泛函分析是研究无限维向量空间及其上的线性算子。
1. 拓扑向量空间
向量空间：基本定义、向量空间的运算（加法和数乘）。 拓扑空间：开集、闭集、邻域、内点、边界点、闭包、紧致性等。 拓扑向量空间：赋予向量空间拓扑结构，使得向量加法和数乘是连续映射。
2. 巴拿赫空间
定义：完备的赋范向量空间，空间内的每个柯西序列都收敛。 例子：常见的Banach空间包括 空间和 空间。 重要定理： Hahn-Banach定理：延拓有界线性泛函。 开映射定理：有界线性算子将开集映射为开集。 闭图定理：若线性算子的图像是闭集，则该算子有界。 一致有界原理：有界算子的族若点态有界，则一致有界。
3. 希尔伯特空间
定义：内积空间且完备，具备内积的概念。 内积： ，满足共轭对称性、线性、正定性。 正交性：向量的正交和正交分解。 例子： 空间，序列空间 。 重要概念： 投影定理：任意向量可以唯一分解为子空间和其正交补的向量和。 Riesz表示定理：在Hilbert空间中，每个有界线性泛函可以表示为内积形式。
4. 线性算子
有界线性算子：从一个拓扑向量空间映射到另一个，使得有界集的像仍然有界。 紧算子：将有界集映射为相对紧集。 算子谱理论：研究算子的特征值、特征向量及其谱性质。 谱定理：描述自伴算子的谱结构。
5. 自伴算子和对称算子
定义：自伴算子满足 。 重要性质：谱是实数，算子的规范是其谱的上确界。
6. 泛函
线性泛函：线性空间上的线性映射。 有界线性泛函：连续的线性泛函，满足某个有界条件。 双对偶空间：空间的对偶空间的对偶，即 $ (X^)^ $。
7. 弱拓扑和弱拓扑
弱拓扑：由所有连续线性泛函生成的拓扑。 弱*拓扑：由对偶空间上的所有连续线性泛函生成的拓扑。
8. 重要公式
范数公式： 内积公式： Hahn-Banach定理： 若 是半范数，且 是 上的线性泛函且 ，则存在扩展 ，使得 。
