这道题来自LSE EC411 微观经济学2019年期末考试的第5题，也是博弈论的一个经典问题：
两名玩家轮流从一堆有6颗石头的石堆中取石头。玩家1先开始。每一轮，当前玩家观察剩下多少石头，然后可以从石堆中取1颗或2颗石头。取走最后一颗石头的人赢得游戏，并获得10英镑的奖励。找出这个动态游戏的纯策略子博弈完美均衡。如果石堆有n颗石头，你的结论会如何推广？提示：考虑如何解决3颗石头的问题，然后迭代相同的逻辑。
参考答案：
考虑可能的博弈历史。长度为t的历史 是 的一个元素，其中 表示在第t轮取走的石头数量。用 表示剩余的石头数量。
(1) 当 时，移动的玩家通过设置 必定获胜。因此，在这些历史中，这样的策略必须是移动玩家的SPNE策略。
(2) 当 时，移动的玩家必定失败，因为对于任何 ，都有 。因此，在这些历史中，任何策略都可能是SPNE。
(3) 当 时，移动的玩家通过设置 必定获胜，因为 。因此，在这些历史中，这样的策略必须是移动玩家的SPNE策略。
(4) 最后，当 时，移动的玩家必定失败，因为对于任何 ，都有 。因此，在这些历史中，任何策略都可能是SPNE。
当石堆有n颗石头时，同样的逻辑可以通过归纳法扩展。特别地，在任何SPNE中：
当 （其中 ）时，移动的玩家失败，可以选择任何策略 。 当 （其中 ）时，移动的玩家获胜，可以选择任何策略 。
要正式证明这一点，只需使用归纳法。对于 的情况已经建立。然后假设该主张对所有 $k<k$ 成立，以证明它在k处也成立。<="" p="">
当 时，移动的玩家必须通过设置 来确保获胜，因为 ，根据归纳假设，这是一个失败的位置。因此，在这些历史中，这样的策略必须是移动玩家的SPNE策略。 最后，当 时，移动的玩家必定失败，因为对于任何 ，都有 。因此，在这些历史中，任何策略都可能是SPNE。
这个取石头游戏的子博弈完美均衡（SPNE）可以总结如下：
对于6颗石头的情况：
先手玩家（Player 1）必败 无论先手选择取1颗还是2颗，后手玩家都有必胜策略
对于n颗石头的一般情况：
当剩余石头数量是3的倍数时（即3k，k为正整数），当前玩家处于必败位置 当剩余石头数量不是3的倍数时（即3k-1或3k-2），当前玩家可以通过正确的选择确保胜利
最优策略：
如果面对3k颗石头，玩家可以任意选择取1颗或2颗（因为必败） 如果面对3k-1颗石头，玩家应该取1颗，使对手面对3k-2颗 如果面对3k-2颗石头，玩家应该取2颗，使对手面对3k颗
游戏结果：
如果初始石头数量是3的倍数，后手玩家（Player 2）必胜 如果初始石头数量不是3的倍数，先手玩家（Player 1）必胜
这个结论适用于任意正整数n的情况，展示了一个简单但有趣的动态博弈均衡。
