为了推导出非相对论情况下的变换，我们需要放弃相对论的光速不变性这一关键假设。我们将定义一个新的因子，并尝试推导出新的变换关系。
1. 新的假设
假设新的因子是速度的任意函数：
并且我们不再要求光速在所有惯性系中保持不变。
2. 重新定义的变换
我们保留类似于洛伦兹变换的形式，但用新的替代原来的因子：
3. 速度变换
考虑一个物体在两个参考系中的速度转换关系。在非相对论情况下，我们期望简单的速度叠加规则。设在系中物体的速度为，在系中物体的速度为。
从定义出发，有：
假设是常数，与无关，这样可以简化计算：
4. 变换推导
如果我们不要求光速不变，并且假设变换保持简单的形式，重新定义为速度的某个函数形式：
从上述速度变换中，我们希望简单的速度叠加规则：
我们简化这个表达式，在非相对论极限（），可以忽略项，得到：
这正是经典的伽利略变换结果。为了保持与经典力学一致，我们设。
5. 非相对论伽利略变换
在经典力学中，伽利略变换是用来描述相对速度的简单线性关系：
这里，我们没有使用光速不变的假设，因此因子实际上被简化为1。
6. 一般函数形式的尝试
如果我们确实希望引入一个因子，而不保持光速不变，可以考虑一般函数形式的变换：
这时，可以是任意函数，而不需要满足。选择一个特定的取决于所需的物理背景，例如考虑引力场的影响或者其他非惯性参考系的情况。
7. 特定函数形式的例子
如果我们选择一个特定的函数形式，比如：
这只是为了举例，我们可以得到新的变换：
这时，新的变换将不再保持光速不变，而是引入了速度相关的修正项。这种变换可以用来描述在某些特殊条件下的物理现象。
通过上述推导，我们展示了在不保持光速不变的情况下引入速度的一般函数形式的可能性。这种变换不再满足相对论中的光速不变性，但它可以描述非相对论或其他特殊条件下的物理现象。最终选择哪种形式的因子，取决于具体的物理背景和实验结果。
