《机械传动》2023年  第47卷   第1期

引用格式：夏伯乾，张英豪，张泽斌. 基于弹流摩擦副刚度的直齿轮修形研究[J]. 机械传动,  2023, 47(1）:17-26.

XIA Boqian，ZHANG Yinghao，ZHANG Zebin.Research on spur gear profile modification based on stiffness of the elastohydrodynamic lubrication friction pair[J]. Journal of Mechanical Transmission,  2023, 47(1）:17-26.

基于弹流摩擦副刚度的直齿轮修形研究

夏伯乾   张英豪   张泽斌

（郑州大学 机械与动力工程学院， 河南 郑州 450001）

摘要  首次在直齿轮修形时考虑了弹流润滑的影响，提出用齿轮弹流摩擦副啮合刚度取代传统齿轮啮合刚度计算最大修形量进行齿轮修形的新方法。基于弹流润滑理论，将弹流油膜简化为线性化的弹簧阻尼，建立了线接触摩擦副的摩擦学―动力学耦合模型，运用数值方法求得齿面弹流摩擦副刚度；采用ISO 齿轮啮合刚度定义分别计算出齿轮的啮合刚度和齿轮弹流摩擦副啮合刚度，并基于两种不同的齿轮啮合刚度计算最大修形量，进行齿轮修形；通过Creo 分别建立了标准齿轮、ISO方法修形齿轮、基于弹流摩擦副啮合刚度修形的齿轮啮合模型，运用Adams 和Romax 对3 种齿轮副的动态啮合力、角加速度和传动误差进行了仿真和比较，并将基于弹流摩擦副啮合刚度计算的最大修形量和一些工程实际修形齿轮的修形量进行了对比。结果表明，计入弹流润滑影响后，齿轮刚度明显降低，导致齿轮最大修形量增大，且基于弹流摩擦副刚度的修形效果优于ISO方法的修形效果，齿轮动力学性能和传动性能改善明显，并且修形量的理论计算值也更贴近于工程齿轮的实际修形量。

关键词  弹流摩擦副刚度 齿廓修形 修形量 动态啮合力 传动误差

0 引言

对用于高铁、舰船、直升机、兆瓦级风力发电机等场合的高速大功率传动装置齿轮，以及用于汽车等对舒适性要求较高的传动装置中的齿轮，修形已成为齿轮设计过程中必不可少的组成部分。恰当的齿轮修形不仅可以极大减少甚至避免齿轮啮合过程中的动载荷、降低振动和噪声，而且可以极大提高传动精度和齿轮强度。

自Walker 于1938 年发表关于渐开线齿轮轮齿修整的论述，人们对齿廓修形的研究从来没有停止过，公开发表的齿廓修形公式已有数十种，更有许多公司把齿轮修形方法和技术对外保密。

早期的齿廓修形研究，主要考虑的是齿廓弹性变形的影响。随着技术的发展和计算机的广泛应用，齿轮修形考虑的因素越来越多、越来越全面。王统等[1]运用有限元法对齿轮轴的变形进行了分析计算，根据齿轮轴的整体弹性变形和轮齿的变形情况，进行了三维齿向修形研究；邱良恒等[2]研究了基于齿轮热变形的齿廓修形；罗彪等[3]开展了热弹耦合变形条件下的齿廓修形设计；孙月海等[4]研究了含误差的直齿轮的齿廓修形；Lee 等[5]在修形中计入了齿轮、轴和齿轮箱在负载下的弹性变形以及齿轮的制造公差。近年来，齿轮修形朝着系统优化和三维综合修形的方向深入。Korta 等[6]通过响应面法对齿面进行了优化修形，降低了传动误差幅值和齿面接触应力；贾超等[7]完成了高速内啮合人字齿轮的多目标优化修形，齿面修形后，承载传动误差幅值下降，啮入区和啮出区闪温降低，齿面载荷分布得到了改善。

润滑对齿轮传动的作用是自不待言的，但迄今为止所有的齿轮修形研究都没有考虑润滑的作用和影响。用于高铁、舰船、直升机、兆瓦级风力发电机、汽车等的高端齿轮，一般都工作在弹流润滑状态。文献[8]493-494[9-10]的研究表明，齿面间的弹流油膜具有显著的刚度阻尼特征；Tsuha 等[11-12]研究指出，弹流润滑状态下，由于弹流油膜的存在和影响，不考虑弹流润滑的Hertz 接触刚度比摩擦副的接触刚度增大了2～4 倍。接触刚度的这种巨大变化，势必引发齿面接触变形的巨大变化，这就在客观上要求必须在修形时考虑润滑的影响。然而，如何在齿廓修形中考虑弹流润滑的影响，目前的研究还是空白。

基于弹流润滑理论，将弹流油膜简化为线性化的弹簧和阻尼，本文建立了线接触弹流摩擦副的摩擦学―动力学耦合模型，运用数值方法得到了齿轮啮合过程中齿面的弹流摩擦副刚度，计算并比较了考虑弹流润滑前后齿轮啮合刚度及修形量的变化；提出了用齿面弹流摩擦副啮合刚度取代齿轮啮合刚度计算齿廓修形量、进行齿轮修形的新方法。仿真结果表明，相比于ISO修形方法，基于弹流摩擦副啮合刚度的修形效果更好。

1 线接触弹流摩擦副刚度的计算与识别

1.1 线接触弹流摩擦副的摩擦学―动力学耦合模型

1.1.1 弹流基本方程

等温线接触弹流润滑问题的基本方程包括：

（2）油膜几何方程

（5）载荷平衡方程

式中，w 为线载荷，N/m。

1.1.2 动力学方程

图1 弹流润滑状态下线接触摩擦副模型
Fig. 1 Line contact friction pair model of elastohydrodynamic lubrication

（a）摩擦副的润滑和受力情况 （b）等效动力学模型

1.1.3 耦合方程

弹流摩擦副的摩擦学与动力学耦合方程包括：

（1）油膜力方程

式中，c₀ 为待定常数。

1.2 方程的无量纲化

1.2.1 弹流基本方程的无量纲化

引入以下无量纲参数，将弹流基本方程式（1）～式（5）无量纲化。

其中，b、p_H 分别为静载荷q₀ 作用下的Hertz 接触半宽（m）和Hertz 接触中心应力（Pa）；X、T 分别为无量纲坐标和时间；P、H 分别为无量纲压力和膜厚；η^ˉ、ρ^ˉ分别为无量纲黏度和密度；W、U、G分别为无量纲载荷参数、速度参数、材料参数；α 为Barns 黏压系数，Pa^-1。

（1）无量纲Reynolds方程

边界条件为

其中，Ω_C 为无量纲自然频率；m_r 为滚子质量，kg；Δ 为无量纲弹性趋近量；F_film 为无量纲油膜力；W_v 为无量纲弹流外加激励载荷。

无量纲动力学方程为

式中，C₀₀为待定常数。

1.3 弹流摩擦副刚度的模化与识别

1.3.1 油膜力的线性化

在图1中，设摩擦副承受静载荷q₀ 时，其弹性趋近量为δ₀，此刻的油膜力为f_film（δ₀），且f_film（δ₀）=q₀。当系统受到外界扰动时，弹性趋近量δ 在δ₀ 上下变化，将此刻的油膜力f_film（δ）按Taylor 级数展开，并忽略2阶以上的高阶小量，可得到

f_film(δ ) = f_film(δ₀ )+ k (δ - δ₀ )+ cδ̇ （17）

式中，k、c 分别为摩擦副刚度（N/m）和阻尼（N·s/m）。

1.3.2 弹流摩擦副刚度识别方法

弹流摩擦副刚度可以通过弹流摩擦副的自由振动衰减曲线或通过摩擦副在简谐激励下的阻尼环进行识别。

由阻尼环识别摩擦副刚度时，计算时间步长的选择不受摩擦副等效质量的影响，计算精度高、易收敛。因此，本文选择通过摩擦副在简谐激励下的阻尼环识别摩擦副刚度。

1.3.3 由简谐激励下的阻尼环识别摩擦副的刚度

设摩擦副受到正弦激励，激励力方程为

刚度阻尼模化后的无量纲油膜力又可表示为

在摩擦副振动的1个周期内，油膜力与位移响应形成一个封闭的环，称为阻尼环，如图2所示。阻尼环的面积等于油膜力在1个周期内做的功E_C ，即

图2 阻尼环
Fig. 2 Damping ring

阻尼环长轴的斜率即无量纲刚度，由图2可以得到，有

1.3.4 数值求解流程

图3 简谐激励下线接触摩擦副弹流问题的求解流程
Fig. 3 Solving flow of elastohydrodynamic problem of harmonic excitation line contact friction pair

1.3.5 数值算例

计算参数：等效弹性模量E^´=206 GPa，润滑油黏度η=0.027 2 Pa·s，黏压系数z=2.1×10⁸ /Pa，卷吸速度u=3 m/s，R=0.021 m，外加的激励载荷为

可以看出，该阻尼环显示弹流油膜具有显著的刚度和阻尼特征。

2 基于ISO 标准的修形要素值计算

ISO最大修形量Δ_max（ISO）推荐公式为

式中，K_A 为工况系数；F_t /b 为单位齿宽上的圆周力，N/mm；C_γ 为齿轮啮合刚度，N/（mm∙µm）；ε_α 为齿轮端面重合度。

修形曲线用来计算修形区域中修形量的大小，描述齿轮的修形轮廓。其中，最常用的修形曲线为直线修形。齿廓修形曲线方程为

式中，Δ 为齿轮修形曲线在x 处的修形量，µm；x 为齿轮接触点的相对坐标，且0 ≤x ≤L。

齿廓修形长度L分为长修形和短修形，一般情况下，长修形的修形曲线更为圆滑。根据会田俊夫方法[14]，长修形的计算公式为

式中，P_b 为齿轮端面基节，mm；ε_α 为齿轮端面重合度。

3 齿轮啮合刚度

根据ISO6336标准[15]，齿轮啮合刚度C_γ 定义为齿轮啮合过程中单位齿宽上齿轮总接触刚度的平均值，其计算公式为

式中，K_i 为齿轮刚度，K_i =Fn /δ，N/mm；F_n 为轮齿法向作用力，N；n 为选取接触点的个数；δ 为轮齿的总弹性变形量，µm。Δ 可由石川公式计算得到，详见文献[15]。

4 齿轮弹流摩擦副刚度

弹流状态下，接触体的弹性趋近量是油膜厚度变化与接触体本身弹性变形的综合结果，这与不考虑润滑的Hertz接触趋近量的概念不同[8]493-494。

图7（a）所示为弹流润滑状态下一对渐开线直齿轮的齿廓接触示意图，在接触点K 有弹流油膜将两齿面隔开。以弹流研究的视角，图7（a）可等效为图7（b）所示的弹流润滑接触模型。

图7（b）中，卷吸速度u 和综合曲率半径R 分别为

（a）齿面弹流润滑接触 （b）等效弹流接触模型

式中，ω₁ 、ω₂ 分别为主、从动齿轮的角速度，（（°）/s）；R₁ 、R₂ 分别为主、从动齿轮的曲率半径，m。

按第1节方法，给定齿轮副参数及润滑参数，可以求得齿轮在啮合点K的弹流摩擦副刚度。

5 基于齿面弹流摩擦副啮合刚度的齿廓修形方法

5.1 齿轮弹流摩擦副啮合刚度

设K_i（EHL）为齿轮啮合过程中某啮合点i 的弹流摩擦副刚度，参考ISO 标准中对齿轮啮合刚度C_γ 的定义方法，定义齿轮弹流摩擦副啮合刚度C_EHL 为

式中，C_EHL 为齿轮摩擦副啮合刚度，N/（mm∙µm）；K_i（EHL）为齿轮上接触点摩擦副刚度，N/m；n 为选取接触点的个数。

5.2 基于齿轮弹流摩擦副刚度的齿廓修形方法

式（32）～式（34）形成了新的基于齿轮弹流摩擦副刚度的齿廓修形三要素。

6 基于弹流摩擦副刚度的齿廓修形效果仿真研究

6.1 仿真工况参数

选取某矿用齿轮副做仿真计算，齿轮参数及运行工况参数如表1 所示。由于矿用齿轮的工作环境恶劣、传递功率大、冲击振动严重，取工况系数K_A=2.25[16]。

表1 齿轮参数、运行工况参数
Tab. 1 Gear parameters and operating condition parameters

6.2 齿轮接触刚度与齿轮弹流摩擦副刚度计算

图8 齿轮刚度和齿面弹流摩擦副刚度
Fig. 8 Gear stiffness and stiffness of the tooth surface elastohydrodynamic friction pair

6.3 齿轮啮合刚度与齿轮弹流摩擦副啮合刚度计算

根据图8，由式（29）和式（31）分别得到齿轮啮合刚度C_γ=19.35 N/（mm∙µm）、齿轮弹流摩擦副啮合刚度C_EHL=12.32 N/（mm∙µm）。

表2 齿轮修形量
Tab. 2 Gear modification quantity

由表2 可知，计入弹流润滑对啮合刚度的影响后，最大修形量由21.13 µm 增大到33.18 µm，增大了57%，可见弹流润滑对齿轮修形量的影响十分明显。

6.4 基于Adams的齿轮动力学仿真与比较

6.4.1 Adams齿轮啮合模型建立

接触力和角加速度是检验齿轮修形效果的重要参数。基于表1 所列齿轮参数，通过Creo 分别建立标准齿轮、基于ISO最大修形量齿轮和基于弹流摩擦副刚度最大修形量齿轮的三维模型及其啮合装配模型[17]28-29，通过Parasolid 文件导入Adams，并在Adams中对齿轮支架施加固定副，齿轮轴和支座施加旋转副，齿轮之间施加实体—实体碰撞力，输入轴上加转速驱动，输出轴上加负载转矩等约束，得到完整的Adams齿轮啮合虚拟样机模型如图9所示。

本文用Impact函数来计算齿面动态接触力[17]29-30。

仿真时取碰撞指数为1.5，阻尼系数为30 N·s/mm。最大阻尼时的击穿深度为0.1 mm。静摩擦因数取0.3，动摩擦因数取0.1。

6.4.2 Adams动力学仿真结果及比较

仿真得到标准齿轮副、基于ISO 标准修形齿轮副、基于弹流摩擦副刚度修形齿轮副的啮合力和从动轮角加速度时域曲线，分别如图10～图15所示。

表3 仿真结果
Tab. 3 Simulation results

图10 标准齿轮啮合力时域图
Fig. 10 Time domain diagram of the meshing force of standard gears

图11 ISO修形齿轮啮合力时域图
Fig. 11 Time domain diagram of the meshing force of ISO modified gears

图12 基于弹流摩擦副刚度修形齿轮啮合力时域图
Fig. 12 Meshing force time domain diagram of modified gears based on EHL friction pair stiffness

图13 标准齿轮角加速度时域图
Fig. 13 Time domain diagram of angular acceleration of standard gears

图14 ISO修形齿轮角加速度时域图
Fig. 14 Time domain diagram of angular acceleration of ISO modified gears

由表3 可知，未修形的齿轮副间的啮合力波动较大，对应的啮合力时域图的幅值也较大。经ISO方法修形后，齿轮平均啮合力由79 500.98 N 下降到74 399.73 N，减小6.42%，平均角加速度由53 319.91 （°）/s^²下 降 到50 644.66 （°）/s^²，减 小5.02%；基于弹流摩擦副刚度修形后，平均啮合力进一步减小到62 390.46 N，降幅达21.52%，平均角加速度减小到44 667.29 （°）/s^²，降幅达16.23%。

6.5 基于Romax的齿轮修形效果仿真与比较

6.5.1 Romax齿轮啮合模型建立

图16 齿轮Romax啮合模型
Fig. 16 Meshing model of Romax gears

6.5.2 传动误差仿真与比较

传动误差关系到传动的振动和噪声，是检验修形效果的重要指标。Romax 软件中有专业的齿轮修形模块，可以对齿轮定义不同的修形参数，求解出不同修形量下的齿轮传动误差变化曲线[18]。

分别对标准齿轮、按ISO方法修形的齿轮、按本文方法修形的齿轮进行传动误差仿真，结果分别如图17～图19所示。

图17 标准齿轮传动误差
Fig. 17 Transmission error of standard gears

图18 ISO修形齿轮传动误差
Fig. 18 Transmission error of ISO modified gears

图19 基于弹流摩擦副刚度修形齿轮传动误差
Fig. 19 Transmission error of modified gears based on EHL friction pair stiffness

由表4可知，修形前齿轮的传动误差为8.17 µm；经ISO方法计算的修形量修形后，齿轮传动误差明显减小，传动误差为6.6 µm，比修形前减小19.22%；基于弹流摩擦副刚度修形后传动误差进一步减小，传动误差为4.73 µm，比修形前减小42.11%，相比ISO 方法减小28.3%，修形效果更加明显。进一步说明弹流润滑对齿轮修形的影响不容忽略。

7 工程实例检验

根据文献[19-24]中提供的齿轮副参数及工况参数，分别用ISO齿轮修形量计算方法及本文基于弹流摩擦副刚度的齿轮修形量计算方法，对这些齿轮的最大修形量进行重新计算，并和这些齿轮实际的修形量进行了比较，结果如表5所示。

表5 修形量比较实例
Tab. 5 Comparison examples of modification quantity

表5所示齿轮的修形量，都经过了实践检验或试验验证，修形效果良好。

表5 中，Δ_max（ISO）为ISO 计 算 方 法 的 修 形 量；Δ_max（EHL）为基于弹流摩擦副刚度修形方法的修形量；Δ_max 为齿轮实际修形量；ε₁为ISO 计算方法的修形量与实际修形量的相对误差；ε₂为基于弹流摩擦副刚度修形方法的修形量与实际修形量的相对误差。

由表5 可知，ISO 计算的最大修形量与实际设计值有较大差距，原因可能是这些实际齿轮的修形量是通过综合实验、优化等多种因素和手段确定的；同时可以看到，本文中基于弹流摩擦副刚度方法的最大修形量则与工程实际值更加接近。

综合表5 和本文第6 节的仿真结果，说明在确定齿轮修形量时计入弹流润滑的影响是十分必要的，而且效果会更好。

8 结论

提出用齿轮弹流摩擦副啮合刚度取代齿轮啮合刚度计算最大修形量进行齿廓修形，建立了齿轮修形与弹流润滑的关系，提出了一种新的齿轮修形方法。

通过Admas 与Romax 软件，对基于本文方法的修形齿轮与基于ISO 方法的修形齿轮进行了啮合力、角加速度和传动误差的仿真和比较，并通过一些工程实例，对本文中方法求得的最大修形量进行了比较检验，得到如下结论：

（1）计入弹流润滑影响后，齿轮啮合刚度减小，导致最大修形量变大。

（2）相比ISO方法修形，基于弹流摩擦副啮合刚度的修形齿轮副在传动误差、动态啮合力、角加速度均有5%～20%的降幅，齿轮传动性能明显提升。

（3）相比ISO方法计算的最大修形量，基于弹流摩擦副刚度计算的最大修形量更加贴合工程实际齿轮的修形量。

（4）在齿轮修形时考虑弹流润滑的影响不仅十分必要，而且效果更好。

收稿日期：2021-12-10

基金项目：河南省高等学校重点科研项目（20A460004）

专家点评：     

论文提出了用齿轮弹流摩擦副啮合刚度取代传统齿轮啮合刚度计算最大修形量进行齿轮修形的新方法，通过摩擦学―动力学耦合模型和ISO齿轮啮合刚度定义，分别计算出齿轮的啮合刚度和齿轮弹流摩擦副啮合刚度，针对标准齿轮、ISO方法修形齿轮和基于弹流摩擦副啮合刚度修形齿轮，进行了三种齿轮副动态啮合力、角加速度和传动误差的仿真和比较m结果表明基于弹流摩擦副刚度的修形效果好于ISO方法的修形效果，齿轮动力学性能和传动性能明显改善。论文具有较高的学术水平和应用价值。

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