《机械传动》2022年  第46卷   第12期

引用格式：赵涛，丁晓军，赵虎，等. 索杆夹角可变的3自由度欠约束并联机器人的运动学控制[J]. 机械传动,  2022, 46(12）:73-78.

ZHAO Tao，DING Xiaojun，ZHAO Hu，et al.Kinematics control of 3-DOF under-constrained parallel robot with variable cable mast angles[J]. Journal of Mechanical Transmission,  2022, 46(12）:73-78.

索杆夹角可变的3自由度欠约束并联机器人的运动学控制

（1  北方民族大学 机电工程学院， 宁夏 银川 750021）

摘要 柔索驱动并联机器人是一种特殊类型的并联机器人，其末端执行器由柔索替代刚性杆进行驱动。研究了一种索杆夹角可变的3 自由度欠约束并联机器人，采用矢量闭环原理建立该机器人的逆运动学模型；根据拉格朗日方程，建立了该机器人的动力学模型。基于模型补偿的机器人PD控制理论，设计了该机器人的PD控制器；给定机器人末端执行器的运动轨迹，使末端执行器的位姿变化通过机器人的逆运动学转化为柔索长度的变化，以柔索长度作为控制系统的输入。实验结果验证了该机器人的逆运动学和动力学模型的正确性及控制方法的有效性。

关键词 柔索驱动并联机器人 索杆夹角可变 逆运动学模型 动力学模型 机器人PD控制

0 引言

柔索驱动并联机器人是一种特殊类型的并联机器人，其末端执行器由柔索替代刚性杆进行驱动。与刚性并联机器人相比，柔索驱动并联机器人具有大工作空间、高载荷质量比、低惯性、高速度和加速能力、高精度、重载，便于拆装、低成本、少耗能，易于运输和重构等很多潜在的优点[1-2]。基于上述优点，柔索驱动并联机器人已经被广泛应用于许多不同的工程领域之中，例如，球面射电望远镜[3-4]、摄像机器人[5]、起重吊装[6]、3D 打印[7]、医疗康复[8]、飞机风洞试验[9]、飞机自动褪喷漆[10]、变电站室内巡检[11]和锅炉检测[12]等。所有上述柔索驱动并联机器人都为机器人的机械行为与机电一体化技术作出了有价值的贡献。然而，根据具体的应用需求，它们中的大多数都集中在柔索驱动并联机器人的单个操作任务上。

随着柔索驱动并联机器人技术的不断发展，为了适应复杂的工作环境和不同的任务需求，柔索驱动并联机器人向着模块化和可重构方向发展。郭晓玲[13]设计了用于大型建筑3D打印的8索6自由度可重构柔索驱动并联机器人，研究了该机器人的构型设计、静力学分析、参数化建模、控制系统及可重构算法等。Anson 等[14]研究了具有矩形和圆形结构的两种平面移动基座的柔索驱动并联机器人，并与固定基座结构的柔索驱动并联机器人进行了比较，讨论了以上两种完全对称结构的一个特殊限制，即在加载结构中，柔索不能获得均匀的张力分布。Li等[15]提出了一种模块化可重构的柔索驱动机器人抓取器，用于在非结构化环境中抓取各种未知物体，该机器人集成了完全驱动和欠驱动的特性。Barbazza 等[16]提出了一种可重构末端执行器的悬索驱动并联机器人，根据优化的轨迹规划算法，通过末端执行器的动态在线重构，实现该机器人在操作空间中的拾取和放置操作。本文中所研究的机器人是一种3自由度欠约束柔索驱动并联机器人，由于其索杆可以沿着圆形导轨进行旋转，故其索杆夹角是可变的，从而减少了柔索与障碍物发生碰撞的概率。采用矢量闭环原理，建立该机器人的逆运动学模型；根据拉格朗日方程，建立考虑索杆夹角可变的机器人动力学模型；基于模型补偿的机器人PD 控制理论研究该机器人的逆运动学控制；通过实验验证了其逆运动学和动力学模型的正确性及控制方法的有效性。

1 逆运动学建模

索杆夹角可变的3自由度欠约束并联机器人的示意图如图1所示，移动平台安装在圆形导轨上，通过伺服电机进行驱动。索杆垂直布置在移动平台上，索杆随着移动平台可以沿着圆形导轨进行逆时针或顺时针旋转。假定逆时针旋转为正，则顺时针旋转为负。柔索一端连接末端执行器，另一端经过滑轮连接到卷筒上，卷筒通过伺服电机和减速器进行驱动，伺服电机、减速器和卷筒设置在移动平台上。

图1 机器人示意图
Fig.1 Schematic diagram of the robot

柔索驱动并联机器人的逆运动学是根据其末端执行器的位姿求解柔索的长度。为了描述机器人的运动学关系，在该机器人的圆形导轨的上表面中心位置设置全局坐标系O-XYZ，Z 轴竖直向上；在末端执行器的下底面中心位置设置局部坐标系P-XYZ，全局坐标系O-XYZ 和局部坐标系P-XYZ 均为右手坐标系；柔索与末端执行器的连接点记为B_i（i=1，2，3），柔索在滑轮上的出索点记为A_i（i=1，2，3），柔索出索点A_i（i=1，2，3）在圆形导轨上表面的投影点记为C_i（i=1，2，3）；R 为圆形导轨的半径；r 为末端执行器的半径；ϕ_i（i=1，2，3）为OC_i（i=1，2，3）与OX 轴之间的夹角；H 为索杆的高度；h 为末端执行器的高度。

柔索出索点A_i（i=1，2，3）在全局坐标系O-XYZ下的坐标为

第i（i=1，2，3）根柔索的长度标量为

2 动力学建模

柔索驱动并联机器人的动力学模型描述了其运动和作用力之间的关系。机器人的受力分析如图2所示。图2 中，T_i（i=1，2，3）为柔索的拉力；T_ϕi（i=1，2，3）为索杆沿着圆形导轨围绕OZ 轴旋转的力矩，假定逆时针旋转为正，则顺时针旋转为负。根据拉格朗日方程，建立考虑索杆夹角可变的3自由度欠约束并联机器人的动力学模型，该机器人的拉格朗日方程是其总动能与总势能之差。

图2 机器人受力分析图
Fig.2 Force analysis diagram of the robot

机器人末端执行器的动能为

由于索杆只是沿着圆形导轨旋转，没有沿着OZ 轴方向进行运动，所以，索杆的重力势能为0。

机器人的拉格朗日方程为

式中，T =[T₁ T₂ T₃ ]^T为柔索的拉力矢量[17] 。

3 控制器设计

定 义q^̇_r = q^̇_d - Λ_q^͂，q^̈_r = q^̈_d - Λ_q^͂̇，设 计 滑 模 函数为

由于V^̇ 是半负定的，K_D 为正定，若V^̇ ≡ 0，有s ≡ 0，进而e ≡ 0，e^̇ ≡ 0。由LaSalle 定理可知，(e，e^̇ ) =（0，0）是受控机器人全局渐进稳定的平衡点，即从任意初始条件（q0，q^̇0）出发，当t →∞时，均有q →qd，q^̇→0[18]。

4 数值仿真及实验

机器人末端执行器的运动轨迹设定为一条空间圆柱螺旋线，其轨迹方程表示为

图4 机器人的物理样机
Fig.4 Physical prototype of the robot

图5 3根柔索的长度曲线
Fig.5 Length curves of three cables

图5 中，红线代表柔索1 的长度，黑线代表柔索2 的长度，蓝线代表柔索3 的长度；实线代表3 根柔索长度的期望曲线，虚线代表3 根柔索长度的追踪曲线。由图5 可知，3 根柔索的长度具有较好的追踪效果。

3根柔索长度和拉力的变化曲线分别如图6（a）和图7（a）所示，红线、黑线和蓝线分别代表柔索1、柔索2 和柔索3，虚线代表柔索长度的追踪曲线、柔索拉力的期望曲线，实线代表柔索长度和拉力的实验曲线。由图6（a）和图7（a）可知，柔索长度的实验曲线与追踪曲线基本吻合，柔索拉力的实验曲线与期望曲线基本吻合。柔索长度和拉力的变化曲线具有周期性，且连续光滑。随着末端执行器从其运动轨迹的初始位置运动到终点位置，3根柔索的长度逐渐变短，拉力逐渐变大。

3 根柔索长度和拉力的误差变化曲线分别如图6（b）和图7（b）所示，红色、黑色和蓝色的实线分别代表柔索1、柔索2 和柔索3 的长度和拉力的误差变化曲线。由图6（b）和图7（b）可知，柔索长度和拉力的误差变化曲线显现出周期性的变化。柔索1的长度误差变化范围为-3.793 5～2.146 4 mm，柔索2 的长度误差变化范围为-4.262 9～3.098 2 mm，柔索3的长度误差变化范围为-4.817 7～2.544 6 mm。柔索的长度误差不仅会影响末端执行器运动的位姿，而且还会影响柔索拉力的大小。柔索1的拉力误差变化范围为-2.931 7～0.284 3 N，柔索2 的拉力误差变化范围为-2.767 7～0.250 8 N，柔索3 的拉力误差变化范围为-1.084 9～1.827 1 N。机器人的末端执行器在可接受的误差范围内平稳地被提升，其精度能够满足任务要求。

图6 3根柔索长度的变化曲线和误差变化曲线
Fig.6 Change curves and error change curves of three cable lengths

图7 3根柔索拉力的变化曲线和误差变化曲线
Fig.7 Change curves and error change curves of three cable tensions

5 结论

根据矢量闭环原理，建立了考虑索杆夹角可变的机器人逆运动学模型；采用拉格朗日方程，建立了考虑索杆夹角可变的机器人动力学模型。基于模型补偿的机器人PD 控制，设计了该机器人PD 控制的控制器。根据给定的末端执行器的运动轨迹，以3根柔索的期望长度作为控制系统的输入，得到3根柔索的追踪长度。以3 根柔索的追踪长度作为实验输入，通过拉线位移传感器和拉力传感器测得实验过程中3 根柔索的长度和拉力。将3 根柔索的追踪长度和实验测得的长度进行比较，得出柔索长度的误差；将3 根柔索的期望拉力与实验测得的拉力进行比较，得出柔索拉力的误差。随着机器人的末端执行器从其运动轨迹的初始位置运动到终点位置，3根柔索的长度逐渐变短，拉力逐渐变大。3 根柔索长度和拉力的实验曲线与仿真曲线基本吻合，实验结果验证了该机器人的逆运动学和动力学分析的正确性以及控制方法的有效性。

收稿日期：2021-11-27

基金项目：宁夏自然科学基金（2021AAC03178)

                宁夏重点研发计划项目（引才专项）（2021BEB04029）

                北方民族大学中央高校基本科研业务费专项资金（2020KYQD26）

专家点评：     

论文对一种柔索驱动3自由度并联机器人机构的运动学、动力学进行建模分析和控制设计，试验验证了理论分析的正确性。论文研究思路清晰，层次分明，为机器人研发提供了一定的理论基础。

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