对于所有 ，有
要证明 是一个柯西序列，我们需要证明对于任意的 ，存在一个正整数 ，使得对于所有的 ，有 。我们用三角不等式来证明这一题。
证明：
对于任意的正整数 ，我们可以写出
这是基于三角不等式。根据题目的条件 ，我们可以得到
将这些不等式加在一起，我们得到
这里，我们需要对于几何级数 进行分析，
这一部分和可以简化为
这是一个有限的几何级数，其求和公式为
因此，
现在，对于给定的 ，选择 使得 。因为对于所有的 ，有
因此，对于所有的 ，有 ，故得证。
对于所有 ，有
要证明 是一个柯西序列，我们需要证明对于任意的 ，存在一个正整数 ，使得对于所有的 ，有 。我们用三角不等式来证明这一题。
对于任意的正整数 ，我们可以写出
这是基于三角不等式。根据题目的条件 ，我们可以得到
将这些不等式加在一起，我们得到
这里，我们需要对于几何级数 进行分析，
这一部分和可以简化为
这是一个有限的几何级数，其求和公式为
因此，
现在，对于给定的 ，选择 使得 。因为对于所有的 ，有
因此，对于所有的 ，有 ，故得证。
