的突破。哈代立刻意识到拉马努金拥有非凡的天赋，并向剑桥同事称赞他是“一位最优秀的数学家，一个具有非凡独创性和能力的人”。戈弗雷·哈代（1877-1947），英国数学家，擅长数论和数学分析。他毕业于剑桥大学三一学院，自1906年起留校任教，在英国数学界享有崇高地位。
当时印度已经有留学生了。比如“圣雄甘地”，他于1888年就曾远赴英国学习法律，但是为此放弃了种姓身份。
身为婆罗门的拉马努金也面临类似抉择，宗教教义要求他“不可以跨越海洋”，虔诚的父母也是极力反对。哈代不能理解，他信奉的是科学。宗教信仰一直是横屹在他和拉马努金之间的倒刺。好在剑桥方面一直没有放弃，花了一年多时间终于说服了拉马努金。某日，拉马努金的母亲也梦到了家族女神纳玛吉里神命令她：“不要再阻碍儿子实现人生目标”。1914年3月，拉马努金告别了妻子和父母，只身乘船前往英国。自1911年起，哈代与利特尔伍德是最亲密的研究伙伴，他们主攻数学分析和解析数论，是当时英国数学分析学派的领军人物。哈代与利特尔伍德之间的合作持续了35年，直至哈代去世。共同发表论文100多篇。拉马努金来到剑桥以后，双人组合变成“铁三角”，建立了一种融合不同文化、信仰和工作性格的独特合作关系。冲撞是少不了的。哈代是数学严谨性的倡导者，重视证明工作。拉马努金则是虔诚的印度教徒，非常依赖自己的直觉。哈代看重拉马努金惊人的创造力，但同时也不断向他强调，必须拥有扎实的数学基础才能更好地发挥自己的潜力。“有些事情我不得不尝试教他，而且在一定程度上我成功了，尽管很明显我从他那里学到的比他从我这里学到的多得多。”即使是多年后回忆起，哈代仍觉得那五年的交往是“一生中唯一的浪漫事件”。哈代-拉马努金数
拉马努金在印度时期曾患过严重痢疾，导致身体状况一直不佳。来到英国后，正值第一次世界大战物资紧缺，加之他又是一位严格的素食主义者，进一步加剧了他的病情。
一次哈代去看望他的路上，注意到乘坐的出租车是1729号，遂产生了一种不详之感。拉马努金以数学的方式安慰他说：“不，这是一个非常有趣的数字，它可以用两种不同方式表示为两个立方和的最小数字。”
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（下一个有这种特性的数字是4104）
从此，1729有了另一个名字：哈代-拉马努金数。
哈代-拉马努金-利特尔伍德圆法
1908年，希尔伯特用分析方法解决了华林问题，证明了g(k)的存在。但是他的方法并没有给出g(k)的具体数值。其后，英国数学家哈代和利特尔伍德创造了圆法，可以估计g(k)的数值。
该方式还被用于解答奇数的哥德巴赫猜想。因此，圆法逐渐名声大振，发展成为解析数论中最基础、使用最广泛的工具之一。
而追溯历史，不乏拉马努金的贡献，所以他的名字也在其中。1916-1917年，哈代和拉马努金在研究配分函数 P ( n )时，提出了一个非收敛的渐近级数，可以精确计算整数的配分数，被普遍认为是圆法的开端。
π的无穷级数公式
都知道，拉马努金非常擅长写公式，一个有趣的例子是关于π的无穷级数
该结果基于负基本判别式d=−4×58=−232，类数为h ( d ) = 2。此外，26390=5×7×13×58和16×9801=396 ²，这与以下事实相关：这可以与Heegner数进行比较，后者具有类号1并产生类似的公式。在印度时期，拉马努金没有拥有过数学相关的任何头衔，他只是一名大学都没毕业的“业余数学爱好者”。来到英国之后，他的成长是惊人的，仅用了两年时间就拿到了剑桥大学的学位。随后，又因为椭圆函数和数论的研究，入选伦敦数学学会、英国皇家学会。此时，他才30岁，是皇家学会历史上最年轻的会员之一，也是第二位获此殊荣的印度人。而他更为耀眼的履历是，1918年10月13日成为剑桥大学三一学院的第一位印度院士。可惜的是，他因为肺结核和严重的维生素缺乏症，身体越来越差，不得不在疗养院进进出出。病痛的折磨，甚至让他多次尝试自杀。1919年，拉马努金抛下了英国的一切，回到印度。然而他信赖的神也没能挽救他的生命。他于1920年去世，年仅32岁。拉马努金最后一年的研究是关于类θ函数。这些函数在后来被证明非常重要，可以应用于椭圆曲线、弦论以及黑洞的性质。当然，拉马努金那个时候还不知道有黑洞。又是神奇的天赋和直觉！作为拉马努金最重要的导师、研究伙伴，哈代在《自然》杂志上为他发表了讣告：他集概括能力、形式感和快速修改假设的能力于一身，这些能力往往令人吃惊，使他在自己独特的领域中无人能与之匹敌。他知识的局限性和深度同样令人吃惊。这个人可以解出模方程和定理，达到闻所未闻的程度。他对连分数的掌握，超越了世界上任何数学家。他自己找到了zeta函数的函数方程，以及许多著名的解析数论问题的主要项，然而他从未听说过双周期函数或柯西定理，对复变量函数的概念也非常模糊……
借由哈达的总结，我们更近一步地了解了拉马努金。他是有局限性的天才，上限很高，盲区也有很多。如今，却有很多文章故意将他“神化”，称他与神对话后才写出那些数以庞大、无法证明的公式。在拉马努金所有的传记文章中，都会提及一本对他影响至深的书——《纯数学概要》。这本书撰写于1886年，除了介绍当时已知的基础数学结论，作者乔治·卡尔（George Carr）还收集了近5000条定理。更有可能是受到这本书的影响，拉马努金不想被冗长的证明占据篇幅。之所以将他过分吹捧，或许是因为拉马努金留下的公式或猜想的数量太惊人了——据统计多达3900个。那些尚未被本人证明的猜想，之后都被其他人陆续证明出了。他对分析、数论、无限级数和连分数等领域做出的重大贡献，逐渐被科学界所认可和欣赏。2005年，由国际理论物理中心（ICTP）、印度科技部和国际数学联盟（IMU）共同设立拉马努金奖，每年颁发一次，激励那些同样来自发展中国家、未满32岁的青年数学家。在印度，还有以拉马努金诞辰日12月22日设立的“国家数学日”。100年前，拉马努金凭借一己之力拉动的国家数学水平，如今已促成印度IT产业的繁荣与兴盛。再去看美国普里斯顿、斯坦福，或是英国剑桥、牛津，每一个数学班里一定会有印度学生。宗教、文化、种族不再是难以逾越的挑战，拉马努金已经帮他们消除了恐惧。![]()
声明：原文于2024年10月15日首发于微信公众平台“科学方程式”，赛先生获授权转载。
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